Форекс броуновское движение

Уравнение Фоккера-Планка

Теперь рассмотрим трехмерную систему БЧ и будем описывать эволюцию БЧ (или идеального газа БЧ) с помощью функций распределения f в самой грубой временной шкале t >> G — 1 .

Распределение по импульсам БЧ в этой шкале является в любой момент времени максвелловским. Поэтому нас будет интересовать только функция распределения по координатам , такая, что — вероятность обнаружить частицу в объеме , причем

Т.к. частицы стабильны (нет их источников), то функция должна удовлетворять уравнению непрерывности

Введя грубую шкалу времени (включая dt>>G — 1 ), t >> G — 1 , мы фактически лишим себя возможности использовать микроскопические соображения для превращения этого соотношения в уравнение для одной функции .

Оставаясь в рамках полуфеноменологического рассмотрения, представим плотность потока как бы складывающуюся из двух частей

Первая из них обусловлена внешними силами, действующими на БЧ, вторая — случайными «флуктуирующими» воздействиями на нее со стороны частиц среды.

Для регулярной части используем представления гидродинамики (малые скорости, сферические частицы)

Поэтому упорядоченный поток частиц можно записать в виде

где U – потенциал внешнего силового поля.

Случайное же блуждание с макроскопической точки зрения имеет характер диффузионного процесса, поэтому диффузионный поток частиц можно записать (случай малых градиентов)

где величина D по физическому смыслу является коэффициентом диффузии БЧ данного размера, массы в среде с данной T, h и т.д.

D можно определить экспериментально, но это сложно сделать во всех случаях жизни. В связи с этим рассмотрим предел , когда система достигнет своего состояния ТД равновесия (нет потоков, все характеристики постоянны). Поэтому помимо df /dt имеем три уравнения для компонент потоков

которые можно записать в виде

Решение этого уравнения

мы могли бы предсказать заранее, т.к. идеальный газ БЧ в поле характеризуется в равновесном случае больцмановским распределением

Сопоставляя эти выражения, мы получаем, что коэффициент диффузии D просто связан с T, h и R БЧ

Подставляя это выражение в уравнение непрерывности, получим уравнение для

Это и есть уравнение Фоккера-Планка (1914-1917). Дополненное условием нормировки, начальным (НУ) и граничными (ГУ) условиями, оно полностью определяет решение для искомой функции . Это решение определяет эволюцию системы на времени t >> G — 1 , которая имеет релаксационный характер (к распределению Больцмана) с некоторым временем релаксации t_полн, зависящим уже не только от индивидуальных свойств среды и БЧ, но и от начального распределения, формы и размеров сосуда и т.д.

Рассмотрим случай отсутствия внешнего поля и бесконечной одномерной системы с условием отсутствия потоков на бесконечности и НУ, соответствующими нахождению БЧ в точке :

Решение уравнения (3.57), удовлетворяющее начальным и граничным условиям, выглядит следующим образом:

Очевидно, что — ввиду симметрии функции :

В частности, средний квадрат смещения БЧ определяется формулой Эйнштейна

Значение полученного решения для не ограничивается только рамками рассмотренного примера. Эта функция может служить основой для получения ряда распределений по другим характеристикам свободного броуновского движения и для проведения оценок.

Оценим время заполнения БЧ сосуда конечных размеров. С математической точки зрения время такой релаксации равно . Речь идет о физической оценке эффективного времени релаксации.

Рассмотрим сначала одномерную систему, в которой движение БЧ ограничено стенками, так что . Если бы , то эффективный размер облака БЧ определялся бы формулой Эйнштейна

Если бы на расстоянии от точки по обе стороны стояли стенки, то внутри системы за это время мы получили бы достаточно равномерное распределение БЧ. Поэтому и полагают, что время полной релаксации в слое имеет величину .

В двумерном случае (БЧ в плоской кювете радиусом ) формула Эйнштейна имеет вид:

Аналогично в трехмерном случае:

Полученная оценка груба, но универсальна, т.к. не зависит от формы сосуда.

Таким образом, эволюцию БЧ можно представить как последовательность характерных ее этапов:

1) — механическая шкала времени, – время корреляции случайного взаимодействия . Описание эволюции системы – задача теоретической механики о столкновении многих частиц. Движение полностью детерминировано.

2) – первая грубая шкала времени, детали воздействия среды на частицу смазаны. В качестве динамических ее параметров выступают усредненные по величины.

3) При устанавливается максвелловское распределение по импульсам, и . ГУ несущественны.

– вторая грубая шкала времени. Случайные блуждания БЧ приобретают характер диффузионного процесса. Частица в этом случае не имеет памяти (в механическом смысле) о своей скорости (распределение – максвелловское).

Такие процессы называются марковскими (будущее системы определяется только настоящим и не зависит от ее предыстории). Эволюция системы определяется уравнением Фоккера-Планка. ГУ и НУ существенны.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Студент — человек, постоянно откладывающий неизбежность. 10341 — | 7270 — или читать все.

188.64.173.37 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ

БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ – видимое в микроскоп хаотическое перемещение очень малых частиц вещества под действием ударов молекул. Названо в честь английского ученого Броуна (1773–1858).

Открытие Броуна.

Шотландский ботаник Роберт Броун (иногда его фамилию транскрибируют как Браун) еще при жизни как лучший знаток растений получил титул «князя ботаников». Он сделал много замечательных открытий. В 1805 после четырехлетней экспедиции в Австралию привез в Англию около 4000 видов не известных ученым австралийских растений и много лет потратил на их изучение. Описал растения, привезенные из Индонезии и Центральной Африки. Изучал физиологию растений, впервые подробно описал ядро растительной клетки. Петербургская Академия наук сделала его своим почетным членом. Но имя ученого сейчас широко известно вовсе не из-за этих работ.

В 1827 Броун проводил исследования пыльцы растений. Он, в частности, интересовался, как пыльца участвует в процессе оплодотворения. Как-то он разглядывал под микроскопом выделенные из клеток пыльцы североамериканского растения Clarkia pulchella (кларкии хорошенькой) взвешенные в воде удлиненные цитоплазматические зерна. Неожиданно Броун увидел, что мельчайшие твердые крупинки, которые едва можно было разглядеть в капле воды, непрерывно дрожат и передвигаются с места на место. Он установил, что эти движения, по его словам, «не связаны ни с потоками в жидкости, ни с ее постепенным испарением, а присущи самим частичкам».

Наблюдение Броуна подтвердили другие ученые. Мельчайшие частички вели себя, как живые, причем «танец» частиц ускорялся с повышением температуры и с уменьшением размера частиц и явно замедлялся при замене воды более вязкой средой. Это удивительное явление никогда не прекращалось: его можно было наблюдать сколь угодно долго. Поначалу Броун подумал даже, что в поле микроскопа действительно попали живые существа, тем более что пыльца – это мужские половые клетки растений, однако так же вели частички из мертвых растений, даже из засушенных за сто лет до этого в гербариях. Тогда Броун подумал, не есть ли это «элементарные молекулы живых существ», о которых говорил знаменитый французский естествоиспытатель Жорж Бюффон (1707–1788), автор 36-томной Естественной истории. Это предположение отпало, когда Броун начал исследовать явно неживые объекты; сначала это были очень мелкие частички угля, а также сажи и пыли лондонского воздуха, затем тонко растертые неорганические вещества: стекло, множество различных минералов. «Активные молекулы» оказались повсюду: «В каждом минерале, – писал Броун, – который мне удавалось измельчить в пыль до такой степени, чтобы она могла в течение какого-то времени быть взвешенной в воде, я находил, в больших или меньших количествах, эти молекулы».

Надо сказать, что у Броуна не было каких-то новейших микроскопов. В своей статье он специально подчеркивает, что у него были обычные двояковыпуклые линзы, которыми он пользовался в течение нескольких лет. И далее пишет: «В ходе всего исследования я продолжал использовать те же линзы, с которыми начал работу, чтобы придать больше убедительности моим утверждениям и чтобы сделать их как можно более доступными для обычных наблюдений».

Сейчас чтобы повторить наблюдение Броуна достаточно иметь не очень сильный микроскоп и рассмотреть с его помощью дым в зачерненной коробочке, освещенный через боковое отверстие лучом интенсивного света. В газе явление проявляется значительно ярче, чем в жидкости: видны рассеивающие свет маленькие клочки пепла или сажи (в зависимости от источника дыма), которые непрерывно скачут туда и сюда.

Как это часто бывает в науке, спустя многие годы историки обнаружили, что еще в 1670 изобретатель микроскопа голландец Антони Левенгук, видимо, наблюдал аналогичное явление, но редкость и несовершенство микроскопов, зачаточное состояние молекулярного учения в то время не привлекли внимания к наблюдению Левенгука, поэтому открытие справедливо приписывают Броуну, который впервые подробно его изучил и описал.

Броуновское движение и атомно-молекулярная теория.

Наблюдавшееся Броуном явление быстро стало широко известным. Он сам показывал свои опыты многочисленным коллегам (Броун перечисляет два десятка имен). Но объяснить это загадочное явление, которое назвали «броуновским движением», не смог ни сам Броун, ни многие другие ученые в течение многих лет. Перемещения частиц были совершенно беспорядочны: зарисовки их положения, сделанные в разные моменты времени (например, каждую минуту) не давали на первый взгляд никакой возможности найти в этих движениях какую-либо закономерность.

Объяснение броуновского движения (как назвали это явление) движением невидимых молекул было дано только в последней четверти 19 в., но далеко не сразу было принято всеми учеными. В 1863 преподаватель начертательной геометрии из Карлсруэ (Германия) Людвиг Кристиан Винер (1826–1896) предположил, что явление связано с колебательными движениями невидимых атомов. Это было первое, хотя и очень далекое от современного, объяснение броуновского движения свойствами самих атомов и молекул. Важно, что Винер увидел возможность с помощью этого явления проникнуть в тайны строения материи. Он впервые попытался измерить скорость перемещения броуновских частиц и ее зависимость от их размера. Любопытно, что в 1921 в Докладах Национальной Академии наук США была опубликована работа о броуновском движении другого Винера – Норберта, знаменитого основателя кибернетики.

Идеи Л.К.Винера были приняты и развиты рядом ученых – Зигмундом Экснером в Австрии (а спустя 33 года – и его сыном Феликсом), Джованни Кантони в Италии, Карлом Вильгельмом Негели в Германии, Луи Жоржем Гуи во Франции, тремя бельгийскими священниками-иезуитами Карбонелли, Дельсо и Тирьоном и другими. В числе этих ученых был и знаменитый впоследствии английский физик и химик Уильям Рамзай. Постепенно становилось понятным, что мельчайшие крупинки вещества испытывают со всех сторон удары еще более мелких частиц, которые в микроскоп уже не видны – как не видны с берега волны, качающие далекую лодку, тогда как движения самой лодки видны вполне отчетливо. Как писали в одной из статей 1877, «. закон больших чисел не сводит теперь эффект соударений к среднему равномерному давлению, их равнодействующая уже не будет равна нулю, а будет непрерывно изменять свое направление и свою величину».

Качественно картина была вполне правдоподобной и даже наглядной. Примерно так же должны перемещаться маленькая веточка или жучок, которых толкают (или тянут) в разные стороны множество муравьев. Эти более мелкие частицы на самом деле были в лексиконе ученых, только их никто никогда не видел. Называли их молекулами; в переводе с латинского это слово и означает «маленькая масса». Поразительно, но именно такое объяснение дал похожему явлению римский философ Тит Лукреций Кар (ок. 99–55 до н.э.) в своей знаменитой поэме О природе вещей. В ней мельчайшие невидимые глазом частицы он называет «первоначалами» вещей.

Первоначала вещей сначала движутся сами,
Следом за ними тела из мельчайшего их сочетанья,
Близкие, как бы сказать, по силам к началам первичным,
Скрыто от них получая толчки, начинают стремиться,
Сами к движенью затем побуждая тела покрупнее.
Так, исходя от начал, движение мало-помалу
Наших касается чувств, и становится видимым также
Нам и в пылинках оно, что движутся в солнечном свете,
Хоть незаметны толчки, от которых оно происходит.

Впоследствии оказалось, что Лукреций ошибался: невооруженным глазом наблюдать броуновское движение невозможно, а пылинки в солнечном луче, который проник в темную комнату, «пляшут» из-за вихревых движений воздуха. Но внешне оба явления имеют некоторое сходство. И только в 19 в. многим ученым стало очевидно, что движение броуновских частиц вызвано беспорядочными ударами молекул среды. Движущиеся молекулы наталкиваются на пылинки и другие твердые частицы, которые есть в воде. Чем выше температура, тем быстрее движение. Если пылинка велика, например, имеет размер 0,1 мм (диаметр в миллион раз больше, чем у молекулы воды), то множество одновременных ударов по ней со всех сторон взаимно уравновешиваются и она их практически не «чувствует» – примерно так же, как кусок дерева размером с тарелку не «почувствует» усилий множества муравьев, которые будут тянуть или толкать его в разные стороны. Если же пылинка сравнительно невелика, она под действием ударов окружающих молекул будет двигаться то в одну, то в другую сторону.

Броуновские частицы имеют размер порядка 0,1–1 мкм, т.е. от одной тысячной до одной десятитысячной доли миллиметра, потому-то Броуну и удалось разглядеть их перемещение, что он рассматривал крошечные цитоплазматические зернышки, а не саму пыльцу (о чем часто ошибочно пишут). Дело в том, что клетки пыльцы слишком большие. Так, у пыльцы луговых трав, которая переносится ветром и вызывает аллергические заболевания у людей (поллиноз), размер клеток обычно находится в пределах 20 – 50 мкм, т.е. они слишком велики для наблюдения броуновского движения. Важно отметить также, что отдельные передвижения броуновской частицы происходят очень часто и на очень малые расстояния, так что увидеть их невозможно, а под микроскопом видны перемещения, происшедшие за какой-то промежуток времени.

Казалось бы, сам факт существования броуновского движения однозначно доказывал молекулярное строение материи, однако даже в начале 20 в. были ученые, и в их числе – физики и химики, которые не верили в существование молекул. Атомно-молекулярная теория лишь медленно и с трудом завоевывала признание. Так, крупнейший французский химик-органик Марселен Бертло (1827–1907) писал: «Понятие молекулы, с точки зрения наших знаний, неопределенно, в то время как другое понятие – атом – чисто гипотетическое». Еще определеннее высказался известный французский химик А.Сент-Клер Девилль (1818–1881): «Я не допускаю ни закона Авогадро, ни атома, ни молекулы, ибо я отказываюсь верить в то, что не могу ни видеть, ни наблюдать». А немецкий физикохимик Вильгельм Оствальд (1853–1932), лауреат Нобелевской премии, один из основателей физической химии, еще в начале 20 в. решительно отрицал существование атомов. Он ухитрился написать трехтомный учебник химии, в котором слово «атом» ни разу даже не упоминается. Выступая 19 апреля 1904 с большим докладом в Королевском Институте перед членами английского Химического общества, Оствальд пытался доказать, что атомов не существует, а «то, что мы называем материей, является лишь совокупностью энергий, собранной воедино в данном месте».

Но даже те физики, которые принимали молекулярную теорию, не могли поверить, что таким простым способом доказывается справедливость атомно-молекулярного учения, поэтому выдвигались самые разнообразные альтернативные причины, чтобы объяснить явление. И это вполне в духе науки: пока причина какого-либо явления не выявлена однозначно, можно (и даже необходимо) предполагать различные гипотезы, которые следует по возможности проверять экспериментально или теоретически. Так, еще в 1905 в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Ефрона была опубликована небольшая статья петербургского профессора физики Н.А.Гезехуса, учителя знаменитого академика А.Ф.Иоффе. Гезехус писал, что, по мнению некоторых ученых, броуновское движение вызывается «проходящими через жидкость световыми или тепловыми лучами», сводится к «простым потокам внутри жидкости, не имеющим ничего общего с движениями молекул», причем эти потоки могут вызываться «испарением, диффузией и другими причинами». Ведь уже было известно, что очень похожее движение пылинок в воздухе вызывается именно вихревыми потоками. Но объяснение, приведенное Гезехусом, легко можно было опровергнуть экспериментально: если в сильный микроскоп разглядывать две броуновские частички, находящиеся очень близко друг к другу, то их перемещения окажутся совершенно независимыми. Если бы эти движения вызывались какими-либо потоками в жидкости, то такие соседние частицы двигались бы согласованно.

Теория броуновского движения.

В начале 20 в. большинство ученых понимали молекулярную природу броуновского движения. Но все объяснения оставались чисто качественными, никакая количественная теория не выдерживала экспериментальной проверки. Кроме того, сами экспериментальные результаты были неотчетливы: фантастическое зрелище безостановочно мечущихся частиц гипнотизировало экспериментаторов, и какие именно характеристики явления нужно измерять, они не знали.

Несмотря на кажущийся полный беспорядок, случайные перемещения броуновских частиц оказалось все же возможным описать математической зависимостью. Впервые строгое объяснение броуновского движения дал в 1904 польский физик Мариан Смолуховский (1872–1917), который в те годы работал в Львовском университете. Одновременно теорию этого явления разрабатывал Альберт Эйнштейн (1879–1955), мало кому известный тогда эксперт 2-го класса в Патентном бюро швейцарского города Берна. Его статья, опубликованная в мае 1905 в немецком журнале Annalen der Physik, называлась О движении взвешенных в покоящейся жидкости частиц, требуемом молекулярно-кинетической теорией теплоты. Этим названием Эйнштейн хотел показать, что из молекулярно-кинетической теории строения материи с необходимостью вытекает существование случайного движения мельчайших твердых частиц в жидкостях.

Любопытно, что в самом начале этой статьи Эйнштейн пишет, что знаком с самим явлением, хотя и поверхностно: «Возможно, что рассматриваемые движения тождественны с так называемым броуновским молекулярным движением, однако доступные мне данные относительно последнего столь неточны, что я не мог составить об этом определенного мнения». А спустя десятки лет, уже на склоне жизни, Эйнштейн написал в свои воспоминаниях нечто иное – что вообще не знал о броуновском движении и фактически заново «открыл» его чисто теоретически: «Не зная, что наблюдения над „броуновским движением» давно известны, я открыл, что атомистическая теория приводит к существованию доступного наблюдению движения микроскопических взвешенных частиц». Как бы то ни было, а заканчивалась теоретическая статья Эйнштейна прямым призывом к экспериментаторам проверить его выводы на опыте: «Если бы какому-либо исследователю удалось вскоре ответить на поднятые здесь вопросы!» – таким необычным восклицанием заканчивает он свою статью.

Ответ на страстный призыв Эйнштейна не заставил себя долго ждать.

В соответствии с теорией Смолуховского-Эйнштейна, среднее значение квадрата смещения броуновской частицы (s 2 ) за время t прямо пропорционально температуре Т и обратно пропорционально вязкости жидкости h , размеру частицы r и постоянной Авогадро

где R – газовая постоянная. Так, если за 1 мин частица диаметром 1 мкм сместится на 10 мкм, то за 9 мин – на 10 = 30 мкм, за 25 мин – на 10 = 50 мкм и т.д. В аналогичных условиях частица диаметром 0,25 мкм за те же отрезки времени (1, 9 и 25 мин) сместится соответственно на 20, 60 и 100 мкм, так как = 2. Важно, что в приведенную формулу входит постоянная Авогадро, которую таким образом, можно определить путем количественных измерений перемещения броуновской частицы, что и сделал французский физик Жан Батист Перрен (1870–1942).

В 1908 Перрен начал количественные наблюдения за движением броуновских частиц под микроскопом. Он использовал изобретенный в 1902 ультрамикроскоп, который позволял обнаруживать мельчайшие частицы благодаря рассеянию на них света от мощного бокового осветителя. Крошечные шарики почти сферической формы и примерно одинакового размера Перрен получал из гуммигута – сгущенного сока некоторых тропических деревьев (он используется и как желтая акварельная краска). Эти крошечные шарики были взвешены в глицерине, содержащем 12% воды; вязкая жидкость препятствовала появлению в ней внутренних потоков, которые смазали бы картину. Вооружившись секундомером, Перрен отмечал и потом зарисовывал (конечно, в сильно увеличенном масштабе) на разграфленном листе бумаги положение частиц через равные интервалы, например, через каждые полминуты. Соединяя полученные точки прямыми, он получал замысловатые траектории, некоторые из них приведены на рисунке (они взяты из книги Перрена Атомы, опубликованной в 1920 в Париже). Такое хаотичное, беспорядочное движение частиц приводит к тому, что перемещаются они в пространстве довольно медленно: сумма отрезков намного больше смещения частицы от первой точки до последней.

Последовательные положения через каждые 30 секунд трех броуновских частиц – шариков гуммигута размером около 1 мкм. Одна клетка соответствует расстоянию 3 мкм. Если бы Перрен смог определять положение броуновских частиц не через 30, а через 3 секунды, то прямые между каждыми соседними точками превратились бы в такую же сложную зигзагообразную ломаную линию, только меньшего масштаба.

Используя теоретическую формулу и свои результаты, Перрен получил достаточно точное для того времени значение числа Авогадро: 6,8 . 10 23 . Перрен исследовал также с помощью микроскопа распределение броуновских частиц по вертикали (см. АВОГАДРО ЗАКОН) и показал, что, несмотря на действие земного притяжения, они остаются в растворе во взвешенном состоянии. Перрену принадлежат и другие важные работы. В 1895 он доказал, что катодные лучи – это отрицательные электрические заряды (электроны), в 1901 впервые предложил планетарную модель атома. В 1926 он был удостоен Нобелевской премии по физике.

Результаты, полученные Перреном, подтвердили теоретические выводы Эйнштейна. Это произвело сильное впечатление. Как написал через много лет американский физик А.Пайс, «не перестаешь удивляться этому результату, полученному таким простым способом: достаточно приготовить взвесь шариков, размер которых велик по сравнению с размером простых молекул, взять секундомер и микроскоп, и можно определить постоянную Авогадро!» Можно удивляться и другому: до сих пор в научных журналах (Nature, Science, Journal of Chemical Education) время от времени появляются описания новых экспериментов по броуновскому движению! После публикации результатов Перрена бывший противник атомизма Оствальд признался, что «совпадение броуновского движения с требованиями кинетической гипотезы. дает теперь право самому осторожному ученому говорить об экспериментальном доказательстве атомистической теории материи. Таким образом, атомистическая теория возведена в ранг научной, прочно обоснованной теории». Ему вторит французский математик и физик Анри Пуанкаре: «Блестящее определение числа атомов Перреном завершило триумф атомизма. Атом химиков стал теперь реальностью».

Броуновское движение и диффузия.

Перемещение броуновских частиц внешне весьма напоминает перемещение отдельных молекул в результате их теплового движения. Такое перемещение называется диффузией. Еще до работ Смолуховского и Эйнштейна были установлены законы движения молекул в наиболее простом случае газообразного состояния вещества. Оказалось, что молекулы в газах движутся очень быстро – со скоростью пули, но далеко «улететь» не могут, так как очень часто сталкиваются с другими молекулами. Например, молекулы кислорода и азота в воздухе, двигаясь в среднем со скоростью примерно 500 м/с, испытывают каждую секунду более миллиарда столкновений. Поэтому путь молекулы, если бы могли за ним проследить, представлял бы собой сложную ломаную линию. Подобную же траекторию описывают и броуновские частицы, если фиксировать их положение через определенные промежутки времени. И диффузия, и броуновское движение являются следствием хаотичного теплового движения молекул и потому описываются сходными математическими зависимостями. Различие состоит в том, что молекулы в газах движутся по прямой, пока не столкнутся с другими молекулами, после чего меняют направление движения. Броуновская же частица никаких «свободных полетов», в отличие от молекулы, не совершает, а испытывает очень частые мелкие и нерегулярные «дрожания», в результате которых она хаотически смещается то в одну, то в другую сторону. Как показали расчеты, для частицы размером 0,1 мкм одно перемещение происходит за три миллиардные доли секунды на расстояние всего 0,5 нм (1 нм = 0,001 мкм). По меткому выражению одного автора, это напоминает перемещения пустой банки из-под пива на площади, где собралась толпа людей.

Диффузию наблюдать намного проще, чем броуновское движение, поскольку для этого не нужен микроскоп: наблюдаются перемещения не отдельных частиц, а огромной их массы, нужно только обеспечить, чтобы на диффузию не накладывалось конвекция – перемешивание вещества в результате вихревых потоков (такие потоки легко заметить, капнув каплю окрашенного раствора, например, чернил, в стакан с горячей водой).

Диффузию удобно наблюдать в густых гелях. Такой гель можно приготовить, например, в баночке из-под пенициллина, приготовив в ней 4–5%-ный раствор желатина. Желатин сначала должен несколько часов набухать, а затем его полностью растворяют при перемешивании, опустив баночку в горячую воду. После охлаждения получается нетекучий гель в виде прозрачной слегка мутноватой массы. Если с помощью острого пинцета осторожно ввести в центр этой массы небольшой кристаллик перманганата калия («марганцовки»), то кристаллик останется висеть в том месте, где его оставили, так как гель не дает ему упасть. Уже через несколько минут вокруг кристаллика начнет расти окрашенный в фиолетовый цвет шарик, со временем он становится все больше и больше, пока стенки баночки не исказят его форму. Такой же результат можно получить и с помощью кристаллика медного купороса, только в этом случае шарик получится не фиолетовым, а голубым.

Почему получился шарик, понятно: ионы MnO₄ – , образующиеся при растворении кристалла, переходят в раствор (гель – это, в основном, вода) и в результате диффузии равномерно движутся во все стороны, при этом сила тяжести практически не влияет на скорость диффузии. Диффузия в жидкости идет очень медленно: чтобы шарик вырос на несколько сантиметров, потребуется много часов. В газах диффузия идет намного быстрее, но всё равно если бы воздух не перемешивался, то запах духов или нашатырного спирта распространялся в комнате часами.

Теория броуновского движения: случайные блуждания.

Теория Смолуховского – Эйнштейна объясняет закономерности и диффузии, и броуновского движения. Можно рассматривать эти закономерности на примере диффузии. Если скорость молекулы равна u, то, двигаясь по прямой, она за время t пройдет расстояние L = ut, но из-за столкновений с другими молекулами данная молекула не движется по прямой, а непрерывно изменяет направление своего движения. Если бы можно было зарисовать путь молекулы, он принципиально ничем бы не отличался от рисунков, полученных Перреном. Из таких рисунков видно, что из-за хаотичного движения молекула смещается на расстояние s, значительно меньшее, чем L. Эти величины связаны соотношением s = , где l – расстояние, которое молекула пролетает от одного столкновения до другого, средняя длина свободного пробега. Измерения показали, что для молекул воздуха при нормальном атмосферном давлении l

0,1 мкм, значит, при скорости 500 м/с молекула азота или кислорода пролетит за 10 000 секунд (меньше трех часов) расстояние L = 5000 км, а сместится от первоначального положения всего лишь на s = 0,7 м (70 см), поэтому вещества за счет диффузии передвигаются так медленно даже в газах.

Путь молекулы в результате диффузии (или путь броуновской частицы) называется случайным блужданием (по-английски random walk). Остряки-физики переиначили это выражение в drunkard’s walk – «путь пьяницы». Действительно, перемещение частицы от одного положения до другого (или путь молекулы, претерпевающей множество столкновений) напоминает движение нетрезвого человека. Более того, эта аналогия позволяет также довольно просто вывести основное уравнение такого процесса – на примере одномерного движения, которое легко обобщить на трехмерное. Делают это так.

Пусть подвыпивший матрос вышел поздно вечером из кабачка и направился вдоль улицы. Пройдя путь l до ближайшего фонаря, он отдохнул и пошел. либо дальше, до следующего фонаря, либо назад, к кабачку – ведь он не помнит, откуда пришел. Спрашивается, уйдет он когда-нибудь от кабачка, или так и будет бродить около него, то отдаляясь, то приближаясь к нему? (В другом варианте задачи говорится, что на обоих концах улицы, где кончаются фонари, находятся грязные канавы, и спрашивается, удастся ли матросу не свалиться в одну из них). Интуитивно кажется, что правилен второй ответ. Но он неверен: оказывается, матрос будет постепенно все более удаляться от нулевой точки, хотя и намного медленнее, чем если бы он шел только в одну сторону. Вот как это можно доказать.

Пройдя первый раз до ближайшего фонаря (вправо или влево), матрос окажется на расстоянии s₁ = ± l от исходной точки. Так как нас интересует только его удаление от этой точки, но не направление, избавимся от знаков, возведя это выражение в квадрат: s₁ 2 = l 2. Спустя какое-то время, матрос, совершив уже N «блужданий», окажется на расстоянии

s_N = от начала. А пройдя еще раз (в одну из сторон) до ближайшего фонаря, – на расстоянии s_N+1 = s_N ± l , или, используя квадрат смещения, s 2 _N+1 = s 2 _N ± 2s_N l + l 2. Если матрос много раз повторит это перемещение (от N до N + 1), то в результате усреднения (он с равной вероятностью проходит N-ый шаг вправо или влево), член ± 2s_N l сократится, так что 2 _N+1 = s 2 _N + l 2> (угловыми скобками обозначено усредненная величина).

Так как s₁ 2 = l 2, то

s₂ 2 = s₁ 2 + l 2 = 2 l 2, s₃ 2 = s₂ 2 + l 2 = 3 ll 2 и т.д., т.е. s 2 _N = N l 2 или s_N = l . Общий пройденный путь L можно записать и как произведение скорости матроса на время в пути (L = ut), и как произведение числа блужданий на расстояние между фонарями (L = N l ), следовательно, ut = N l , откуда N = ut/ l и окончательно s_N = . Таким образом получается зависимость смещения матроса (а также молекулы или броуновской частицы) от времени. Например, если между фонарями 10 м и матрос идет со скоростью 1 м/с, то за час его общий путь составит L = 3600 м = 3,6 км, тогда как смещение от нулевой точки за то же время будет равно всего s = = 190 м. За три часа он пройдет L = 10,8 км, а сместится на s = 330 м и т.д.

Произведение u l в полученной формуле можно сопоставить с коэффициентом диффузии, который, как показал ирландский физик и математик Джордж Габриел Стокс (1819–1903), зависит от размера частицы и вязкости среды. На основании подобных соображений Эйнштейн и вывел свое уравнение.

Теория броуновского движения в реальной жизни.

Теория случайных блужданий имеет важное практическое приложение. Говорят, что в отсутствие ориентиров (солнце, звезды, шум шоссе или железной дороги и т.п.) человек бродит в лесу, по полю в буране или в густом тумане кругами, все время возвращаясь на прежнее место. На самом деле он ходит не кругами, а примерно так, как движутся молекулы или броуновские частицы. На прежнее место он вернуться может, но только случайно. А вот свой путь он пересекает много раз. Рассказывают также, что замерзших в пургу людей находили «в каком-нибудь километре» от ближайшего жилья или дороги, однако на самом деле у человека не было никаких шансов пройти этот километр, и вот почему.

Чтобы рассчитать, насколько сместится человек в результате случайных блужданий, надо знать величину l , т.е. расстояние, которое человек может пройти по прямой, не имея никаких ориентиров. Эту величину с помощью студентов-добровольцев измерил доктор геолого-минералогических наук Б.С.Горобец. Он, конечно, не оставлял их в дремучем лесу или на заснеженном поле, все было проще – студента ставили в центре пустого стадиона, завязывали ему глаза и просили в полной тишине (чтобы исключить ориентирование по звукам) пройти до конца футбольного поля. Оказалось, что в среднем студент проходил по прямой всего лишь около 20 метров (отклонение от идеальной прямой не превышало 5°), а потом начинал все более отклоняться от первоначального направления. В конце концов, он останавливался, далеко не дойдя до края.

Пусть теперь человек идет (вернее, блуждает) в лесу со скоростью 2 километра в час (для дороги это очень медленно, но для густого леса – очень быстро), тогда если величина l равна 20 метрам, то за час он пройдет 2 км, но сместится всего лишь на 200 м, за два часа – примерно на 280 м, за три часа – 350 м, за 4 часа – 400 м и т. д. А двигаясь по прямой с такой скоростью, человек за 4 часа прошел бы 8 километров, поэтому в инструкциях по технике безопасности полевых работ есть такое правило: если ориентиры потеряны, надо оставаться на месте, обустраивать убежище и ждать окончания ненастья (может выглянуть солнце) или помощи. В лесу же двигаться по прямой помогут ориентиры – деревья или кусты, причем каждый раз надо держаться двух таких ориентиров – одного спереди, другого сзади. Но, конечно, лучше всего брать с собой компас.

Броуновское движение. Опыт Перрена

Одним из косвенных доказательств того, что все вещества состоят из атомов и молекул, движущихся беспорядочно, является броуновское движение.

Это непрерывное хаотическое движение частиц, находящихся во взвешенном состоянии в жидкости или газе.

Причиной такого движения являются удары молекул о частицу, которые не компенсируют друг друга.

Если посмотреть через бутылочное стекло на свет, то можно увидеть, как частицы пыли совершают хаотичное движение в воздухе.

Наблюдения Роберта Броуна

В 1827 году шотландский ботаник Роберт Броун сообщил о своих наблюдениях научному сообществу. Он добавил в воду мелкие зёрна цветочной пыльцы, осветил их интенсивным светом и наблюдал под микроскопом.

Броун обнаружил сильное, непрерывное и зигзагообразное движение этих частиц в воде, хотя поверхность жидкости была совершенно неподвижна.

На тот момент он не мог объяснить, что стало источником этого движения. Причиной явления называли перепад температур внутри воды, дрожание стола, на котором проводили эксперимент.

До конца столетия учёные скептически относились к броуновскому движению. Лишь некоторые считали его подтверждением молекулярно-кинетической теории строения вещества.

Другие физики настаивали на том, что атомы и молекулы фактически не существуют как реальные объекты, а представляют собой математические понятия, полезные для расчета результатов химических реакций.

Теория Эйнштейна и опыт Перрена

В 1905 году Альберт Эйнштейн, не зная о наблюдениях Броуна, опубликовал статью, в которой с помощью математических вычислений рассуждал о том, что если небольшую частицу вещества поместить в воду, то она начнёт перемещаться в разных направлениях. Движение частицы будет результатом бомбардировки её со всех сторон молекулами воды. В определённый момент времени молекулы воды ударяют частицу больше по одной стороне, чем по другой, что приводит к, казалось бы, случайному характеру движения. Работа Эйнштейна стала первым теоретическим аргументом существования молекул и атомов.

В 1909 эксперимент французского учёного Жана Батиста Перрена подтвердил формулу Эйнштейна, опубликованную в 1905 году, и помог доказать существование атомов и молекул. Это доказательство принесло ему в 1926 году Нобелевскую премию по физике.

Согласно уравнениям Эйнштейна, статистически описывающим броуновское движение, часть частиц, взвешенных в воде, должна двигаться в противоположную сторону к действующей силе тяжести. Так как молекулы воды сообщают им импульс и меняют направление их движения.

Перрен начал свои кропотливые наблюдения поведения частиц экстракта жевательной смолы (гуммигута) в 1908 году, чтобы определить приблизительный размер молекул воды.

Он провел несколько месяцев изоляции, наблюдая кусочки гуммигута массой 0,1 грамма. Согласно молекулярной теории Эйнштейна, не все частицы будут опускаться на дно суспензии. Жан Перрен подсчитывал количество частиц на различных глубинах в одной капле жидкости глубиной 0,12 мм. Концентрация частиц экспоненциально уменьшалась с высотой, в соответствии с математическими предсказаниями теории Эйнштейна.

Эйнштейн связал с броуновским движением понятие числа Авогадро (6,023 * 10 23 ). Перрен получил это значение, выполнив расчёты на основании данных, полученных в лаборатории.

Во время своей нобелевской речи он сказал: « Если молекулы и атомы действительно существуют, их относительный вес нам известен. Узнав число Авогадро, мы сможем узнать их абсолютный вес».

Броуновское движение (движение молекул)

Броуновское движение — беспорядочное движение микроскопических видимых, взвешенных в жидкости или газе частиц твердого вещества, вызываемое тепловым движением частиц жидкости или газа. Броуновское движение никогда не прекращается. Броуновское движение связано с тепловым движением, но не следует смешивать эти понятия. Броуновское движение является следствием и свидетельством существования теплового движения.

Броуновское движение — наиболее наглядное экспериментальное подтверждение представлений молекулярно-кинетической теории о хаотическом тепловом движении атомов и молекул. Если промежуток наблюдения достаточно велик, чтобы силы, действующие на частицу со стороны молекул среды, много раз меняли своё направление, то средний квадрат проекции её смещения на какую-либо ось (в отсутствие других внешних сил) пропорционален времени.
При выводе закона Эйнштейна предполагается, что смещения частицы в любом направлении равновероятны и что можно пренебречь инерцией броуновской частицы по сравнению с влиянием сил трения (это допустимо для достаточно больших времен). Формула для коэффициента D основана на применении закона Стокса для гидродинамического сопротивления движению сферы радиусом а в вязкой жидкости. Соотношения для и D были экспериментально подтверждены измерениями Ж. Перрена (J. Perrin) и T. Сведберга (T. Svedberg). Из этих измерений экспериментально определены постоянная Больцмана k и Авогадро постоянная NА. Кроме поступательного Броуновского движения, существует также вращательное Броуновского движение — беспорядочное вращение броуновской частицы под влиянием ударов молекул среды. Для вращательного Броуновского движения среднее квадратичное угловое смещение частицы пропорционально времени наблюдения. Эти соотношения были также подтверждены опытами Перрена, хотя этот эффект гораздо труднее наблюдать, чем поступательное Броуновское движение.

Сущность явления

Броуновское движение происходит из-за того, что все жидкости и газы состоят из атомов или молекул — мельчайших частиц, которые находятся в постоянном хаотическом тепловом движении, и потому непрерывно толкают броуновскую частицу с разных сторон. Было установлено, что крупные частицы с размерами более 5 мкм в броуновском движении практически не участвуют (они неподвижны или седиментируют), более мелкие частицы (менее 3 мкм) двигаются поступательно по весьма сложным траекториям или вращаются. Когда в среду погружено крупное тело, то толчки, происходящие в огромном количестве, усредняются и формируют постоянное давление. Если крупное тело окружено средой со всех сторон, то давление практически уравновешивается, остаётся только подъёмная сила Архимеда — такое тело плавно всплывает или тонет. Если же тело мелкое, как броуновская частица, то становятся заметны флуктуации давления, которые создают заметную случайно изменяющуюся силу, приводящую к колебаниям частицы. Броуновские частицы обычно не тонут и не всплывают, а находятся в среде во взвешенном состоянии.

Теория броуновского движения

В 1905 году Альбертом Эйнштейном была создана молекулярно-кинетическая теория для количественного описания броуновского движения.В частности, он вывел формулу для коэффициента диффузии сферических броуновских частиц:

где D — коэффициент диффузии, R — универсальная газовая постоянная, T — абсолютная температура, N_A — постоянная Авогадро, а — радиус частиц, ξ — динамическая вязкость.

Броуновское движение как немарковский
случайный процесс

Хорошо разработанная за последнее столетие теория броуновского движения является приближенной. И хотя в большинстве практически важных случаев существующая теория даёт удовлетворительные результаты, в некоторых случаях она может потребовать уточнения. Так, экспериментальные работы, проведённые в начале XXI века в Политехническом университете Лозанны, Университете Техаса и Европейской молекулярно-биологической лаборатории в Гейдельберге (под руководством С. Дженей) показали отличие поведения броуновской частицы от теоретически предсказываемого теорией Эйнштейна — Смолуховского, что было особенно заметным при увеличении размеров частиц. Исследования затрагивали также анализ движения окружающих частиц среды и показали существенное взаимное влияние движения броуновской частицы и вызываемое ею движение частиц среды друг на друга, то есть наличие «памяти» у броуновской частицы, или, другими словами, зависимость её статистических характеристик в будущем от всей предыстории её поведения в прошлом. Данный факт не учитывался в теории Эйнштейна — Смолуховского.
Процесс броуновского движения частицы в вязкой среде, вообще говоря, относится к классу немарковских процессов, и для более точного его описания необходимо использование интегральных стохастических уравнений.

Броуновское движение

Ученицы 10 «В» класса

Понятие Броуновского движения

Закономерности Броуновского движения и применение в науке

Понятие Броуновского движения с точки зрения теории Хаоса

Движение бильярдного шарика

Интеграция детермированных фракталов и хаос

Понятие броуновского движения

Броуновское движение, правильнее брауновское движение, тепловое движение частиц вещества (размерами в нескольких мкм и менее), находящихся во взвешенном состоянии в жидкости или в газе частиц. Причиной броуновского движения является ряд не скомпенсированных импульсов, которые получает броуновская частица от окружающих ее молекул жидкости или газа. Открыто Р. Броуном (1773 — 1858) в 1827. Видимые только под микроскопом взвешенные частицы движутся независимо друг от друга и описывают сложные зигзагообразные траектории. Броуновское движение не ослабевает со временем и не зависит от химических свойств среды. Интенсивность Броуновского движения увеличивается с ростом температуры среды и с уменьшением её вязкости и размеров частиц.

Последовательное объяснение Броуновского движения было дано А. Эйнштейном и М. Смолуховским в 1905-06 на основе молекулярно-кинетической теории. Согласно этой теории, молекулы жидкости или газа находятся в постоянном тепловом движении, причём импульсы различных молекул неодинаковы по величине и направлению. Если поверхность частицы, помещенной в такую среду, мала, как это имеет место для броуновской частицы, то удары, испытываемые частицей со стороны окружающих её молекул, не будут точно компенсироваться. Поэтому в результате «бомбардировки» молекулами броуновская частица приходит в беспорядочное движение, меняя величину и направление своей скорости примерно 1014 раз в сек. При наблюдении Броуновского движения фиксируется (см. Рис. 1) положение частицы через равные промежутки времени. Конечно, между наблюдениями частица движется не прямолинейно, но соединение последовательных положений прямыми линиями даёт условную картину движения.

Броуновское движение частицы гуммигута в воде (Рис.1)

Закономерности Броуновского движения

Закономерности Броуновского движения служат наглядным подтверждением фундаментальных положений молекулярно-кинетической теории. Общая картина Броуновского движения описывается законом Эйнштейна для среднего квадрата смещения частицы вдоль любого направления х. Если за время между двумя измерениями происходит достаточно большое число столкновений частицы с молекулами, то пропорционально этому времени t:

Здесь D — коэффициент диффузии, который определяется сопротивлением, оказываемым вязкой средой движущейся в ней частице. Для сферических частиц радиуса, а он равен:

где к — Больцмана постоянная, Т — абсолютная температура, h — динамическая вязкость среды. Теория Броунского движения объясняет случайные движения частицы действием случайных сил со стороны молекул и сил трения. Случайный характер силы означает, что её действие за интервал времени t1 совершенно не зависит от действия за интервал t2, если эти интервалы не перекрываются. Средняя за достаточно большое время сила равна нулю, и среднее смещение броуновской частицы Dc также оказывается нулевым. Выводы теории Броуновского движения блестяще согласуются с экспериментом, формулы (1) и (2) были подтверждены измерениями Ж. Перрена и Т. Сведберга (1906). На основе этих соотношений были экспериментально определены постоянная Больцмана и Авогадро число в согласии с их значениями, полученными др. методами. Теория Броуновского движения сыграла важную роль в обосновании статистической механики. Помимо этого, она имеет и практическое значение. Прежде всего, Броуновское движение ограничивает точность измерительных приборов. Например, предел точности показаний зеркального гальванометра определяется дрожанием зеркальца, подобно броуновской частице бомбардируемого молекулами воздуха. Законами Броуновского движения определяется случайное движение электронов, вызывающее шумы в электрических цепях. Диэлектрические потери в диэлектриках объясняются случайными движениями молекул-диполей, составляющих диэлектрик. Случайные движения ионов в растворах электролитов увеличивают их электрическое сопротивление.

Понятие Броуновского движения с точки зрения теории Хаоса

Броуновское движение — это, например, случайное и хаотическое движение частичек пыли, взвешенных в воде. Этот тип движения, возможно, является аспектом фрактальной геометрии, имеющий с наибольшее практическое использование. Случайное Броуновское движение производит частотную диаграмму, которая может быть использована для предсказания вещей, включающих большие количества данных и статистики. Хорошим примером являются цены на шерсть, которые Мандельброт предсказал при помощи Броуновского движения.

Частотные диаграммы, созданные при построении графика на основе Броуновских чисел так же можно преобразовать в музыку. Конечно, этот тип фрактальной музыки совсем не музыкален и может действительно утомить слушателя.

Занося на график случайно Броуновские числа, можно получить Пылевой Фрактал наподобие того, что приведен здесь в качестве примера. Кроме применения Броуновского движения для получения фракталов из фракталов, оно может использоваться и для создания ландшафтов. Во многих фантастических фильмах, как, например Star Trek техника Броуновского движения была использована для создания инопланетных ландшафтов таких, как холмы и топологические картины высокогорных плато.

Эти техники очень эффективны, и их можно найти в книге Мандельброта Фрактальная геометрия природы. Мандельброт использовал Броуновские линии для создания фрактальных линий побережья и карт островов (которые на самом деле были просто в случайном порядке изображенные точки) с высоты птичьего полета.

ДВИЖЕНИЕ БИЛЛИАРДНОГО ШАРИКА

Любой, кто когда-либо брал в руки кий для бильярда, знает, что ключ к игре — точность. Малейшая ошибка в угле начального удара может быстро привести к огромной ошибке в положении шарика всего после нескольких столкновений. Эта чувствительность к начальным условиям называемая хаосом возникает непреодолимым барьером для любого, кто надеется предсказать или управлять траекторией движения шарика больше чем после шести или семи столкновений. И не стоит думать, что проблема заключается в пыли на столе или в нетвердой руке. Фактически, если вы используете ваш компьютер для построения модели, содержащей бильярдный стол, не обладающий ни каким трением, нечеловеческим контролем точности позиционирования кия, вам все равно не удастся предсказывать траекторию шарика достаточно долго!

Насколько долго? Это зависит частично от точности вашего компьютера, но в большей степени от формы стола. Для совершенно круглого стола, можно просчитать приблизительно до 500 положений столкновений с ошибкой около 0.1 процента. Но стоит изменить форму стола так, чтобы она стала хотя бы немножко неправильной (овальной), и непредсказуемость траектории может превышать 90 градусов уже после 10 столкновений! Единственный путь получить картинку общего поведения бильярдного шарика, отскакивающего от чистого стола — это изобразить угол отскока или длину дуги соответствующую каждому удару. Здесь приведены два последовательных увеличения такой фазово-пространственной картины.

Каждая отдельная петля или область разброса точек представляет поведение шарика, происходящее от одного набора начальных условий. Область картинки, на которой отображаются результаты какого-то одного конкретного эксперимента, называется аттракторной областью для данного набора начальных условий. Как можно видеть форма стола, использованного для этих экспериментов является, основной частью аттракторных областей, которые повторяются последовательно в уменьшающемся масштабе. Теоретически, такое самоподобие должно продолжаться вечно и если мы будем увеличивать рисунок все больше и больше, мы бы получали все те же формы. Это называется очень популярным сегодня, словом фрактал.

ИНТЕГРАЦИЯ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ФРАКТАЛОВ И ХАОС

Из рассмотренных примеров детерминистских фракталов можно увидеть, что они не проявляют никакого хаотического поведения и что они на самом деле очень даже предсказуемы. Как известно, теория хаоса использует фрактал для того, чтобы воссоздать или найти закономерности с целью предсказания поведения многих систем в природе, таких как, например, проблема миграции птиц.

Теперь давайте посмотрим, как это в действительности происходит. Используя фрактал, называемый Деревом Пифагора, не рассматриваемого здесь (который, кстати, не изобретен Пифагором и никак не связан с теоремой Пифагора) и Броуновского движения (которое хаотично), давайте, попытаемся сделать имитацию реального дерева. Упорядочение листьев и веток на дереве довольно сложно и случайно и, вероятно не является чем-то достаточно простым, что может эмулировать короткая программа из 12 строк.

Для начала нужно сгенерировать Дерево Пифагора (слева). Необходимо сделать ствол потолще. На этой стадии Броуновское движение не используется. Вместо этого, каждый отрезок линии теперь стал линией симметрии прямоугольника, который становится стволом, и веток снаружи.

Но результат все еще выглядит слишком формальным и упорядоченным. Дерево еще не смотрится как живое. Попробуем применить некоторые из тех знаний в области детерминированных фракталов, которые мы только что приобрели.

Теперь можно использовать Броуновское движение для создания некоторой случайной беспорядочности, которая изменяет числа, округляя их до двух разрядов. В оригинале были использованы 39 разрядные десятичные числа. Результат (слева) не выглядит как дерево. Вместо этого, он выглядит как хитроумный рыболовный крючок.

Может быть, округление до 2 разрядов было слишком уж много? Снова применяем Броуновское движение, округленное на этот раз до 7 разрядов. Результат по-прежнему выглядит как рыболовный крючок, но на этот раз в форме логарифмической спирали!

Так как левая сторона (содержащая все нечетные числа) не производит эффект крючка, случайные беспорядочности, произведенные Броуновским движением применяются дважды ко всем числам с левой стороны и только один раз к числам справа. Может быть этого будет достаточно чтобы исключить или уменьшить эффект логарифмической спирали. Итак, числа округляются до 24 разрядов. На этот раз, результат — приятно выглядящая компьютеризированная хаотическая эмуляция реального дерева.

25.04.2012 16:44 Плеврит подразумевает собой воспаление плевры, которая покрывает снаружи лёгкие, а также выстилает изнутри полость грудной клетки.

Молот ведьм — кровавая библия инквизиции «Молот ведьм»… Это чудовищное сочинение во славу Божию отправило на костер тысячи невинных людей.

Фото: Руины крепости Туида Туида – это ранневизантийская и средневековая крепость, руины которой находятся на холме Хисарлыка в северо-восточной части города Сливен.

Большая Энциклопедия Нефти и Газа

Дробное броуновское движение

Дробные броуновские движения с 0 Н У2 описываются ан-типерсистентными функциями и следами. Под антиперсистентностью подразумевается стремление постоянно возвращаться к исходной точке, следствием чего является более медленное ( чем у броуновских аналогов) рассеяние. [1]

Дробное броуновское движение ( fractional brownian motion — FBM) представляет собой обобщение броуновского движения, которое долгое время использовалось как процесс диффузии по умолчанию, как мы неоднократно говорили ранее. По существу, если изучаемый процесс неизвестен, и вовлечено большое число степеней свободы, то броуновское движение является столь же хорошим объяснением, как и любое другое объяснение. Поскольку броуновское движение и его свойства так широко и хорошо изучены, оно также делает доступным большое количество математических инструментов для анализа. [2]

Метод анализа, разработанный Херстом для определения эффектов долговременной памяти и дробного броуновского движения . Измеряет увеличение покрываемого точками расстояния при возрастании временного масштаба. Для броуновского движения это расстояние увеличивается пропорционально корню квадратному из времени. Ряд, который увеличивается с другой скоростью, не является случайным. [3]

&) — оо оо со структурной функцией ( 30) закрепился со временем другой термин — фрактальное или дробное броуновское движение . [4]

Процесс ARIMA ( p d q), где d принимает дробное значение. Когда d имеет дробное значение, процесс ARIMA становится дробным броуновским движением и может проявлять эффекты долговременной памяти наряду с AR и МА эффектами краткосрочной памяти. [5]

Линейная пыль Леви из главы 31 была первым субординатором у Бохнера, и с тех пор чистая математика использует ее в качестве субординатора настолько широко, что соответствующую лестницу Леви часто называют устойчивой субординаторной функцией. Для получения самоподобных субординатных множеств применяется самоподобный субор-динанд — такой, как броуновское или дробное броуновское движение . [6]

На основании результатов из предыдущих глав кажется, что шумовой хаос является разумным объяснением движений рынка капитала. За исключением валюты, шумовой хаос совместим с долгосрочным, фундаментальным поведением рынков, а дробное броуновское движение более совместимо с краткосрочными торговыми характеристиками. [7]

Мы исследуем каждый из этих процессов по очереди, но основное внимание будет уделено основным моделям. Варианты основных моделей будут оставлены для будущего исследования. Кроме того, Мандельбротом ( 1964, 1972, 1982) был предложен процесс с долговременной памятью, названный дробным броуновским движением . В таблице 5.4 подводятся итоги следующего раздела. [9]

На более длинных частотах рынок реагирует на экономическую и фундаментальную информацию нелинейным образом. Кроме того, предположение о том, что рынки и экономика должны быть связаны, не является неразумным. Это подразумевает, что нелинейная динамическая система была бы подходящим способом моделирования взаимодействия, удовлетворяющим тот аспект гипотезы фрактального рынка, который остался нерешенным с помощью дробного броуновского движения . Нелинейные динамические системы прибегают к непериодическим циклам и ограниченным множествам, называемым аттракторами. Сами системы подпадают под классификацию хаотических систем. Тем не менее, для того чтобы называться хаотическими, они должны отвечать очень специфическим требованиями. [10]

Лакунарность фрактала также зависит от формы трем, и здесь мы можем сделать несколько более продвинутых по сравнению с предыдущими главами заявлений. Из линейных трема-фракталов ( глава 31) самыми лакунарными являются пыли Леви; наиболее простой и естественный путь получения любой меньшей степени лакунарности заключается в использовании в качестве тремы объединения многих интервалов. В случае пространственных трема-фракталов, получаемых непосредственным построением ( глава 33), простейший способ изменения лакунарности состоит в изменении формы каждой тремы с круглой или шарообразной на любую другую. В случае же пространственных трема-фракталов, субординированных броуновскому или дробному броуновскому движению ( глава 32), следует в качестве субординатора взять какую-либо другую фрактальную пыль, менее лакунарную, чем пыль Леви. [11]

В таблице 12.1 приводятся результаты, а на рисунке 12.1 показан график V-статистики для этой валюты. Этот период имеет 5 200 наблюдений, так что оценка более чем на три стандартных отклонения выше ее ожидаемого значения. Следовательно, она в высокой степени перситентна по сравнению с фондовой биржей. Это согласуется с временной структурой волатильности, которая также не имеет очевидного снижения риска. Поэтому мы можем сделать вывод, что обменный курс иена / доллар совместим с дробным броуновским движением , или процессом Херста. Однако в отличие от рынка акций и облигаций не наблюдается переход к долговременной фундаментальной оценке. На всех инвестиционных горизонтах продолжает доминировать техническая информация. На основании этого мы могли бы предположить, что этот процесс является истинной бесконечной памятью, или процессом Херста, в противоположность процессу с долгой, но конечной памятью, который характеризует рынки акций и облигаций. [13]

Форекс броуновское движение

Экономическин науки/ 8. Математические методы в экономике

К.э.н. Андриенко В.М., магистр Голованова Е.Ю.

Одесский национальный политехнический університет

ВЫЧИСЛЕНИЕ БИРЖЕВЫХ ЦЕН МЕТОДОМ СЛУЧАЙНЫХ БЛУЖДАНИЙ

Рынок ценных бумаг, являясь одной из составляющих рыночной экономики, имеет возможности через свои механизмы мобилизовать инвестиционные ресурсы в целях экономического роста, развития научно-технического прогресса, инновационной деятельности, освоения нових производств. Все операции с ценными бумагами всегда сопряжены с риском. В этой связи построение математических моделей, позволяющих лучше понять структуру и поведение рынка как единого целого, так и его составляющих, долгое время привлекали и продолжают привлекать внимание исследователей и практиков. Эти модели важны и для инвесторов, интересующихся возможностью прогнозирования поведения цен финансовых активов, и для регулирующих органов, которых интересует возможность влияния на рынок так, чтобы он наилучшим образом соответствовал целям развития экономики. Попытки построить модели цен и доходностей ценных бумаг предпринимались еще с начала ХХ в. Французский ученый Л.Башелье, опубликовавший свою работу в начале 1900-х годов , предложил нормальную модель для цен финансовых активов и товаров, которые основаны на центральной предельной теореме. В течение ХХ в. предложение о нормальности цен и доходностей использовалось во многих моделях, в частности, в моделе выбора портфеля Марковица-Шарпа и в методике RickMetrics . В 1964 году В.Шарп предложил модель CAPM (Capital Asset Pricing Model), а в 1976 году С.Росс представил теорию APT (Arbitrage Pricing Theory). Обе эти теории, ставшие в последствии классическими, составляют ядро современной теории финансов. Практика показала, что гипотеза о нормальности цен и доходностей приемлема только на очень небольших интервалах времени. При увеличении интервалов она обычно плохо соответствует данным. Лучше соответствует данным так называемая логнормальная модель. Логнормальное распределение с параметрами характеризуется функцией распределения

Математическое ожидание и дисперсия вычисляются соответственно по формулам (2) и (3)

Кривые плотности логнормального и нормального распределений изображены соответственно на Рисунках 1 и 2.

Рисунок 1. Плотность логнормального Рисунок 2. Плотность нормального

Затем ученые пришли к выводу, что лучше рассматривать не изменения цен, а приращения их логарифмов. Так возникла концепция геометрического (экономического) броуновского движения П.Самуэльсона. Процесс геометрического броуновского движения отражает уравнение (4), а графически Рисунок 3.

где — цена некоторого рискового (со случайной доходностью) актива на момент , при этом предполагается, что актив бездивидентный, то есть, весь его доход состоит только в повышении цены актива, — цена актива в момент времени t=0, — годовая ставка доходности актива, — годовая волатильность , — нормально распределенная случайная величина с нулевым математическим ожиданием и дисперсией .

Рисунок 3. Процесс геометрического броуновского движения

Вместо начального момента можно взять произвольное , тогда в качестве начальной цены вместо нужно взять . Цена актива имеет логнормальное распределение. Пользуясь формулами (2,3) выпишем выражения для математического ожидания и дисперсии:

Вскоре модель Самуэльсона подверглась критике. Дело в том, что на больших объемах эмпирических данных модель не согласуется с фактическими данными. Появились уточнения модели геометрического броуновского движения, например, ARCH, GARCH и др. Затем стали рассматривать волатильность переменной величиной во времени. Однако, эти уточнения либо малоэффективны, либо приводят к сложным математическим алгоритмам. Н а сегодняшний день большое распространение среди профессиональных инвесторов получили пакеты, основанные на нейросетевых методах и фрактальной теории. Такие пакеты обладают некоторыми способностями адаптироваться к рынку. Проблема заключается в том, что законы рынка меняются, а модели, встроенные в пакеты, остаются прежними. В результате, пакет со временем утрачивает способность к адаптации, а финансовый менеджер, не имея возможности перепрограммировать готовый пакет, принимает решения на основе устаревших моделей .

Модель геометрического броуновского движения является достаточно простой и легко реализуется на практике, поэтому она является привлекательной для менеджеров. Однако, переменными во времени следует считать оба параметра модели. Рассмотрим практический подход в реализации этой идеи. В формулах (5) выразим и :

В качестве и возьмем оценки этих характеристик по эмпирическим данным, полученным методом подстановки :

где — значения эмпирического ряда, — число значений эмпирического ряда.

Таким образом, по мере поступления новых эмпирических данных, можно производить коррекцию геометрического броуновского процесса (4) в реальной ситуации. Для правильного расчета по формуле (4) необходимо задать масштаб времени. Если используются годовые показатели волатильности и доходности, то временной масштаб, соответствующий году, принимается равным единице, а один день составляет 1/ k ( k –число торговых дней в рассматриваемом году).

На рисунке 7 приведены графики фактических (жирным) и прогнозных цен паев ПИФов компании «Укртелеком» на 2007 год при постоянных и , вычисленных на основе данных за 215 торговых дней 2006 года (здесь и в дальнейшем приведены данные сайта www.uapif.com ). На оси абсцисс показаны номера периодов. Временной период в данном случае равен одному дню и составляет . Среднегодовая волатильность при этом равна = 0,007, а среднегодовая доходность = 0,34, величины вычислены с помощью генератора случайных чисел пакета «Анализ данных» в Microsoft Ecxel.

Рисунок 7. Динамика фактических и прогнозных данных на 2007 г. цен паев ПИФов компании «Укртелеком»

Из рисунка видно, что только на двух участках, c 38 по 40 день и с 60 по 120 день прогнозные данные согласуются с фактическими, а на остальных – существенно расходятся.

На Рисунке 8 приведены графики фактических (жирным) и прогнозных цен паев ПИФов компании «Укртелеком» на 2007 год при переменных и . Параметры пересчитывались по мере появления данных за 2007 год каждые 30 дней, при этом момент времени сдвигался на 30 дней, таким образом число временных периодов оставалось постоянным, равным 215. Однако, корректировка формулы (4) производилась дважды, в точках, соответствующих 120 и 150 временным периодам (120 и 150 дням 2007 года). До этого момента времени параметры и оставались практически неизменными, а после этого момента, до конца прогнозного периода оставалось немного точек, и необходимость корректировки на этом интервале утратила свою актуальность. На приведенном рисунке 8 прогнозные точки получены при следующих значениях параметров: =0,074 и =0,007. Критерием качества прогноза рассматривалась сумма квадратов отклонений прогнозных значений от фактических. В первом случае значение критерия равно 3,8855 во втором — 0,4187. Таким образом, корректировка параметров геометрического броуновского движения на порядок улучшила прогноз.

Рисунок 8. Динамика фактических и откорректированных

прогнозных данных на 2007 г. цен паев ПИФов компании «Укртелеком»

В приведенном примере на процесс в большей степени влияет параметр доходности , а параметр волатильности практически оставался неизменным, в пределах 0,006-0,007. Практика показала, что корректировку процесса (4) следует производить в середине текущего периода. В точках, расположенных вблизи границы откорректированный результат может оказаться хуже предыдущего. Чаще, чем через 30-50 дней корректировку производить не следует, параметры меняются достаточно медленно. Примененная вычислительная процедура легко реализуется в Microsoft E xcel .

1. А.Г.Шоломицкий,. Теория риска- М.:Издательский дом ГУ ВШЭ, 2005- 395 с.

2. В.Ю. Королев, В.Е. Бенинг, С.Я. Шоргин. Математические основы теории риска- М.:ФИЗМАТЛИТ, 2007-380.

3. В. Феллер. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, Т.2.-М.:Мир 1984-761с.

Броуновское движение

Броуновское движение (брауновское движение) — беспорядочное движение малых частиц, взвешенных в жидкости или газе, происходящее под действием ударов молекул окружающей среды.

Впервые такое движение исследовал и описал в 1827 г. английский ботаник Р. Браун при изу­чении под микроскопом взвешенной в воде цветочной пыльцы. Он обнаружил, что частички пыль­цы находятся в непрерывном беспорядочном движении, как бы исполняя дикий фантастический танец. Он писал: «Это движение, как я убежден, обусловлено не потоками жидкости, не постепен­ным ее испарением, а принадлежит самим частицам».

Наблюдаемые (броуновские) частицы размером

1 мкм и менее совершают неупорядоченные независимые движения, описывая слож­ные зигзагообразные траектории (рис. 2.1).

Подобный опыт можно проделать, пользуясь краской или тушью, предварительно растертой до таких мельчайших крупинок, которые видны лишь в микроскоп. Можно увидеть, что крупинки краски не­прерывно движутся. Самые мелкие из них беспорядочно перемещают­ся с одного места в другое, более крупные лишь беспорядочно колеб­лются.

Броуновское движение можно наблюдать и в газе. Например, в воздухе его совершают взвешенные там частицы пыли или дыма.

Броуновское движение никогда не прекращается! В капле воды (если не давать ей высохнуть) движение крупинок можно наблюдать в течение многих дней, месяцев, лет. Оно не прекращается ни ле­том, ни зимой, ни днем, ни ночью. В кусках кварца, пролежавших в земле тысячи лет, попадаются иногда капельки воды, замурованные в минерале. В этих капельках тоже наблюдали броуновское движение плавающих в воде частиц.

Интенсивность броуновского движения увеличивается с повыше­нием температуры, уменьшением вязкости среды, уменьшением раз­мера частиц. Оно не зависит от химической природы частиц и време­ни наблюдения.

Броуновское движение служит доказательством существования еще более мелких частиц — молекул жидкости, невидимых даже в самые сильные оптические микроскопы.

Броуновское движение объясняется тем, что благодаря случайной неодинаковости количества ударов молекул жидкости о частицу с разных направлений возникает равнодействующая сила определенного направления. Поскольку подобные флуктуации (флуктуа­ция — случайное отклонение физической величины от ее среднего значения) очень кратковремен-ны, то в следующий миг направление равнодействующей меняется и, следовательно, изменится направление перемещения частицы. Отсюда наблюдающаяся хаотичность броуновского движе­ния, которая отражает хаотичность молекулярного движения.

Открытие броуновского движения имело большое значение для изучения строения вещества. Оно показало, что тела действительно состоят из отдельных частиц — молекул — и что молекулы находятся в непрерывном беспорядочном движении.

Полная теория броуновского движения была разработана Эйнштейном и Смолуховским в 1905-1906 гг. и экспериментально подтверждена Ж. Перреном. Выводы теории показали, что среднее значение квадрата смещения броуновской частицы за определенный промежуток времени про­порционально этому промежутку времени, температуре и постоянной Больцмана.

Эксперименты Ж. Перрена, в которых он определял положение одной определенной части­цы через каждые 30 с, подтвердили выводы теории. Перрен проводил также опыты по проверке зависимости концентрации молекул газа от высоты и барометрической формулы — зависимости атмосферного давления от высоты. Он предположил, что броуновские частицы, являясь своего рода большими молекулами, должны подчиняться тем же законам, что и молекулы атмосферы, а, следовательно, их концентрация с высотой должна падать. Его эксперименты полностью под­твердили теорию. Они позволили ему определить постоянную Авогадро, значение которой совпало с уже известным.

Таким образом, броуновское движение является самым ярким подтверждением теплового дви­жения молекул — одного из положений молекулярно-кинетической теории.

На рынках броуновское движение.

EURUSDEURUSD рисует нисходящий треугольник с уровнем поддержки 1,2293 и уровнем сопротивления 1,2350. Скользящие средние МА(13) и МА(100) показывают разнонаправленное движение. В тоже время MACD находится в положении перепроданности. EURUSD торгуем вниз в коридоре 1,2350 — 1,2290— 1,2170.

GBPUSDGBPUSD рисует нисходящий треугольник с уровнем поддержки 1,3912 и уровнем сопротивления 1,3980. Скользящие средние МА(13) и МА(100) оказывают поддержку движению вверх. В тоже время MACD и RSI находятся в нейтральном положении. GBPUSD торгуем вниз в коридоре 1,3980- 1,3910 – 1,3820.

USDCHFUSDCHF рисует восходящий треугольник с уровнем поддержки 0,9440 и уровнем сопротивления 0,9520. Скользящие средние МА(13) и МА(100) показывают разнонаправленное движение. В тоже время MACD и RSI находятся в нейтральном положении. USDCHF торгуем вверх в коридоре 0,9440– 0,9520– 0,9600.

USDJPYUSDJPY рисует нисходящий треугольник с уровнем поддержки 105,80 и уровнем сопротивления 106,40. Скользящие средние МА(13) и МА(100) оказывают поддержку движению вниз. В тоже время MACD и RSI находятся в нейтральном положении. USDJPY торгуем вниз в коридоре 106,40- 105,80 – 105,30.

НефтьНефть рисует сходящийся треугольник с уровнем поддержки 64,60$/бар и уровнем сопротивления 65,35$/бар. Скользящие средние МА(13) и МА(100) оказывают поддержку движению вверх. В тоже время MACD и RSI находятся в нейтральном положении. Нефть торгуем вверх в коридоре 64,60$/бар — 65,35$/бар – 66,50$/бар.

Броуновское движение. Винеровский процесс

Винеровский процесс, или процесс броуновского движения, имел большое значение при разработке теории случайных процессов. Многие распределения, используемые в теории управления, можно моделировать процессами, порождаемыми винеровскими процессами.

В 1827 г. английский ботаник Р. Броун заметил, что маленькие частицы диаметром около микрона, погруженные в жидкость, находятся в постоянном хаотическом движении. В 1905 г. А. Эйнштейн объяснил это движение как результат столкновения частиц с молекулами жидкости. Он разработал математическую модель броуновского движения. Строгий математический анализ броуновского движения дал Н. Винер в 1923 г.

Рассмотрим движение частицы на координатной прямой. Зафиксируем координату x броуновской частицы на числовой прямой и будем считать, что изменение положения частицы происходит в моменты времени, кратные , влево и вправо на с равной вероятностью.

Пусть случайный процесс задаёт положение частицы в момент времени . Предположим, что

2) — процесс с независимыми приращениями, т.е. и — независимые случайные величины.

3) Приращения на промежутках одинаковой длины и одинаково распределены.

Т.к. отдельное смещение мало (за время ), естественно считать, что положение частицы в момент времени t определяется как сумма малых смещений, к которой применима центральная предельная теорема.

Определение. Броуновским движением называется случайный процесс , для которого выполняются следующие условия:

2) — процесс с независимыми приращениями;

3) приращения имеет нормальное распределение с параметрами 0 и , т.е. .

В силу независимости приращений , тогда , .

Если , то броуновское движение называется винеровским процессом и обозначается или .

Определение. Винеровским процессом называется процесс, для которого:

— переходная плотность винеровского процесса:

Тогда переходная плотность .

Можно показать, что эта плотность удовлетворяет уравнению Фоккера-Планка-Колмогорова:

Некоторые свойства Винеровского процесса:

1. У Винеровского процесса существует модификация с непрерывными траекториями (с вероятностью 1 траектории Винеровского процесса являются непрерывными).

2. С вероятностью 1 траектории Винеровского процесса не имеют производные ни в одной точке.

3. С вероятностью 1 траектории Винеровского процесса имеют неограниченную вариацию на любом конечном интервале.

4. Сумма квадратов приращений Винеровского процесса, соответствующих их разбиению на , сходится к длине этого отрезка в среднем квадратическом смысле при мелкости разбиения, стремящейся к нулю, т.е.

Дата добавления: 2015-09-20 ; просмотров: 1254 | Нарушение авторских прав

Зона кода

Представляю вашему вниманию пятидесятую, юбилейную статью сайта. Этот юбилей я решил отметить не формулами и математическими выкладками, а картинками и видеороликом.

Мы будем заниматься моделированием броуновского движения программным способом.

Броуновское движение — это достаточно известное явление, которое изучается, если я не ошибаюсь, ещё в школе на уроках физики. Однако оно представляет интерес и с математической точки зрения. Недаром выдающийся русский советский математик Андрей Николаевич Колмогоров посвятил этому явлению статью «Броуновское движение и задача о блуждании по плоскости». Эта статья вошла в виде главы в книгу «Математика — наука и профессия», представляющую собой сборник статей, написанных Колмогоровым преимущественно для школьников и учителей математики и вышедшую в печать уже после смерти автора.

Вот что Андрей Николаевич рассказывает о броуновском движении в данной статье:

. в 1827г. ботаник Р. Броун открыл явление, которое по его имени названо броуновским движением. Броун наблюдал под микроскопом взвешенную в воде цветочную пыльцу. К своему удивлению, он обнаружил, что взвешенные в воде частицы пыльцы находятся в непрерывном беспорядочном движении, которое не удаётся прекратить при самом тщательном старании устранить какие-либо внешние воздействия, способные эти движения поддержать (например, вызвать движение самой воды под влиянием неравномерности температуры и т. п.). Вскоре было обнаружено, что это общее свойство любых достаточно мелких частиц, взвешенных в жидкости. Его интенсивность зависит только от температуры и вязкости жидкости и от размеров частиц (движение тем интенсивнее, чем температура выше, вязкость меньше, а частицы мельче). Каждая частица движется по своей собственной траектории, не похожей на траектории соседних частиц, так что близкие вначале частицы очень быстро становятся удалёнными (хотя могут иногда случайно вновь встретиться).

В этой же статье автор предлагает рассмотреть упрощённую математическую модель броуновского движения, которую и я собираюсь использовать. Вот что он пишет:

Основные черты броуновского движения частицы можно наблюдать уже на упрощённой модели блуждания частицы по плоскости, разделённой на квадратики. К таким упрощённым моделям при изучении более сложных явлений прибегают и в серьёзных научных исследованиях.

Будем считать, что наша частица перемещается отдельными шагами и за один шаг переходит из квадратика, в котором она находится в начале шага, в один из четырёх соседних квадратиков.

Далее Колмогоров исследует движение одной частицы в рамках предложенной им модели с точки зрения теории вероятностей и приходит к достаточно интересным выводам. Рекомендую читателю прочитать эту статью. Кстати, она является частью главы, посвящённой теории вероятности, которая является отличным введением в данный раздел математики для новичков.

Ну а мы будем использовать предложенную Андреем Николаевичем модель для создания ролика, демонстрирующего броуновское движение большого количества частиц.

Модель весьма простая; как видите, она изложена всего лишь в одном предложении; простой будет и программа, поэтому данную статью можно рассматривать как адресованную новичкам.

Предварительные замечания

Наше поле, состоящее из квадратиков (в дальнейшем мы будем называть их клетками), будет не бесконечным, а квадратным. В начальный момент времени некоторые клетки будут заполнены частицами. На каждом шаге каждая из частиц будет перемещаться на одну из четырёх соседних клеток. Состоянием поля будем называть распределение частиц по его клеткам в данный момент времени.

Начальное и последующие состояния поля будут преобразовываться в квадратные изображения. Каждой клетке будет соответствовать свой пиксель изображении. Он будет иметь белый цвет, если соответствующая ему клетка пуста. Если же клетка содержит одну или более частиц, то соответствующий ей пиксель будет чёрным.

Для построения изображений будем использовать библиотеку pgraph (предполагаем, что читатель с ней знаком хотя бы в общих чертах). Созданные изображения будем рассматривать как кадры анимации, которую мы сконструируем посредством программы VirtualDub.

Частицы неразличимы между собой, и перемещение каждой из них на каком-либо шаге не зависит от того, каким образом частица перемещалась ранее, а зависит только от её местонахождения непосредственно перед данным шагом. Поэтому мы можем не хранить информацию о каждой частице в отдельности. Для формирования состояния поля после некоторого шага нам нужно лишь знать исходное состояние (перед шагом). Поэтому будем фиксировать только состояния полей.

Для хранения состояний квадратных полей будем использовать двухмерные массивы. Каждый элемент массива будет соответствовать одной клетке поля и содержать количество частиц, находящихся в данной клетке. Нам понадобятся 2 таких массива. На каждом шаге из «старого» состояния поля, хранящегося в одном из массивов, мы будем формировать «новое» состояние, помещая его в другой массив. После завершения данного процесса на следующем шаге массивы уже поменяются ролями.

Для выбора направлений перемещений частиц на каждом шаге будем использовать генератор псевдослучайных чисел, реализованной в стандартной библиотеке языке C. Об этом мы ещё подробно поговорим в одном из последующих разделов.

Начальное состояние поля я предполагал сформировать, поместив большое количество частиц в одну-единственную клетку, чтобы наблюдать расширение минимально возможной области, занятой частицами. Однако я отказался от этого плана, в связи с одной особенностью нашей модели, которая заключается в следующем.

Предположим, что все клетки раскрашены точно так же, как поля шахматной доски. Пусть, для определённости, изначально частица находится в клетке чёрного цвета. Тогда после чётного количества шагов она всегда будет находиться в чёрной клетке, а после нечётного — в белой. А если сразу все частицы изначально располагаются в одной клетке, то в результате каждого шага все клетки, занятые частицами перед этим шагом, окажутся свободными от частиц. Таким образом, область, содержащая большое число частиц, будет выглядеть как своеобразное «решето». А в ходе шагов решёта будут переходить одно в другое, и всё это будет вызывать эффект мерцания.

Полагаю, что такое мерцание будет не очень хорошо смотреться, поэтому я решил разместить все частицы в 5 клетках, расположенных «крестом». Крест выбран из соображений симметрии. А чтобы после каждого шага количество частиц, расположенных в «белых» клетках, совпадало с количеством частиц, расположенных в «чёрных», изначально частицы предлагается разместить так, чтобы в центральной клетке их было столько же, сколько и в остальных 4-ёх в сумме. При этом частицы между 4-мя данными клетками должны быть размещены равномерно.

Пусть, например, общее число частиц равно N, где N делится на 8. Тогда частицы внутри креста будут распределены так, как показано на рисунке.

Первоначальное распределение частиц по клеткам

Этот «крест» будет располагаться примерно в центре квадратного поля.

А что будем делать с частицами, достигшими границ квадратного поля, и пытающимися выйти за его пределы? Пусть себе выходят. Вернуться в поле они, разумеется, уже не смогут. Будем считать, что поле — это квадратная столешница стола, а частицы, вышедшие за его пределы, просто упали на пол.

Структура программы

Программа состоит из главного файла brownian_motion.c и библиотечных файлов, входящих в библиотеку pgraph. В состав файла brownian_motion.c входят 3 функции — основная функция main() и 2 вспомогательные: rand4() и create_frame() . Первая из них генерирует псевдослучайные числа от 0 до 3, а вторая преобразовывает состояния полей в изображения и сохраняет последние в графических файлах.

Файл brownian_motion.c начинается с директив препроцессора #include и #define :

Как мы видим, к файлу brownian_motion.c подключается лишь один заголовочный файл, принадлежащий графической библиотеке. Макрос S содержит длину стороны квадратного поля, выраженную в длинах сторон клеток, его образующих. Разумеется, это значение совпадает с длиной и шириной соответствующего полю изображения в пикселях. Значение 360 взято, «с прицелом» на построение видеоролика: данная высота кадра является одной из стандартных.

Значения макросов N и F , смысл которых понятен из комментариев, подбираются эмпирически. Читатель может поэкспериментировать, переопределяя данные макросы.

Генерация псевдослучайных чисел — функция rand4()

В ходе выполнения программы постоянно будут генерироваться направления перемещений частиц. Всего возможны 4 варианта таких направлений, поэтому нам понадобится генератор псевдослучайных чисел, возвращающий при каждом запуске одно из чисел 0, 1, 2, или 3. Псевдослучайные числа из данного набора и будут возвращаться функцией rand4() .

В основе этой функции будет лежать стандартная библиотечная функция rand() , объявленная в заголовочном файле . Эта функция генерирует целые равномерно распределённые псевдослучайные числа в диапазоне от 0 до RAND_MAX .

Компилятор, которым я пользуюсь, присваивает макросу RAND_MAX значение 32767. Таким образом, функцией rand() , фактически, генерируются 15-битовые псевдослучайные числа. Но нам для реализации одного перемещения одной частицы достаточно всего лишь 2-битового псевдослучайного числа.

Поступим мы следующим образом: будем расходовать числа, возвращаемые rand() , максимально экономно. Для этого мы будем использовать эти числа парами, «склеивая» каждый раз два 15-битовых числа в одно 30-битовое. Из полученного числа будем извлекать биты парами. Таким образом, мы сможем получить из одного такого числа 15 чисел от 0 до 3.

А теперь приведём код функции.

Функция rand4() при каждом вызове возвращает одно псевдослучайное число от 0 до 3.

В строках 3 и 4 объявляются 2 статические переменные — count и r andom , которые сохраняют свои значения между вызовами функциями. Первая из них приобретает первоначальное значение 0 и увеличивается на 2 перед окончанием работы функции, за исключением случая, когда к окончанию работы её значение равно 28; тогда значение count обнуляется. Вторая переменная предназначена для хранения 30-битового псевдослучайного числа, получаемого «склейкой» двух чисел, генерируемых rand() .

Как мы видим, новое значение переменная random приобретает только в случае, если значение count — нулевое (см. стр. 5, 6). Таким образом, random обновляется каждые 15 вызовов функции rand4() , начиная с первого.

В строке 7 содержимое random сдвигается на count разрядов влево, после чего 2 последних бита результата (они и образуют остаток от деления на 4) записываются в переменную result . Таким образом, в этой переменной оказываются биты числа, содержащегося в random с номерами count и count + 1 (биты нумеруем от младшего к старшему; нумерация начинается с 0).

В строках 8-11 значение count обновляется уже описанным выше способом, а в строке 12 из функции возвращается результат.

Заметим, что генератор псевдослучайных чисел от 0 до 3 получился весьма неплохим. Эксперимент показал, что при 10000 запусков функция rand4() возвращает числа 0, 1, 2 и 3 в 25,19%, 24,99%, 24,77% и 25,05% случаев соответственно. Для 100000 запусков данные показатели будут равны уже 24,85%, 25,01%, 25,01% и 25,13%. Наконец, если функцию запустить миллион раз, то показатели будут такими: 24,97%, 24,99%, 25,01% и 25,03%.

Видно, что в среднем доли выпадений 4-х чисел с увеличением количества вызовов функции rand4() приближаются к 25%. Математические расчёты это подтверждают: средние квадратические отклонения от 25% в рассмотренных трёх случаях составлют 0,151%, 0,098% и 0,023%. Они, как и следовало ожидать, уменьшаются с увеличением числа вызовов.

Создание кадра — функция create_frame()

Следующая вспомогательная функция — create_frame() . Вот её код:

Функция create_frame() принимает в качестве параметров адрес первого элемента двухмерного массива, содержащего информацию о состоянии поля, адрес объекта типа image и целое число. Функция записывает в объект типа image графическое представление состояния поля, после чего содержимое данного объекта сохраняется в графическом файле, который в дальнейшем становится одним из кадров анимации.

Код функции достаточно прост. Как мы видим, в двух циклах for , один из которых вложен в другой (см. стр. 4, 5), перебираются все элементы двухмерного массива. Если содержимое текущего элемента отлично от нуля (что означает наличие частиц в клетке, информация о которой хранится в элементе), то пиксель изображения, соответствующий элементу, окрашивается в чёрный цвет; если же значение элемента равно нулю (т. е. в случае отсутствия частиц в клетке), то пиксель окрашивается в белый цвет (стр. 6).

Обратите внимание на то, что соответствие между элементами массива устанавливается очень просто: индексы элемента, описывающего содержимое клетки, совпадают с координатами пикселя, отображающего данную клетку.

Далее генерируется имя графического файла с расширением bmp, в который записывается изображение (стр. 7). Часть имени, предшествующая расширению, представляет собой число, переданное в функцию, при необходимости дополненное нулями слева так, чтобы данная часть имени всегда состояла из 4-х символов. Такой способ наименования файлов обусловлен нашими дальнейшими планами по сбору всех файлов в ролик посредством VirtualDub.

Наконец, последняя операция, выполняемая функцией, — непосредственное сохранение изображения в файле (стр. 8), который создаётся в директории results, находящейся в корневом каталоге исполняемого файла (к моменту выполнения программы эта директория уже должна существовать).

Функция main()

Переходим к рассмотрению функции, выполняющей основную «работу» по моделированию броуновского движения. Ниже помещён её код.

В строке 3 объявляем два двухмерных массива, каждый из которых состоит из S строк и S столбцов. В этих массивах будут храниться состояния полей. Сразу же объявляем 2 указателя и присваиваем им адреса данных массивов (стр. 4). Работать с массивами мы будем, в основном, через эти указатели. Во-первых, это позволит нам легко реализовать ситуацию, в которой массивы меняются ролями при переходе от одного шага к другому, поскольку такой обмен ролями будет эквивалентен обмену указателей значениями. Во-вторых, это ускорит обращения к элементам массивов. Данной теме, в частности, будет посвящена, статья о двухмерных массивах, которую я собираюсь написать.

Присваиваем всем элементам обоих массивов нулевые начальные значения (стр. 5, 6). Формируем в массиве square1 начальное состояние поля, распределяя все частицы между 5-ю клетками, образующими «крест» (стр. 7-9). Создаём динамически изображение, в которое будем последовательно помещать графические представления всех состояний поля (стр. 10) и тут же преобразуем начальное состояние поля в файл 0001.bmp (стр. 11) — первый кадр нашей будущей анимации.

Теперь в цикле for (стр. 12) формируем оставшиеся N — 1 кадров.

На каждой его итерации в двух циклах for , один из которых вложен в другой (см. стр. 14, 15) перебираем все элементы массива, адресуемого указателем p1 . Значение каждого элемента сохраняем в переменной elem (стр. 17).

Далее вызываем функцию rand4() столько раз, сколько частиц находится в клетке, соответствующей текущему элементу массива (т. е. количество вызовов равно значению elem ) и после каждого вызова увеличиваем значение одной из переменных left , right , up или down в зависимости от того, какое из 4-х чисел возвращено функцией (см. стр. 21-36). Эти переменные, как несложно догадаться из их названий, являются счётчиками, которые в ходе цикла while «подсчитывают» частицы, «перешедшие» на текущем шаге в каждую из четырёх соседних клеток (начальные значения этих переменных — нулевые (см. стр. 20)).

По окончании цикла while сумма значений, содержащихся в переменных left , right , up и down равна начальному значению переменной elem . Теперь мы увеличиваем на величины, равные значениям этих переменных, содержимое элементов массива, адресуемого указателем p2 , соответствующих четырём соседним клеткам (см. стр. 37-44). При этом мы каждый раз удостоверяемся в том, что соседняя клетка принадлежит нашему квадратному полю (см. стр. 37, 39, 41 и 43). Если мы уверены в том, что частицы не выйдут за границы поля, то эти 4 строки, содержащие инструкции if , можно убрать, тем самым немного уменьшив время работы программы.

Мы не стали сразу в ходе цикла while модернизировать содержимое элементов массива, адресуемого указателем p2 , а прибегли к использованию четырёх промежуточных переменных всё с той же целью — чуть-чуть сократить время работы программы, избавив компьютер от необходимости многократно вычислять адреса одних и тех же четырёх элементов массива. Экономия времени, скорее всего, весьма незначительна, но пусть она будет.

Далее обнуляем содержимое текущего элемента массива, адресуемого указателем p1 (стр. 45).

После обработки всех элементов массива, адресуемого p1 , в массиве, адресуемом p2 , содержится новое состояние поля. При этом все элементы первого из этих массивов — нулевые. Перед переходом к новой итерации самого внешнего цикла нам остаётся лишь сохранить изображение, соответствующее текущему состоянию поля и содержащееся во втором массиве, в графическом файле (стр. 48), после чего переключить указатель p1 на второй массив, а p2 — на первый.

А после построения всех графических файлов мы не забываем уничтожить изображение, созданное динамически в начале функции (стр. 53).

Результаты выполнения программы

После выполнения программы в директории results, расположенной в том же каталоге, что и исполняемый файл, появляются 4 тысячи файлов 0001.bmp, 0002.bmp, …, 4000.bmp, содержащих кадры нашей будущей анимации.

В первом кадре, как и ожидалось, изображён «крестик», состоящий и 5 пикселей. Далее, с увеличением номеров кадров, он начинает расти, «превращаясь» в почти идеальный ромб:

6-й кадр анимации, демонстрирующей броуновское движение

Далее ромб плавно переходит в круг, от которого отделяются отдельные частицы:

115-й кадр анимации, демонстрирующей броуновское движение

Постепенно круг увеличивается в размерах, теряя свою круглую форму, а окружающих его частиц становится всё больше и больше:

500-й кадр анимации, демонстрирующей броуновское движение

Этот процесс продолжается: пятно расплывается всё сильнее и сильнее, а внутри него начинает появляться всё больше и больше пустых областей. Мне это напоминает рой пчёл:

2000-й кадр анимации, демонстрирующей броуновское движение

Наконец, пятно расплывается ещё больше, а некоторые частицы уже начинают выходить за пределы нашего поля:

4000-й кадр анимации, демонстрирующей броуновское движение

Теперь переходим к созданию самой анимации. Как уже было сказано, для её построения я использую программу VirtualDub. Процесс создания анимации из отдельных графических файлов с помощью данного приложения уже был рассмотрен нами в предыдущих статьях (в этой и в этой), поэтому повторяться не буду. Скажу лишь, что я установил частоту кадров, равную 25 кадр./с., а для сжатия применил кодек Huffyuv, сжимающий без потерь. В итоге получился видеофайл длительностью 2мин. 40с., размером 376МБ.

Заранее было известно, кадры видеоролика, содержащие большое количество отдельных пикселей, цвета которых резко отличны от фона, будут испоганены Ютьюбом по причине высокой степени сжатия. Несмотря на это, я загрузил итоговый ролик на данный видеохостинг. Вот что из этого получилось:

Интересно, что первые секунд 15 сжатие вообще не заметно (если сильно не присматриваться). Видимо, на первых порах битрейта хватает, чтобы сжимать кадры с хорошим качеством. Дальше уже начинают появляться артефакты сжатия, но пока они ещё не мешают смотреть. Далее (примерно после 23-ей секунды) вокруг пятна появляется мерцающая «пелена», пока ещё терпимая. Но где-то уже к 35-й секунде эта пелена начинает сильно мешать. А потом всё уже идёт «вразнос». Один из последних кадров на Ютьюбе выглядит примерно так:

Один из последних кадров анимации после его сжатия Ютьюбом

Так что лучше просматривать видеоролик в исходном качестве.

Заключение

Ну, вот и всё. Мы убедились в том, что с помощью достаточно простой программы можно смоделировать, пусть и очень грубо, весьма интересный физический процесс.