Комбинаторика для Форекс

Рейтинг лучших брокеров для торговли акциями за 2020 год:
  • FinMax (Форекс)
    FinMax (Форекс)

    Лучший брокер Форекса! Удобная платформа и высокая прибыль до 40% в месяц!

  • BINARIUM
    ☆☆☆☆☆
    ★★★★★
    BINARIUM

    Лучший брокер по бинарным опционам. Огромный раздел по обучению.

В этой статье раскрыты следующие темы:

Комбинаторика: Считаем комбинации рук в покере

Из этой статьи вы узнаете, как подсчитать количество возможных комбинаций у оппонента и как блокеры влияют на диапазон противника.

Попробуйте ответить на эти вопросы прямо сейчас, чтобы проверить себя:

1. Сколько всего разных комбинаций карт вы можете получить в безлимитном холдеме?
2. Сколько способов получить JJ?
3. Сколько способов получить TJ?
4. На флоп вышли T92r, у каких рук сейчас стрит дро (OESD) и комбинаций таких рук может быть?

Все возможные руки в безлимитном холдеме

52*51/2 = 1,326 (делим на 2 чтобы исключить двойной учет, A♦A♥ тоже самое что А♥А♦ порядок значения не имеет)

10% диапазона = 130 рук; 20% = 260, 30% = 400

Из 1326 возможных рук:

Карманные пары = 6% или 78 комбинаций
Одномастные руки = 24% или 312 рук
Разномастные = 70% или 936 комб

Конкретные руки – возможные комбинации

Карманные пары = 6 комбинаций
• Например JJ; всего в колоде 4 валета, умножаем 4×3/2 т.к. мы не хотим дважды учитывать руки J♠J♥ и J♥J♠.
• Если на флопе есть валет, сколько комбинаций JJ может быть у оппонента? В колоде осталось 3 валета для подсчета: 3×2/2 = 3 комбинации.

Одномастные руки = 4 комбинации каждой
• Например AQs: A♣Q♣/A♦Q♦/A♥Q♥/A♠Q♠


Разномастные
= 12 комбинаций
• 4×3 = 12; Например AQo: 4 туза, и всего 3 дамы другой масти на каждый туз.
A♠Q♣/Q♦/Q♥, A♣Q♦/Q♥/Q♠, A♦Q♣/Q♥/Q♠, A♥Q♣/Q♦/Q♠

Лучшие брокеры без обмана
  • FinMax (Форекс)
    FinMax (Форекс)

    Огромный выбор торговых инструментов! Заработает каждый!

  • BINARIUM
    ☆☆☆☆☆
    ★★★★★
    BINARIUM

    Лучший брокер по бинарным опционам. Огромный раздел по обучению.

Общее количество комбинаций для любой руки, которая не является парой, например AQ = 16; из них 4 одномастные и 12 разномастных, или 4×4 = 16

Взаимодействие с картами стола.

Давайте посмотрим на этот флоп для примера. Вы открываете с AA и получаете одного коллера. Флоп T92r. Скорее всего вы впереди с AA, но давайте подумаем о диапазоне противника и посчитаем все возможные комбинации:

Сеты = 9 комбинаций; 3+3+3 для всех возможных карманных пар T/9/2
Две пары = 9 комбинаций; 3*3 оставшихся T и 9 (мы не считаем T2 и 92 т.к. их нету в диапазоне коллера)

Мы проигрываем всего 18 рукам из диапазона противника (9 сетов + 9 комбинаций две пары)

OESD: QJ = 16 комбинаций, J8s = 4, 78o = 16 >>> итого 16+4+16 = 36 комбинаций
Гатшоты: KQ = 16 комбинаций, KJ = 16, Q8s = 4, J7s = 4, 86s = 4, 76 = 16 >>> итого 16+16+4+4+4+16 = 60 комбинаций.

96 комбинаций дро, которые могут нас перетянуть.

Чем шире диапазон оппонента, тем больше рук дро он содержит. Давайте представим, что вас заколлировал тайтовый оппонент, который не будет коллить спекулятивные руки типа J8s, 78o, Q8s, J7s, 86s и 76o. Мы можем убрать эти 40 комбинаций из его диапазона. У него останется не так много дро рук, которые могут нас перетянуть – понимание этого поможет в чтении рук на протяжении всей раздачи.

Флеш дро

На любом флопе, который содержит 2 карты одной масти существует 55 возможных флеш дро комбинаций. 11*10/2 (11 оставшихся карт этой масти в колоде, если 2 лежат на флопе). Но это не означает что все из них присутствуют в диапазоне вашего противника. Вы можете исключить такие слабые руки как 92s и 62s из его диапазона. Итак, в среднем если у вашего оппонента есть флеш дро, у него будет около 30 комбинаций, их количество может меняться в зависимости от карт стола и его префлоп диапазона.

Эффект изъятия карт или блокеры

Эта концепция базируется на простой истине – если у вас на руках есть определенная карта, то ее никогда нет в диапазоне противника. Эта карта является блокером для конкретных комбинаций в его диапазоне. Давайте посмотрим на флоп из прошлого примера T92r, но теперь мы будем учитывать карты, которые у нас в руке JTo:

Сет = 7 кобинаций (Было 9); 1+3+3 возможных карманных пар
Две пары = 6 комбинаций (Было 9); оставшихся T и 9 (мы не считаем T2 и 92 т.к. их нету в диапазоне коллера)

Всего 13 комбинаций, которым мы проигрываем (Было 18)

Стрит дро: QJ = 12, J8s = 3, 78o = 16 >>> 12+3+16 = 31 комбинация (Было 36)
Гатшоты: KQ = 16, KJ = 12, Q8s = 4, J7s = 3, 86s = 4, 76 = 16 >>> 16+12+4+3+4+16 = 55 комбинаций (Было 60)

86 комбинаций (было 96) которые могут вас перетянуть.

Помните что карты стола тоже блокируют комбинации в диапазоне противника.

Выводы

Для того чтобы посчитать комбинации любой непарной руки

Например, KJ нужно перемножить оставшиеся в колоде K на оставшиеся в колоде J.
Базовое значение 4*4 = 16 (все комбинации), из них 4*1 = 4 (одномастные KJs), 4*3 = 12 (разномастные KJo)
Влияние блокеров: Если один из K у вас в руке, или на флопе. 4*3 = 12 (все комбинации), из них 3*1 = 3 (одномастные KJs), 3*3 = 9 (разномастные KJo)

Для того чтобы посчитать комбинации пар

Например, AA умножаем 4 возможных туза для первой карты, на 3 оставшихся туза для второй карты и делим на 2 чтобы избежать двойного учета (A♠A♦ = A♦A♠) итого 4*3/2= 6
Влияние блокеров: Если один из A у вас в руке, или на флопе. 3*2/2 = 3

Как практиковаться

Разделите практику на 2 этапа:

1. Считайте сколько комбинаций флешей, сетов, двух пар, флеш дро, стрит дро и гатшотов возможно на каждом из флопов. Сколько из них может быть в диапазоне оппонента?
2. После этого посмотрите, как ваши карманные карты влияют на количество возможных комбинаций у противника.

Для проверки результатов используйте Flopzilla

Задача

Посчитайте комбинации, которые могут быть у оппонента. Вы открываете с 88, и получаете колл от BU. Вы определили, что его диапазон колла 30%, и обычно он 3бетит с JJ+ и AK. На флоп вышли 672r. Сколько рук лучше и сколько рук дро может быть у оппонента? Посчитайте комбинации сетов, две пары, стрит дро и гатшотов.

Комбинаторика

Комбинаторика изучает всевозможные варианты развития событий, а также рассчитывает их вероятности. Если упростить вид комбинаторики до манипуляций с множеством, количество элементов которого первоначально задано, то основными функциями комбинаторики будут перестановки (факториал), размещения и сочетания. В этом разделе Вы найдете определения всех трех понятий, а также формулы и их происхождение. Чтобы вычислить размещения, сочетания или найти факториал, Вы можете воспользоваться приведенным алгоритмом действий или ввести заданные параметры в он-лайн калькулятор комбинаторики, который сразу рассчитает необходимый результат.

Задачи по комбинаторике. Примеры решений

На данном уроке мы коснёмся элементов комбинаторики, которые потребуются для дальнейшего изучения теории вероятностей. Следует отметить, что комбинаторика является самостоятельным разделом высшей математики (а не частью тервера) и по данной дисциплине написаны увесистые учебники, содержание которых, порой, ничуть не легче абстрактной алгебры. Однако нам будет достаточно небольшой доли теоретических знаний, и в данной статье я постараюсь в доступной форме разобрать основы темы с типовыми комбинаторными задачами. А многие из вас мне помогут 😉

Чем будем заниматься? В узком смысле комбинаторика – это подсчёт различных комбинаций, которые можно составить из некоторого множества дискретных объектов. Под объектами понимаются какие-либо обособленные предметы или живые существа – люди, звери, грибы, растения, насекомые и т.д. При этом комбинаторику совершенно не волнует, что множество состоит из тарелки манной каши, паяльника и болотной лягушки. Принципиально важно, что эти объекты поддаются перечислению – их три (дискретность) и существенно то, что среди них нет одинаковых.

С множеством разобрались, теперь о комбинациях. Самыми распространёнными видами комбинаций являются перестановки объектов, их выборка из множества (сочетание) и распределение (размещение). Давайте прямо сейчас посмотрим, как это происходит:

Перестановки, сочетания и размещения без повторений

Не пугайтесь малопонятных терминов, тем более, некоторые из них действительно не очень удачны. Начнём с хвоста заголовка – что значит «без повторений»? Это значит, что в данном параграфе будут рассматриваться множества, которые состоят из различных объектов. Например, … нет, кашу с паяльником и лягушкой предлагать не буду, лучше что-нибудь повкуснее =) Представьте, что перед вами на столе материализовалось яблоко, груша и банан (при наличии таковых ситуацию можно смоделировать и реально). Выкладываем фрукты слева направо в следующем порядке:

яблоко / груша / банан

Вопрос первый: сколькими способами их можно переставить?

Одна комбинация уже записана выше и с остальными проблем не возникает:

яблоко / банан / груша
груша / яблоко / банан
груша / банан / яблоко
банан / яблоко / груша
банан / груша / яблоко

Итого: 6 комбинаций или 6 перестановок.

Хорошо, здесь не составило особого труда перечислить все возможные случаи, но как быть, если предметов больше? Уже с четырьмя различными фруктами количество комбинаций значительно возрастёт!

Пожалуйста, откройте справочный материал Основные формулы комбинаторики (методичку удобно распечатать) и в пункте № 2 найдите формулу количества перестановок.

Никаких мучений – 3 объекта можно переставить способами.

Вопрос второй: сколькими способами можно выбрать а) один фрукт, б) два фрукта, в) три фрукта, г) хотя бы один фрукт?

Зачем выбирать? Так нагуляли же аппетит в предыдущем пункте – для того, чтобы съесть! =)

а) Один фрукт можно выбрать, очевидно, тремя способами – взять либо яблоко, либо грушу, либо банан. Формальный подсчёт проводится по формуле количества сочетаний:

Запись в данном случае следует понимать так: «сколькими способами можно выбрать 1 фрукт из трёх?»

б) Перечислим все возможные сочетания двух фруктов:

яблоко и груша;
яблоко и банан;
груша и банан.

Количество комбинаций легко проверить по той же формуле:

Запись понимается аналогично: «сколькими способами можно выбрать 2 фрукта из трёх?».

в) И, наконец, три фрукта можно выбрать единственным способом:

Кстати, формула количества сочетаний сохраняет смысл и для пустой выборки:
способом можно выбрать ни одного фрукта – собственно, ничего не взять и всё.

г) Сколькими способами можно взять хотя бы один фрукт? Условие «хотя бы один» подразумевает, что нас устраивает 1 фрукт (любой) или 2 любых фрукта или все 3 фрукта:
способами можно выбрать хотя бы один фрукт.

Читатели, внимательно изучившие вводный урок по теории вероятностей, уже кое о чём догадались. Но о смысле знака «плюс» позже.

Для ответа на следующий вопрос мне требуется два добровольца… …Ну что же, раз никто не хочет, тогда буду вызывать к доске =)

Вопрос третий: сколькими способами можно раздать по одному фрукту Даше и Наташе?

Для того чтобы раздать два фрукта, сначала нужно их выбрать. Согласно пункту «бэ» предыдущего вопроса, сделать это можно способами, перепишу их заново:

яблоко и груша;
яблоко и банан;
груша и банан.

Но комбинаций сейчас будет в два раза больше. Рассмотрим, например, первую пару фруктов:
яблоком можно угостить Дашу, а грушей – Наташу;
либо наоборот – груша достанется Даше, а яблоко – Наташе.

И такая перестановка возможна для каждой пары фруктов.

В данном случае работает формула количества размещений:

Она отличается от формулы тем, что учитывает не только количество способов, которым можно выбрать несколько объектов, но и все перестановки объектов в каждой возможной выборке. Так, в рассмотренном примере, важно не только то, что можно просто выбрать, например, грушу и банан, но и то, как они будут распределены (размещены) между Дашей и Наташей.

Пожалуйста, внимательно прочитайте пункт № 2 методички Основные формулы комбинаторики и постарайтесь хорошо уяснить разницу между перестановками, сочетаниями и размещениями. В простейших случаях можно пересчитать все возможные комбинации вручную, но чаще всего это становится неподъемной задачей, именно поэтому и нужно понимать смысл формул.

Также напоминаю, что сейчас речь идёт о множестве с различными объектами, и если яблоко/грушу/банан заменить на 3 яблока или даже на 3 очень похожих яблока, то в контексте рассмотренной задачи они всё равно будут считаться различными.

Остановимся на каждом виде комбинаций подробнее:

Перестановки

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же различных объектов и отличающиеся только порядком их расположения. Количество всех возможных перестановок выражается формулой

Отличительной особенностью перестановок является то, что в каждой из них участвует ВСЁ множество, то есть, все объектов. Например, дружная семья:

Сколькими способами можно рассадить 5 человек за столом?

Решение: используем формулу количества перестановок:

Ответ: 120 способами

Невероятно, но факт. Обратите внимание, что здесь не имеет значения круглый ли стол, квадратный, или вообще все люди сели встали, легли на скамейку вдоль одной стены – важно лишь количество объектов и их взаимное расположение. Помимо перестановок людей, часто встречается задача о перестановках различных книг на полке, но это было бы слишком просто даже для чайника:

Сколько четырёхзначных чисел можно составить из четырёх карточек с цифрами 0, 5, 7, 9?

Для того чтобы составить четырёхзначное число нужно задействовать все четыре карточки (цифры на которых различны!), и это очень важная предпосылка для применения формулы Очевидно, что, переставляя карточки, мы будем получать различные четырёхзначные числа, … стоп, а всё ли тут в порядке? 😉

Хорошенько подумайте над задачей! Вообще, это характерная черта комбинаторных и вероятностных задач – в них НУЖНО ДУМАТЬ. И зачастую думать по-житейски, как, например, в разборе вступительного примера с фруктами. Нет, конечно, я не призываю тупо прорабатывать другие разделы математики, однако должен заметить, что те же интегралы можно научиться решать чисто механически.

Решение и ответ в конце урока.

Сочетания

В учебниках обычно даётся лаконичное и не очень понятное определение сочетаний, поэтому, в моих устах формулировка будет не особо рациональной, но, надеюсь, доходчивой:

Сочетаниями называют различные комбинации из объектов, которые выбраны из множества различных объектов, и которые отличаются друг от друга хотя бы одним объектом. Иными словами, отдельно взятое сочетание – это уникальная выборка из элементов, в которой не важен их порядок (расположение). Общее же количество таких уникальных сочетаний рассчитывается по формуле .

В ящике находится 15 деталей. Сколькими способами можно взять 4 детали?

Решение: прежде всего, снова обращаю внимание на то, что по логике условия, детали считаются различными – даже если они на самом деле однотипны и визуально одинаковы
(в этом случае их можно, например, пронумеровать
).

В задаче речь идёт о выборке из 4 деталей, в которой не имеет значения их «дальнейшая судьба» – грубо говоря, «просто выбрали 4 штуки и всё». Таким образом, у нас имеют место сочетания деталей. Считаем их количество:

Здесь, конечно же, не нужно ворочать огромные числа .
В похожей ситуации я советую использовать следующий приём: в знаменателе выбираем наибольший факториал (в данном случае ) и сокращаем на него дробь. Для этого числитель следует представить в виде . Распишу очень подробно:

способами можно взять 4 детали из ящика.

Ещё раз: что это значит? Это значит, что из набора 15 различных деталей можно составить одну тысячу триста шестьдесят пять уникальных сочетания 4 деталей. То есть, каждая такая комбинация из четырёх деталей будет отличаться от других комбинаций хотя бы одной деталью.

Ответ: 1365 способами

Формуле необходимо уделить самое пристальное внимание, поскольку она является «хитом» комбинаторики. При этом полезно ПОНИМАТЬ и без всяких вычислений записывать «крайние» значения: . Применительно к разобранной задаче:

– единственным способом можно не выбрать ни одной детали;
способами можно взять 1 деталь (любую из пятнадцати);
способами можно взять 14 деталей (при этом какая-то одна из 15 останется в ящике);
– единственным способом можно взять все пятнадцать деталей.

Рекомендую внимательно ознакомиться с биномом Ньютона и треугольником Паскаля, по которому, к слову, очень удобно выполнять проверку вычислений при небольших значениях «эн».

Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 3 карты?

Это пример для самостоятельного решения. Чем приятны многие комбинаторные задачи, так это краткостью – главное, разобраться в сути. И суть, бывает, открывается с различных сторон. Разберём весьма поучительный пример:

В шахматном турнире участвует человек и каждый с каждым играет по одной партии. Сколько всего партий сыграно в турнире?

Поскольку я сам играю в шахматы и неоднократно принимал участие в круговых турнирах, то сразу же сориентировался по турнирной таблице размером клеток, в которой результат каждой партии учитывается дважды и, кроме того, затушёвываются клетки «главной диагонали» (т.к. участники не играют сами с собой). Исходя из проведённых рассуждений, общее количество сыгранных партий рассчитывается по формуле . Такое решение полностью корректно (см. соответствующий файл банка готовых решений) и на долгое время я забыл о нём по принципу «решено, да и ладно».

Однако один из посетителей сайта заметил, что на самом деле здесь можно руководствоваться самыми что ни на есть банальными сочетаниями:
различных пар можно составить из соперников (кто играет белыми, кто чёрными – не важно).

Эквивалентной является задача о рукопожатиях: в отделе работает мужчин и каждый с каждым здоровается за руку, сколько рукопожатий они совершают? К слову, шахматисты тоже пожимают друг другу руку перед каждой партией.

Ну а вывода тут два:
– во-первых, не всё очевидное – очевидно;
– и во-вторых, не бойтесь решать задачи «нестандартно»!

Большое спасибо за ваши письма, они помогают улучшить качество учебных материалов!

Размещения

Или «продвинутые» сочетания. Размещениями называют различные комбинации из объектов, которые выбраны из множества различных объектов, и которые отличаются друг от друга как составом объектов в выборке, так и их порядком. Количество размещений рассчитывается по формуле

Что наша жизнь? Игра:

Боря, Дима и Володя сели играть в «очко». Сколькими способами им можно сдать по одной карте? (колода содержит 36 карт)

Решение: ситуация похожа на Задачу 4, но отличается тем, что здесь важно не только то, какие три карты будут извлечены из колоды, но и то, КАК они будут распределены между игроками. По формуле размещений:

способами можно раздать 3 карты игрокам.

Есть и другая схема решения, которая, с моей точки зрения, даже понятнее:

способами можно извлечь 3 карты из колоды.

Теперь давайте рассмотрим, какую-нибудь одну из семи тысяч ста сорока комбинаций, например: король пик, 9 червей , 7 червей. Выражаясь комбинаторной терминологией, эти 3 карты можно «переставить» между Борей, Димой и Володей способами:

КП, 9Ч, 7Ч;
КП, 7Ч, 9Ч;
9Ч, КП, 7Ч;
9Ч, 7Ч, КП;
7Ч, КП, 9Ч;
7Ч, 9Ч, КП.

И аналогичный факт справедлив для любого уникального набора из трёх карт. А таких наборов, не забываем, мы насчитали . Не нужно быть профессором, чтобы понять, что найденное количество сочетаний следует умножить на шесть:

способами можно сдать по одной карте трём игрокам.

По существу, получилась наглядная проверка формулы , окончательный смысл которой мы проясним в следующем параграфе.

Ответ: 42840

Возможно, у вас остался вопрос, а кто же раздавал карты? …Наверное, преподаватель =)
И чтобы никому не было обидно, в следующей задаче примет участие вся студенческая группа:

В студенческой группе 23 человека. Сколькими способами можно выбрать старосту и его заместителя?

Задача о «размещении» должностей в коллективе встречается очень часто и является самым настоящим баяном. Краткое решение и ответ в конце урока.

Правило сложения и правило умножения комбинаций

Данные правила весьма напоминают алгебру событий, и многие читатели уже ознакомились с пунктом № 4 справочного материала Основные формулы комбинаторики, где они изложены в общем виде. Постараюсь повторить принципы максимально кратко:

1) Знак «плюс» следует понимать и читать как союз ИЛИ. Вспоминаем демонстрационную задачу с яблоком, грушей и бананом:

способами можно выбрать хотя бы один фрукт.

То есть, можно взять 1 фрукт (любой из трёх) ИЛИ какое-нибудь сочетание двух фруктов ИЛИ все три фрукта. Заметьте, что сложение комбинаций предполагает безразличие выбора (без разницы будет ли выбран один, два или 3 фрукта).

Рассмотрим более основательный пример:

Студенческая группа состоит из 23 человек, среди которых 10 юношей и 13 девушек. Сколькими способами можно выбрать двух человек одного пола?

Решение: в данном случае подсчёт не годится, поскольку общее количество сочетаний включает в себя и разнополые пары.

Условие «выбрать двух человек одного пола» подразумевает, что необходимо выбрать двух юношей или двух девушек, и уже сама словесная формулировка указывает на верный путь решения:

способами можно выбрать 2 юношей;
способами можно выбрать 2 девушек.

Таким образом, двух человек одного пола (без разницы – юношей или девушек) можно выбрать: способами.

Ответ: 123

Правило умножения комбинаций:

2) Знак «умножить» следует понимать и читать как союз И.

Рассмотрим ту же студенческую группу, которая пошла на танцы. Сколькими способами можно составить пару из юноши и девушки?

способами можно выбрать 1 юношу;
способами можно выбрать 1 девушку.

Таким образом, одного юношу и одну девушку можно выбрать: способами.

Когда из каждого множества выбирается по 1 объекту, то справедлив следующий принцип подсчёта комбинаций: «каждый объект из одного множества может составить пару с каждым объектом другого множества».

То есть, Олег может пригласить на танец любую из 13 девушек, Евгений – тоже любую из тринадцати, и аналогичный выбор есть у остальных молодых людей. Итого: возможных пар.

Следует отметить, что в данном примере не имеет значения «история» образования пары; однако если принять во внимание инициативу, то количество комбинаций нужно удвоить, поскольку каждая из 13 девушек тоже может пригласить на танец любого юношу. Всё зависит от условия той или иной задачи!

Похожий принцип справедлив и для более сложных комбинаций, например: сколькими способами можно выбрать двух юношей и двух девушек для участия в сценке КВН?

Союз И недвусмысленно намекает, что комбинации необходимо перемножить:

возможных групп артистов.

Иными словами, каждая пара юношей (45 уникальных пар) может выступать с любой парой девушек (78 уникальных пар). А если рассмотреть распределение ролей между участниками, то комбинаций будет ещё больше. …Очень хочется, но всё-таки воздержусь от продолжения, чтобы не привить вам отвращение к студенческой жизни =).

Правило умножения комбинаций распространяется и на бОльшее количество множителей:

Сколько существует трёхзначных чисел, которые делятся на 5?

Решение: для наглядности обозначим данное число тремя звёздочками: ***

Комбинации будем считать по разрядам – слева направо:

В разряд сотен можно записать любую из цифр (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9). Ноль не годится, так как в этом случае число перестаёт быть трёхзначным.

А вот в разряд десятков («посерединке») можно выбрать любую из 10 цифр: .

По условию, число должно делиться на 5. Число делится на 5, если оно заканчивается на 5 либо на 0. Таким образом, в младшем разряде нас устраивают 2 цифры.

Итого, существует: трёхзначных чисел, которые делятся на 5.

При этом произведение расшифровывается так: «9 способами можно выбрать цифру в разряд сотен и 10 способами выбрать цифру в разряд десятков и 2 способами в разряд единиц»

Или ещё проще: «каждая из 9 цифр в разряде сотен комбинируется с каждой из 10 цифр разряда десятков и с каждой из двух цифр в разряде единиц».

Ответ: 180

Да, чуть не забыл об обещанном комментарии к задаче № 5, в которой Боре, Диме и Володе можно сдать по одной карте способами. Умножение здесь имеет тот же смысл: способами можно извлечь 3 карты из колоды И в каждой выборке переставить их способами.

А теперь задача для самостоятельного решения… сейчас придумаю что-нибудь поинтереснее, …пусть будет про ту же русскую версию блэкджека:

Сколько существует выигрышных комбинаций из 2 карт при игре в «очко»?

Для тех, кто не знает: выигрывает комбинация 10 + ТУЗ (11 очков) = 21 очко и, давайте будем считать выигрышной комбинацию из двух тузов.

(порядок карт в любой паре не имеет значения)

Краткое решение и ответ в конце урока.

Кстати, не надо считать пример примитивным. Блэкджек – это чуть ли не единственная игра, для которой существует математически обоснованный алгоритм, позволяющий выигрывать у казино. Желающие могут легко найти массу информации об оптимальной стратегии и тактике. Правда, такие мастера довольно быстро попадают в чёрный список всех заведений =)

Пришло время закрепить пройденный материал парой солидных задач:

У Васи дома живут 4 кота.

а) сколькими способами можно рассадить котов по углам комнаты?
б) сколькими способами можно отпустить гулять котов?
в) сколькими способами Вася может взять на руки двух котов (одного на левую, другого – на правую)?

Решаем: во-первых, вновь следует обратить внимание на то, что в задаче речь идёт о разных объектах (даже если коты – однояйцовые близнецы). Это очень важное условие!

а) Молчание котов. Данной экзекуции подвергаются сразу все коты
+ важно их расположение, поэтому здесь имеют место перестановки:
способами можно рассадить котов по углам комнаты.

Повторюсь, что при перестановках имеет значение лишь количество различных объектов и их взаимное расположение. В зависимости от настроения Вася может рассаживать животных полукругом на диване, в ряд на подоконнике и т.д. – перестановок во всех случаях будет 24. Желающие могут для удобства представить, что коты разноцветные (например, белый, чёрный, рыжий и полосатый) и перечислить все возможные комбинации.

б) Сколькими способами можно отпустить гулять котов?

Предполагается, что коты ходят гулять только через дверь, при этом вопрос подразумевает безразличие по поводу количества животных – на прогулку могут выйти 1, 2, 3 или все 4 кота.

Считаем все возможные комбинации:

способами можно отпустить гулять одного кота (любого из четырёх);
способами можно отпустить гулять двух котов (варианты перечислите самостоятельно);
способами можно отпустить гулять трёх котов (какой-то один из четырёх сидит дома);
способом можно выпустить всех котов.

Наверное, вы догадались, что полученные значения следует просуммировать:
способами можно отпустить гулять котов.

Энтузиастам предлагаю усложнённую версию задачи – когда любой кот в любой выборке случайным образом может выйти на улицу, как через дверь, так и через окно 10 этажа. Комбинаций заметно прибавится!

в) Сколькими способами Вася может взять на руки двух котов?

Ситуация предполагает не только выбор 2 животных, но и их размещение по рукам:
способами можно взять на руки 2 котов.

Второй вариант решения: способами можно выбрать двух котов и способами посадить каждую пару на руки:

Ответ: а) 24, б) 15, в) 12

Ну и для очистки совести что-нибудь поконкретнее на умножение комбинаций…. Пусть у Васи дополнительно живёт 5 кошек =) Сколькими способами можно отпустить гулять 2 котов и 1 кошку?

То есть, с каждой парой котов можно выпустить каждую кошку.

Ещё один баян для самостоятельного решения:

В лифт 12-этажного дома сели 3 пассажира. Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со 2-го) этаже. Сколькими способами:

1) пассажиры могут выйти на одном и том же этаже (порядок выхода не имеет значения);
2) два человека могут выйти на одном этаже, а третий – на другом;
3) люди могут выйти на разных этажах;
4) пассажиры могут выйти из лифта?

И тут часто переспрашивают, уточняю: если 2 или 3 человека выходят на одном этаже, то очерёдность выхода не имеет значения. ДУМАЙТЕ, используйте формулы и правила сложения/умножения комбинаций. В случае затруднений пассажирам полезно дать имена и порассуждать, в каких комбинациях они могут выйти из лифта. Не нужно огорчаться, если что-то не получится, так, например, пункт № 2 достаточно коварен, впрочем, один из читателей отыскал простое решение, и я в очередной раз выражаю благодарность за ваши письма!

Полное решение с подробными комментариями в конце урока.

Заключительный параграф посвящён комбинациям, которые тоже встречаются достаточно часто – по моей субъективной оценке, примерно в 20-30% комбинаторных задач:

Перестановки, сочетания и размещения с повторениями

Перечисленные виды комбинаций законспектированы в пункте № 5 справочного материала Основные формулы комбинаторики, однако некоторые из них по первому прочтению могут быть не очень понятными. В этом случае сначала целесообразно ознакомиться с практическими примерами, и только потом осмысливать общую формулировку. Поехали:

Перестановки с повторениями

В перестановках с повторениями, как и в «обычных» перестановках, участвует сразу всё множество объектов, но есть одно но: в данном множестве один или бОльшее количество элементов (объектов) повторяются. Встречайте очередной стандарт:

Сколько различных буквосочетаний можно получить перестановкой карточек со следующими буквами: К, О, Л, О, К, О, Л, Ь, Ч, И, К?

Решение: в том случае, если бы все буквы были различны, то следовало бы применить тривиальную формулу , однако совершенно понятно, что для предложенного набора карточек некоторые манипуляции будут срабатывать «вхолостую», так, например, если поменять местами любые две карточки с буквами «К» в любом слове, то получится то же самое слово. Причём, физически карточки могут сильно отличаться: одна быть круглой с напечатанной буквой «К», другая – квадратной с нарисованной буквой «К». Но по смыслу задачи даже такие карточки считаются одинаковыми, поскольку в условии спрашивается о буквосочетаниях.

Всё предельно просто – всего: 11 карточек, среди которых буква:

К – повторяется 3 раза;
О – повторяется 3 раза;
Л – повторяется 2 раза;
Ь – повторяется 1 раз;
Ч – повторяется 1 раз;
И – повторяется 1 раз.

Проверка: 3 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 11, что и требовалось проверить.

По формуле количества перестановок с повторениями:
различных буквосочетаний можно получить. Больше полумиллиона!

Для быстрого расчёта большого факториального значения удобно использовать стандартную функцию Экселя: забиваем в любую ячейку =ФАКТР(11) и жмём Enter.

На практике вполне допустимо не записывать общую формулу и, кроме того, опускать единичные факториалы:

Но предварительные комментарии о повторяющихся буквах обязательны!

Ответ: 554400

Другой типовой пример перестановок с повторениями встречается в задаче о расстановке шахматных фигур, которую можно найти на складе готовых решений в соответствующей pdf-ке. А для самостоятельного решения я придумал менее шаблонное задание:

Алексей занимается спортом, причём 4 дня в неделю – лёгкой атлетикой, 2 дня – силовыми упражнениями и 1 день отдыхает. Сколькими способами он может составить себе расписание занятий на неделю?

Формула здесь не годится, поскольку учитывает совпадающие перестановки (например, когда меняются местами силовые упражнения в среду с силовыми упражнениями в четверг). И опять – по факту те же 2 силовые тренировки могут сильно отличаться друг от друга, но по контексту задачи (с точки зрения расписания) они считаются одинаковыми элементами.

Двухстрочное решение и ответ в конце урока.

Сочетания с повторениями

Характерная особенность этого вида комбинаций состоит в том, что выборка проводится из нескольких групп, каждая из которых состоит из одинаковых объектов.

Сегодня все хорошо потрудились, поэтому настало время подкрепиться:

В студенческой столовой продают сосиски в тесте, ватрушки и пончики. Сколькими способами можно приобрести пять пирожков?

Решение: сразу обратите внимание на типичный критерий сочетаний с повторениями – по условию на выбор предложено не множество объектов как таковое, а различные виды объектов; при этом предполагается, что в продаже есть не менее пяти хот-догов, 5 ватрушек и 5 пончиков. Пирожки в каждой группе, разумеется, отличаются – ибо абсолютно идентичные пончики можно смоделировать разве что на компьютере =) Однако физические характеристики пирожков по смыслу задачи не существенны, и хот-доги / ватрушки / пончики в своих группах считаются одинаковыми.

Что может быть в выборке? Прежде всего, следует отметить, что в выборке обязательно будут одинаковые пирожки (т.к. выбираем 5 штук, а на выбор предложено 3 вида). Варианты тут на любой вкус: 5 хот-догов, 5 ватрушек, 5 пончиков, 3 хот-дога + 2 ватрушки, 1 хот-дог + 2 + ватрушки + 2 пончика и т.д.

Как и при «обычных» сочетаниях, порядок выбора и размещение пирожков в выборке не имеет значения – просто выбрали 5 штук и всё.

Используем формулу количества сочетаний с повторениями:
способом можно приобрести 5 пирожков.

Ответ: 21

Какой вывод можно сделать из многих комбинаторных задач?

Порой, самое трудное – это разобраться в условии.

Аналогичный пример для самостоятельного решения:

В кошельке находится достаточно большое количество 1-, 2-, 5- и 10-рублёвых монет. Сколькими способами можно извлечь три монеты из кошелька?

В целях самоконтроля ответьте на пару простых вопросов:

1) Могут ли в выборке все монеты быть разными?
2) Назовите самую «дешевую» и самую «дорогую» комбинацию монет.

Решение и ответы в конце урока.

Из моего личного опыта, могу сказать, что сочетания с повторениями – наиболее редкий гость на практике, чего не скажешь о следующем виде комбинаций:

Размещения с повторениями

Из множества, состоящего из элементов, выбирается элементов, при этом важен порядок элементов в каждой выборке. И всё бы было ничего, но довольно неожиданный прикол заключается в том, что любой объект исходного множества мы можем выбирать сколько угодно раз. Образно говоря, от «множества не убудет».

Когда так бывает? Типовым примером является кодовый замок с несколькими дисками, но по причине развития технологий актуальнее рассмотреть его цифрового потомка:

Сколько существует четырёхзначных пин-кодов?

Решение: на самом деле для разруливания задачи достаточно знаний правил комбинаторики: способами можно выбрать первую цифру пин-кода и способами – вторую цифру пин-кода и столькими же способами – третью и столькими же – четвёртую. Таким образом, по правилу умножения комбинаций, четырёхзначный пин-код можно составить: способами.

А теперь с помощью формулы. По условию нам предложен набор из цифр, из которого выбираются цифры и располагаются в определенном порядке, при этом цифры в выборке могут повторяться (т.е. любой цифрой исходного набора можно пользоваться произвольное количество раз). По формуле количества размещений с повторениями:

Ответ: 10000

Что тут приходит на ум… …если банкомат «съедает» карточку после третьей неудачной попытки ввода пин-кода, то шансы подобрать его наугад весьма призрачны.

И кто сказал, что в комбинаторике нет никакого практического смысла? Познавательная задача для всех читателей mathprofi.ru:

Согласно государственному стандарту, автомобильный номерной знак состоит из 3 цифр и 3 букв. При этом недопустим номер с тремя нулями, а буквы выбираются из набора А, В, Е, К, М, Н, О, Р, С, Т, У, Х (используются только те буквы кириллицы, написание которых совпадает с латинскими буквами).

Сколько различных номерных знаков можно составить для региона?

Не так их, кстати, и много. В крупных регионах такого количества не хватает, и поэтому для них существуют по несколько кодов к надписи RUS.

Решение и ответ в конце урока. Не забываем использовать правила комбинаторики 😉 …Хотел похвастаться эксклюзивом, да оказалось не эксклюзивом =) Заглянул в Википедию – там есть расчёты, правда, без комментариев. Хотя в учебных целях, наверное, мало кто прорешивал.

Наше увлекательное занятие подошло к концу, и напоследок я хочу сказать, что вы не зря потратили время – по той причине, что формулы комбинаторики находят ещё одно насущное практическое применение: они встречаются в различных задачах по теории вероятностей,
и в задачах на классическое определение вероятности – особенно часто =)

Всем спасибо за активное участие и до скорых встреч!

Решения и ответы:

Задача 2: Решение: найдём количество всех возможных перестановок 4 карточек:

Когда карточка с нулём располагается на 1-м месте, то число становится трёхзначным, поэтому данные комбинации следует исключить. Пусть ноль находится на 1-м месте, тогда оставшиеся 3 цифры в младших разрядах можно переставить способами.

Примечание: т.к. карточек немного, то здесь несложно перечислить все такие варианты:
0579
0597
0759
0795
0957
0975

Таким образом, из предложенного набора можно составить:
24 – 6 = 18 четырёхзначных чисел
Ответ: 18

Задача 4: Решение: способами можно выбрать 3 карты из 36.
Ответ: 7140

Задача 6: Решение: способами.
Другой вариант решения: способами можно выбрать двух человек из группы и способами распределить должности в каждой выборке. Таким образом, старосту и его заместителя можно выбрать способами.
Ответ: 506

Задача 9: Решение:
способами может быть сдана десятка и туз («каждая десятка с каждым тузом»);
способами может быть сдана пара тузов.
Итого: выигрышные комбинации.
Ответ: 22

Задача 11: Решение:
1) способами можно выбрать этаж для выхода всех пассажиров.

2) Способ первый: способами можно выбрать 2 этажа для выхода пассажиров (например, 6-й и 11-й этаж).
способами можно выбрать двух человек для выхода на одном этаже (третий выйдет на другом этаже). Например:

Кроме того, любую пару и «одинокого человека» можно поменять этажами:

Таким образом, для каждой пары этажей (55 уникальных сочетаний) возможно способов выхода пассажиров.
По правилу умножения комбинаций: способами 2 пассажира могут выйти на одном этаже, а третий – на другом этаже.

Способ второй, который нашёл один из читателей сайта:
способами можно выбрать «одинокого» человека и каждый человек может выйти из лифта: способами.
И для каждой из этих комбинаций:
способами можно выбрать этаж для выхода двух других людей.
По правилу умножения комбинаций:
способами 1 пассажир может выйти на одном этаже, а 2 других – на другом.

3) способами пассажиры могут выйти на разных этажах.
Второй вариант решения: способами можно выбрать 3 этажа для выхода и способами переставить пассажиров по каждой тройке этажей; следовательно, пассажиры могут выйти на разных этажах способами.

4) Способ первый: суммируем комбинации первых трёх пунктов:
способом пассажиры могут выйти из лифта.
Способ второй: в общем случае он более рационален, более того, позволяет обойтись без результатов предыдущих пунктов. Рассуждения таковы: способами может выйти 1-й пассажир из лифта и способами может выйти 2-й пассажир и способами может выйти 3-й пассажир. По правилу умножения комбинаций: способом могут выйти три человека

Ответ: 1) 11; 2) 330; 3) 990; 4) 1331

Задача 13: Решение: по формуле количества перестановок с повторениями:
способами можно составить расписание занятий на неделю.
Ответ: 105

Задача 15: Решение: используем формулу сочетаний с повторениями:
способами можно выбрать 3 монеты из кошелька.
Ответ: 20
Ответы на вопросы:
1) Да (т.к. количество извлекаемых монет (3 шт.) меньше видов монет (4 вида));
2) Самый «дешёвый» набор содержит 3 рублёвые монеты, а самый «дорогой» – 3 десятирублёвые.

Задача 17: Решение: способами можно составить цифровую комбинацию автомобильного номера, при этом одну из них (000) следует исключить: .
способами можно составить буквенную комбинацию автомобильного номера.
По правилу умножения комбинаций, всего можно составить:
автомобильных номера
(каждая цифровая комбинация сочетается с каждой буквенной комбинацией).
Ответ: 1726272

Комбинаторика. Основные формулы комбинаторики

Комбинаторика (комбинаторный анализ) — раздел дискретной математики, посвященный решению задач выбора и расположения элементов некоторого, обычно конечного, множества в соответствии с заданными правилами. Например, сколькими способами можно выбрать 6 карт из колоды, состоящей из 36 карт, или сколькими способами можно составить очередь, состоящей из10 человек и т.д. Каждое правило в комбинаторике определяет способ построения некоторой конструкции, составленной из элементов исходного множества и называемой комбинацией. Основная цель комбинаторики состоит в подсчете количества комбинаций, которые можно составить из элементов исходного множества в соответствии с заданным правилом. Простейшими примерами комбинаторных конструкций являются перестановки, размещения и сочетания.

Рождение комбинаторики связано с работами Б. Паскаля и П. Ферма по поводу азартных игр, большой вклад внесли Лейбниц, Бернулли, Эйлер. В настоящее время интерес к комбинаторике связан с развитием компьютеров. Нас в комбинаторике будет интересовать возможность определения количественно различных подмножеств конечных множеств для вычисления вероятности классическим способом.

Для определения мощности множества, которое соответствует тому или иному событию, полезно разобраться с двумя правилами комбинаторики: правило произведения и правило суммы (иногда их называют принципами умножения и сложения соответственно).

Правило nроизведения: пусть из некоторого конечного множества

1-й объект можно выбрать k1 способами,

Тогда произвольный набор, перечисленных n объектов из данного множества можно выбрать k1, k2, …, kn способами.

Пример 1. Сколько существует трехзначных чисел с разными цифрами?

Решение. В десятичной системе исчисления десять цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. На первом месте может стоять любая из девяти цифр (кроме нуля). На втором месте — любая из оставшихся 9 цифр, кроме выбранной. На последнем месте любая из оставшихся 8 цифр.

По правилу произведения 9·9·8 = 648 трёхзначных чисел имеют разные цифры.

Пример 2. Из пункта в пункт ведут 3 дороги, а из пункта в пункт – 4 дороги. Сколькими способами можно совершить поездку из в через ?

Решение. В пункте есть 3 способа выбора дороги в пункт , а в пункте есть 4 способа попасть в пункт . Согласно принципу умножения, существует 3×4 = 12 способов попасть из пункта в пункт .

Правило суммы: при выполнении условий (1.1), любой из объектов можно выбрать k1+k2+…+kn способами.

Пример 3. Сколько существует способов выбора одного карандаша из коробки, содержащей 5 красных, 7 синих, 3 зеленых карандаша.

Решение. Один карандаш, по правилу суммы, можно выбрать 5+7+3 = 15 способами.

Пример 4. Пусть из города в город можно добраться одним авиамаршрутом, двумя железнодорожными маршрутами и тремя автобусными маршрутами. Сколькими способами можно добраться из города в город ?

Решение. Все условия принципа сложения здесь выполнены, поэтому, в соответствии с этим принципом, получим 1+2+3 = 6 способов.

Рассмотрим пример, иллюстрирующий различие принципов умножения и сложения.

Пример 5. В магазине электроники продаются три марки телевизоров и два вида видеомагнитофонов. У покупателя есть возможности приобрести либо телевизор, либо видеомагнитофон. Сколькими способами он может совершить одну покупку? Сколько различных комплектов, содержащих телевизор и магнитофон, можно приобрести в этом магазине, если покупатель собирается приобрести в паре и телевизор, и видеомагнитофон?

Решение. Один телевизор можно выбрать тремя способами, а магнитофон – другими двумя способами. Тогда телевизор или магнитофон можно купить 3+2=5 способами.

Во втором случае один телевизор можно выбрать тремя способами, после этого видеомагнитофон можно выбрать двумя способами. Следовательно, в силу принципа умножения, купить телевизор и видеомагнитофон можно 3×2 = 6 способами.

Рассмотрим теперь примеры, в которых применяются оба правила комбинаторики: и принцип умножения, и принцип сложения.

Пример 6. В корзине лежат 12 яблок и 10 апельсинов. Ваня выбирает либо яблоко, либо апельсин. После чего Надя выбирает из оставшихся фруктов и яблоко и апельсин. Сколько возможно таких выборов?

Решение. Ваня может выбрать яблоко 12 способами, апельсин – 10 способами. Если Ваня выбирает яблоко, то Надя может выбрать яблоко 11 способами, а апельсин – 10 способами. Если Ваня выбирает апельсин, то Надя может выбрать яблоко 12 способами, а апельсин – 9 способами. Таким образом, Ваня и Надя могут сделать свой выбор способами.

Пример 7. Есть 3 письма, каждое из которых можно послать по 6 адресам. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. В данной задаче мы должны рассмотреть три случая:

а) все письма рассылаются по разным адресам;

б) все письма посылаются по одному адресу;

в) только два письма посылаются по одному адресу.

Если все письма рассылаются по разным адресам, то число таких способов легко находится из принципа умножения: n1 = 6×5×4 = 120 способов. Если все письма посылаются по одному адресу, то таких способов будет n2 = 6. Таким образом, остается рассмотреть только третий случай, когда только 2 письма посылаются по одному адресу. Выбрать какое-либо письмо мы можем 3 способами, и послать его по какому-либо выбранному адресу можем 6 способами. Оставшиеся два письма мы можем послать по оставшимся адресам 5 способами. Следовательно, послать только два письма по одному адресу мы можем n3=3×6×5=90 способами. Таким образом, разослать 3 письма по 6 адресам в соответствие с принципом сложения можно

Обычно в комбинаторике рассматривается идеализированный эксперимент по выбору наудачу k элементов из n. При этом элементы: а) не возвращаются обратно (схема выбора без возвращений); б) возвращаются обратно (схема выбора с возвращением).

1. Схема выбора без возвращений

Размещением из n элементов по k называют любой упорядоченный набор из k элементов, принадлежащих n — элементному множеству. Различные размещения отличны друг от друга или порядком элементов, или составом.

Число размещений из n элементов по k обозначается и вычисляется по формуле

Пример 8. В соревнованиях участвует 10 человек, трое из них займут 1, 2, 3 место. Сколько существует различных вариантов?

Решение. В этом случае важен порядок распределения мест. Число различных вариантов равно

Перестановкой из n элементов называют размещение из n элементов по n. Число перестановок из n элементов обозначают Pn и вычисляют по формуле

Пример 9. Сколько существует способов расстановки 10 книг на полке?

Решение. Общее число способов расстановки определяется как число перестановок (1.3) из 10 элементов и равно Р10 = 10! = 3628 800.

Сочетанием из n элементов по k называется любой набор из k элементов, принадлежащих n — элементному множеству. Различные сочетания отличаются друг от друга только составом.

Число сочетаний из n элементов по k обозначается и вычисляется по формуле

Пример 10. Сколько существует способов выбора трех человек из десяти.

Решение. В данном случае при выборе для нас важен только состав наборов по три человека, порядок выбора роли не играет, поэтому, в отличие от предыдущего примера, число способов выбора подсчитаем по формуле сочетаний (1.4)

2. Схема выбора с возвращениями

Если при выборе k элементов из n, элементы возвращаются обратно и упорядочиваются, то говорят, что это размещения с nовторениями.

Число размещений с повторениями:

Пример 11. В гостинице 10 комнат, каждая из которых может разместить четырех человек. Сколько существует вариантов размещения, прибывших четырех гостей?

Решение. Каждый следующий гость из 4 может быть помещён в любую из 10 комнат, так как рассматривается идеализированный опыт, поэтому общее число размещений, по формуле размещений с повторениями (1.5), равно

Если при выборе k элементов из n элементы возвращаются обратно без последующего упорядочивания, то говорят, что это сочетания с nовторениями. Число сочетаний с повторениями из n элементов по k определяется:

Пример 12. В магазине продается 10 видов тортов. Очередной покупатель выбил чек на три торта. Считая, что любой набор товаров равновозможен, определить число возможных заказов.

Решение. Число равновозможных заказов по формуле (1.6) равно

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: На стипендию можно купить что-нибудь, но не больше. 8870 — | 7196 — или читать все.

188.64.173.93 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Что такое комбинаторика в покере

Комбинаторика – это практическая математика в покере, при которой определяются диапазоны и подсчитываются комбинации рук в каждом индивидуальном случае. Как правило, у вас не будет достаточного количества времени во время раздачи, чтобы просчитать количество комбинаций в покере, которое может быть у оппонентов. Тем не менее, регулярно анализируя свою игру, вы сможете быстро ставить соперника на определённый диапазон (хоть и с погрешностями).

Например, во время раздачи вы можете думать, что у оппонента что-то вроде слабой топ-пары или второй пары и дро, и при этом у него не может быть сильной оверпары, потому что в этом случае он бы играл 3бет префлоп.

Этого мыслительного процесса в большинстве случаев достаточно, и скорее это всё, на что способен мозг среднестатистического игрока при оценке широких диапазонов. Для того, чтобы точно анализировать возможные комбинации у вашего противника на ранней стадии игры, в некотором смысле нужно быть хорошим математиком. Тем не менее, по мере развития игры диапазоны будут значительно сужаться, и в конечном итоге сузятся до такой точки, когда вы сможете точно определить комбинацию у соперника, чтобы принять правильное решение.

Комбинаторика также может использоваться для анализа игровых сессий после их окончания. И если во время игры невозможно точно перечислить возможные комбинации у оппонента на флопе – это легко сделать при использовании специального софта для расчёта, такого как Flopzilla.

Зачем используется комбинаторика в покере?

Комбинаторика может быть использована для того, чтобы вы точнее могли определять «на глаз» диапазоны рук у оппонентов. Если раньше перед крупной ставкой на ривере вы могли думать, что у соперника есть какое-то дро и какие-то сильные готовые руки, с помощью комбинаторики вы сможете думать, что у оппонента Х количество дро-рук и Y количество очень сильных готовых рук.

Даже несмотря на то, что на ранней стадии в раздаче нецелесообразно точно рассчитывать диапазоны, если вы будете иметь представление о том, как работает комбинаторика, это поможет вам лучше определить возможную силу руки у вашего оппонента. Например, вместо того чтобы думать, что у оппонента есть флеш-дро, топ-пара и некоторые андерпары, то с помощью комбинаторики вы сможете сказать, что у оппонента могут быть такие-то флеш-дро, столько-то топ пар и следующее количество андерпар.

При типе мышления без учёта комбинаторики, вы просто предполагаете, какие категории рук могут быть у ваших оппонентов. А вот знания комбинаторики позволят вам более взвешенно подойти к оценке диапазонов рук у оппонента.

Комбинаторика на префлопе

Для начала давайте попытаемся понять, что происходит на префлопе с точки зрения комбинаторики. Как правило, даже это понимание поможет вам более взвешенно подходить к оценке диапазонов на постфлопе, без необходимости расчёта конкретных комбинаций.

Существует 1326 возможных комбинаций стартовых рук. Нельзя сказать, что их количество равномерно распределено по различным категориям рук. Тем не менее, некоторые руки более вероятны, чем другие.

Мы можем разделить все возможные стартовые руки на 3 категории.

Если провести диагональную линию от верхней левой части сетки к правой нижней части сетки, то по этой линии мы получим карманные пары. Существует 6 возможных комбинаций для каждой карманной пары. Всего может быть 13 карманных пар различных достоинств начиная с 22 и заканчивая АА. Поэтому общее количество комбинаций карманных пар в покере 13*6=78.

Просто посмотрев на сетку можно легко предположить, что по обе стороны от этой диагональной линии будет равное количество типов рук. Справа от диагональной линии находятся одномастные комбинации, а с левой стороны – разномастные комбинации, которых может быть намного больше. Всего же для каждого типа руки может быть 12 разномастных комбинаций и 4 одномастных комбинации. Это означает, что разномастных (непарных) рук в 3 раза больше, чем рук одной масти.

В общей же сложности насчитывается 154 типа рук, в число которых не входят карманные пары. 78 из них одномастные и 78 разномастные.

Так как в покере может быть 4 варианта масти для каждой одномастной комбинации, их количество подсчитывается по формуле 78*4 – в результате получаем 312 комбинаций.

В то же время, может быть 12 комбинаций для каждой разномастной руки, поэтому чтобы подсчитать их общее количество используем формулу 78*12 – в результате получаем 936 комбинаций.

Итак, подведём итог:

Карманные пар: 78

Одномастных комбинаций: 312

Разномастных комбинаций: 936

Всего 1326 комбинаций

Постфлоп комбинаторика в покере

Давайте представим, что мы сейчас находимся в ситуации, когда мы считаем, что диапазон рук у нашего оппонента настолько узок, что мы можем назвать определённое количество комбинаций в покере, а не делать оценочные суждения.

Давайте посмотрим на некоторые примеры.

Пример 1 – Борд А5272. Сколько комбинаций АК может быть у нашего оппонента в покере?

Мы знаем, что изначально есть 16 комбинаций АК – 12 разномастных и 4 одномастных. Тем не менее, мы не можем рассматривать все эти 16 комбинаций как потенциальные, потому что на борде уже есть один туз. Для расчёта доступных комбинаций мы умножим количество доступных оставшихся карт в колоде. Таким образом, в колоде осталось 3 туза и 4 короля. 3*4=12. Значит, у соперника может быть 12 комбинаций АК.

Пример 2 – Борд А527K. Сколько комбинаций АК может быть у нашего оппонента в покере?

В этом случае сделать правильные вычисления вам будет довольно просто, если вы поняли предыдущий пример. В колоде есть 3 доступных туза и 3 доступных короля. 3*3=9. Из них 7 будут разномастными комбинациями и 2 из них будут одномастными комбинациями. У нашего оппонента не может быть руки А А или K K, поскольку А и K уже есть на доске.

Пример 3 – Борд К72. Сколько комбинаций сета может быть у нашего противника в покере?

Для вычисления количества карманных пар мы должны использовать несколько иной метод вычисления. Во-первых, нам нужно подсчитать, сколько есть доступных карт, чтобы составить карманные пары. Например, чтобы составить сет семёрок в колоде осталось 3 семёрки. Формула выглядит так: (Х * (Х-1)) / 2 (где X представляет из себя количество доступных карт).

Выглядит сложно, но на самом деле всё очень просто. Есть 3 карты. Умножаем их на 2 и получаем 6. Затем мы делим на 2. Получается, что есть по 3 комбинации для каждого возможного сета (Короли, Семёрки, Двойки). Поскольку может быть по 3 варианта каждого сета, в общей сложности может быть 9 комбинаций возможных сетов.

Если же мы хотим узнать, сколько здесь есть возможных комбинаций 88 (не сеты), то рассуждаем следующим образом. В колоде есть 4 доступные карты достоинством 8, вычисляем по приведённой выше формуле и получаем (4 * 3) / 2 = 6 комбинаций.

Или представьте, что на борде есть 2 семёрки и вы хотите узнать, как часто кто-то из оппонентов может собрать каре. Используем ту же формулу подставляя нужные цифры и получаем (2 * 1) / 2 = 1 комбинаций. Умножаем числа в скобках, а затем делим на два.

Некоторые расчёты немного сложнее. Например, вычисление, сколько флеш-дро может быть у оппонента. Мы знаем, что на двухцветном борде у оппонента может быть 1 комбинация каждой одномастной руки, которая может сформировать флеш-дро, но тут мы должны думать её и о том, какие именно из них могут быть в диапазоне оппонента. Таким образом, в большинстве случаев мы можем не рассматривать как вероятные такие комбинации, как 27.

Заключение

Имейте в виду, что комбинаторика не может использоваться без привязки к частоте их розыгрыша оппонентом. Частая ошибка у игроков, которые впервые начали использовать комбинаторику для анализа рук – это просто рассматривать руки, которые могут быть у оппонента, и не задумываться о том, с какими из этих комбинаций он могу продолжать игру.

Например, представьте себе типичную ситуацию для блефа, когда мы хотим понять, стоит ли делать колл. Мы могли бы подсчитать, что у него есть 100 комбинаций для блефа и только 10 комбинаций с возможным вэлью. Лёгкий колл? Необязательно.

Мы не можем просто предположить, что он будет ставить с каждой из блефовых рук. Некоторые игроки вообще никогда не блефуют. По этой причине строить догадки о блефе только потому что на ривере в покере может быть огромное количество комбинаций, с которыми оппонент может блефовать, ещё не означает, что колл ставки будет правильным.

Рассчитайте возможные комбинации для блефа, а затем подумайте о частоте блефа со стороны оппонента, и только после этого принимайте решение.

Комбинаторика для Форекс

1. Элементы комбинаторики.

2. Общие правила комбинаторики.

3. Генеральная совокупность без повторений и выборки без повторений.

4. Применение графов (схем) при решении комбинаторных задач.

1. Комбинаторика и ее возникновение.

Комбинаторика— это область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов, принадлежащих данному множеству.

Комбинаторика возникла в XVI веке. В жизни привилегированных слоев тогдашнего общества большое место занимали азартные игры (карты, кости). Широко были распространены лотереи. Первоначально комбинаторные задачи касались в основном азартных игр: сколькими способами можно получить данное число очков, бросая 2 или 3 кости или сколькими способами можно получить 2-ух королей в некоторой карточной игре. Эти и другие проблемы азартных игр являлись движущей силой в развитии комбинаторики и далее в развитии теории вероятностей.

Одним из первых занялся подсчетом числа различных комбинаций при игре в кости итальянский математик Тарталья. Он составил таблицы (числа способов выпадения k очков на r костях). Однако, он не учел, одна и та же сумма очков может выпасть различными способами, поэтому его таблицы содержали большое количество ошибок.

Теоретическое исследование вопросов комбинаторики предприняли в XVII веке французские математики Блез Паскаль и Ферма. Исходным пунктом их исследований были так же проблемы азартных игр.

Дальнейшее развитие комбинаторики связано с именами Я. Бернулли, Г. Лейбница, Л. Эйлера. Однако, и в их работах основную роль играли приложения к различным играм.

Сегодня комбинаторные методы используются для решения транспортных задач, в частности задач по составлению расписаний, для составления планов производства и реализации продукции и т.д.

2. Общие правила комбинаторики.

Правило суммы: Если некоторый объект А может быть выбран m способами, а объект В- k способами, то объект «либо А, либо В» можно выбрать m + k способами.

1. Допустим, что в ящике находится n разноцветных шаров. Произвольным образом вынимается 1 шарик. Сколькими способами это можно сделать?

Распределим эти n шариков по двум ящикам: в первый- m шариков, во второй- k шариков. Произвольным образом из произвольно выбранного ящика вынимается 1 шарик. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: Из первого ящика шарик можно вынуть m способами, из второго- k способами. Тогда всего способов m+k=n .

В морском семафоре каждой букве алфавита соответствует определенное положение относительно тела сигнальщика двух флажков. Сколько таких сигналов может быть?

Решение: Общее число складывается из положений, когда оба флажка расположены по разные стороны от тела сигнальщика и положений, когда они расположены по одну сторону от тела сигнальщика. При подсчете числа возможных положений применяется правило суммы.

Правило произведения: Если объект А можно выбрать m способами, а после каждого такого выбора другой объект В можно выбрать (независимо от выбора объекта А) k способами, то пары объектов «А и В» можно выбрать m *k способами.

1. Сколько двузначных чисел существует?

Решение: Число десятков может быть обозначено любой цифрой от 1 до 9. Число единиц может быть обозначено любой цифрой от 0 до 9. Если число десятков равно 1, то число единиц может быть любым (от 0 до 9). Таким образом, существует 10 двузначных чисел, с числом десятков- 1. Аналогично рассуждаем и для любого другого числа десятков. Тогда можно посчитать, что существует 9 *10 = 90 двузначных чисел.

2. Имеется 2 ящика. В одном лежит m разноцветных кубиков, а в другом- k разноцветных шариков. Сколькими способами можно выбрать пару «Кубик-шарик»?

Решение: Выбор шарика не зависит от выбора кубика, и наоборот. Поэтому, число способов, которыми можно выбрать данную пару равно m *k .

3. Генеральная совокупность без повторений и выборки без повторений.

Генеральная совокупность без повторений— это набор некоторого конечного числа различных элементов a1 , a2, a3, . an.

Пример: Набор из n разноцветных лоскутков.

Выборкой объема k ( k n ) называется группа из m элементов данной генеральной совокупности.

Пример: Пестрая лента, сшитая из m разноцветных лоскутков, выбранных из данных n .

Размещениями из n элементов по k называются такие выборки, которые содержат по k элементов, выбранных из числа данных n элементов генеральной совокупности без повторений, и отличаются друг от друга либо составом элементов, либо порядком их расположения.

число размещений из n по k .

Число размещений из n по k можно определить следующим способом: первый объект выборки можно выбрать n способами, далее второй объект можно выбрать n -1 способом и т.д.

Преобразовав данную формулу, имеем:

Следует помнить, что 0!=1.

1. В первой группе класса А первенства по футболу участвует 17 команд. Разыгрываются медали: золото, серебро и бронза. Сколькими способами они могут быть разыграны?

Решение: Комбинации команд-победителей отличаются друг от друга составом и порядком следования элементов, т.е. являются размещениями из 17 по 3.

2. Научное общество состоит из 25-ти человек. Необходимо выбрать президента общества, вице-президента, ученого секретаря и казначея. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: Комбинации руководящего состава общества отличаются друг от друга составом и порядком следования элементов, т.е. являются размещениями из 25 по 4.

Перестановками без повторений из n элементов называются размещения без повторений из n элементов по n , т.е. размещения отличаются друг от друга только порядком следования элементов.

1. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что они должны состоять из различных цифр?

Решение: Имеем перестановки из 5 элементов.

Сочетаниями без повторений из n элементов по k называются такие выборки, которые содержат по k элементов, выбранных из числа данных n элементов генеральной совокупности без повторений, и отличаются друг от друга только составом элементов.

число сочетаний из n по k

Элементы каждого из сочетаний можно расставить способами. Тогда

1. Если в полуфинале первенства по шахматам участвует 20 человек, а в финал выходят лишь трое, то сколькими способам и можно определить эту тройку?

Решение: В данном случае порядок, в котором располагается эта тройка, не существенен. Поэтому тройки, вышедшие в финал, являются сочетаниями из 20 по 3.

Решение: В данном случае порядок, в котором располагается эта тройка, не существенен. Поэтому тройки делегатов являются сочетаниями из 10 по 3.

4. Применение графов (схем) при решении комбинаторных задач.

В случае, когда число возможных выборов на каждом шагу зависит от того, какие элементы были выбраны ранее, можно изобразить процесс составления комбинаций в виде «дерева». Сначала из одной точки проводят столько отрезков, сколько различных выборов можно сделать на первом шагу. Из конца каждого отрезка проводят столько отрезков, сколько можно сделать выборов на втором шагу, если на первом шагу был выбран данный элемент и т.д.

При составлении команд космического корабля учитывается вопрос и психологической совместимости участников путешествия. Необходимо составить команду космического корабля из 3 человек: командира, инженера и врача. На место командира есть 4 кандидата: a1, a2, a3, a4 . На место инженера- 3: b1, b2, b3. На место врача- 3: c1, c2, c3 . Проведенная проверка показала, что командир a1 психологически совместим с инженерами b1 и b3 и врачами c 1 и c3 . Командир a2 — с инженерами b1 и b2. и всеми врачами. Командир a3 — с инженерами b1 и b2 и врачами c 1 и c3 . Командир a4-со всеми инженерами и врачом c2. Кроме того, инженер b1 не совместим с врачом c3 , b2— с врачом c1 и b3— с врачом c2. Сколькими способами при этих условиях может быть составлена команда корабля?

Составим соответствующее «дерево».

Ответ: 10 комбинаций.

Такое дерево является графом и применяется для решения комбинаторных задач.

комбинаторика

Еще более другая задачка на подумать. Комбинаторика

  • 27 ноября 2020, 21:37
  • |
  • ivanovr
  • Печать
  • спасибо ₽
  • хорошо
  • +4
  • Ключевые слова:
  • комбинаторика,
  • задача,
  • Задача на логику
  • комментировать
  • Комментарии ( 1 )

Интеграл Логарифм Комбинаторика и МЫ

  • 30 августа 2020, 12:12
  • |
  • Логарифм Интегралович
  • Печать

Интеграл Логарифм Комбинаторика и МЫ

Опережая учебный год провожу опыт:
живые милли лекции понятные школьникам и в детском саду
особенно чтобы обходиться без всяких икс и игрек
и сразу применять естественные величины

  • спасибо ₽
  • хорошо
  • +4
  • Ключевые слова:
  • экспорт,
  • интеграл,
  • логарифм,
  • комбинаторика,
  • Данилин,
  • export,
  • integral,
  • logarithm,
  • combinatory,
  • Danilin
  • комментировать
  • ★1
  • Комментарии ( 7 )

Усреднился? Дядя Коля следит за тобой 😉

  • 12 марта 2015, 13:20
  • |
  • eagledwarf
  • Печать

После двух дней «долгого и тщательного шевеления мозгами в моей умной голове» © я, наконец, нашел простое математическое доказательство того, что интуитивно понимал уже очень давно. Усреднение нарушает основное правило любой торговли, которое гласит : «потенциальная прибыль должна быть больше потенциального убытка».

Тут, правда, стоит оговорится, что под усреднением я имею ввиду именно его классическое понимание: «увеличение убыточной позиции». Пирамидинг по тренду или набор крупной позиции – это другое и речь не о них.

Авторская торговая стратегия TFB – простой алгоритм прибыльного трейдинга на Форекс!

Привет Всем трейдерам!

Сегодня, как и писал в предыдущих статьях, публикую интересную и рабочую авторскую стратегию, которая называется TFB (или Two Flying Bars). Мы подробно разберем правила этой торговой стратегии, как правильно входить в рынок и выставлять защитные ордера, основываясь на новом форекс паттерне, а также рассмотрим наглядные примеры применения этой системы на практике.

Итак, начнем ;-). Для торговли по стратегии TFB нам понадобится ценовой график валютной пары EUR\USD (Евро Доллар) с таймфреймом H1 (часовой). Сразу уточню, что данная тактика может использоваться и на других средне или высоко волатильных валютных парах.

Далее, перед тем как устанавливать нужные индикаторы, важно уяснить и разобрать один момент, а именно визуально определить важные уровни поддержки и сопротивления для выбранной валютной пары. Для того чтобы это сделать, уменьшаем масштаб ценового графика до минимума и наглядно наносим горизонтальные линии (установите для них отдельный цвет, для примера зеленый).

Как правильно и за какой период нужно выставлять эти уровни? Период может быть самым разным, все зависит от того на каком таймфрейме трейдер торгует, но так как мы выбрали H1, здесь рекомендуется просто уменшить график до минимума, начиная с текущей точки формирования цены (как показано на графике выше) и на этом интервале наносить важные уровни.

  • Важным моментом при правильном нанесении уровней поддержки и сопротивления есть то, что расстояние между ними, в данной стратегии, должно быть не менее 50 пунктов .
  • Кроме этого, каждый нанесенный уровень должен отработаться на истории не менее 2 раз (т.е. цена должна будет отбиться от него 2 раза).

После того, как выставили все нужные уровни, мы увеличиваем масштаб ценового графика до нормального размера и начинаем проводить анализ по поиску сигналов соответственно с правилами стратегии TFB (которые будут описаны ниже).

Кроме указанных уровней, для полноценной реализации стратегии нужно использовать следующие технические индикаторы – это 2-ве трендовые скользящие средние.

Медленная скользящая средняя (EMA 1) с периодом нанесения 89, метод построения – экспоненциальный, применять к усредненной цене (Medium Price).

Быстрая экспоненциальная скользящая средняя (EMA 2) с периодом 55, и также применять к средней цене.

Периоды построения этих скользящих средних взяты с числовой последовательности Фибоначчи.

С помощью скользящих средних мы определяем какой сейчас тренд на рынке Форекс: восходящий или нисходящий? Если скользящая средняя (55) находиться ниже скользящей средней (89), то тренд на рынке считаем – нисходящий, если наоборот – восходящий.

Важно! Стратегия TFB является трендовой, соответственно торговля по ней происходит только в сторону текущего тренда. Все сигналы, которые по правилам стратегии поступили против тренда, игнорируются!

Главный паттерн, по которому будет происходить вход в рынок, формируется после пересечения ценой обеих скользящих средних в любом направлении (вверх или вниз), после чего цена создает подряд 2-ва бара одинаковой тенденции, которые не должны касаться скользящих средних. При этом, после закрытия второго бара, сигнальный паттерн полностью сформировался и можно осуществлять вход в рынок (наглядно на рисунке ниже).

Приведу практический пример открытия конкретной сделки по правилам стратегии TFB.

Итак, припустим ситуацию, что на рынке присутствует восходящий тренд, соответственно нам нужно искать и входить в позиции только на покупку (возможные сигналы на продажу игнорируем!).

Для того чтобы осуществить открытие позиции на покупку Buy , нужно чтобы при восходящей тренде, цена сделала откат от тенденции в сторону скользящих средних (признаком отката будет служить как минимум касание бара до медленной скользящей средней или пересечение обеих). После отката, цена должна вернуться в сторону восходящей тенденции и сформировать главный паттерн с 2-х полных баров выше скользящих средних, в результате этого, на закрытии 2-го бара открываем позицию на покупку Buy.

Ордер стоп лосс устанавливаем на уровне медленной скользящей средней (89) и перемещаем его по ней по мере движения цены в прибыльную для нас сторону. Для установки тейк профита, как раз и используются наши важные уровни поддержки и сопротивления, которые в начале мы наносили на ценовой график выбранной валютной пары (смотрите рисунок выше).

Для открытия позиции на продажу Sell используем тот же принцип входа в рынок, только уже в сторону нисходящей тенденции. На рисунке показано пример входа в рынок на продажу:

По авторским рекомендациям, вход по стратегии TFB лучше осуществлять одновременно как минимум 3-мя позициями с одинаковыми лотами. Стоп лоссы для каждой будут находиться на одном уровне той же медленной скользящей средней. Тейк профиты для каждого лота выставляются по-порядку на важных уровнях (для каждой сделки отдельный уровень).

Дальше, по мере движения цены до установленных тейк профитов, используем тактику ручной трейлинг стоп для перемещения всех уровней стоп лосс:

После активации первого тейк профита – переносим защитные ордера на уровень безубытка, после второго — на уровень первого взятия прибыли, и т.д. до полного закрытия всех ордеров.

При этом не забывайте, что в случае, если даже цена не выбила ордер тейк профит, мы всеравно передвигаем уровни стоп лосс по медленной скользящей средней по мере движения цены.

Вот наглядный пример открытия и реализации полноценной сделки на покупку Buy по стратегии TFB:

Итак, друзья трейдеры, как Вам описанная стратегия TFB? Настоятельно рекомендую потестировать эту систему не только на истории, но и первое время на демо счете, она отлично работает и может приносить хорошую прибыль. После ее полного обката можно смело переходить на реальный счет (рекомендуется минимальный депозит для микросчетов – 100$ с лотом для каждой сделки не более 0.01).

Если у кого-то возникнут вопросы по реализации этой стратегии, прошу задавайте их в комментариях ;-).

На сегодня все, буду завершать данный пост, надеюсь что он Вам понравился ;-). Для того чтобы быть в курсе и получать на почту новые подобные публикации, обязательно подписывайтесь на обновления !

Всем желаю удачи и до новых встреч на страницах форекс блога!

Комбинаторика и настольные игры

Так получилось, что за последние полгода мне удалось познакомиться с несколькими простыми (в смысле правил) и в чем-то схожими настольными играми. Первым в этом ряду был «Сет», потом «Барабашка», а уже летом мы играли в «Доббль». Сразу скажу, что все перечисленные игры весьма увлекательные, однако, речь в этом посте пойдет, конечно же, не об этом. Дело в том, что спустя некоторое время (другими словами, наигравшись) меня заинтересовали идеи, лежащие в основе этих игр, и которые оказались тесно связанными именно с комбинаторикой. В данном посте речь пойдет о самой простой (на мой взгляд) игре — «Барабашке», которая, кстати, в оригинальном варианте имеет более благозвучное название «Geistesblitz» (нем. — озарение).

Правила игры

Итак, в чем заключается игра. Имеется 5 предметов, каждый из которых, условно говоря, характеризуется формой и цветом (т.е. двумя категориями) — белый барабашка, красное кресло, синяя книга, зеленая бутылка и серая мышка.

Кроме того, имеется некоторое количество карточек, на каждой из которых изображено два предмета, имеющих разную форму и разный цвет (но из перечисленных выше форм и цветов). На некоторых карточках присутствуют предметы, в точности совпадающие с настоящими предметами. На любой карточке хотя бы у одного предмета цвет не соответствует форме (например, красная бутылка).

Цель игры заключается в том, что для данной карточки как можно быстрее определить предмет, который а) либо присутствует в правильном виде на карточке (совпадает и форма и цвет), б) либо полностью отсутствует (на карточке нет ни формы этого предмета, ни его цвета).

В первом примере у нас имеется белый барабашка, его мы и должны схватить, во втором примере наш выбор — бутылка, потому что на карточке нет бутылки (как формы) и нет зеленого цвета (несложно проверить, что в данном случае бутылка является единственным вариантом, так как отдельные категории всех оставшихся предметов на карточке присутствуют).

Собственно и все правила. Игра сама по себе рассчитана на несколько игроков, каждый играет сам за себя, цель набрать как можно больше карточек (кто первый ухватил правильный предмет, того и карточка). Внимание: не играйте с людьми с длинными ногтями, возможно получение колото-резаных ран!

Число карточек

Первый вопрос, который меня заинтересовал — это сколько различных карточек возможно в данной игре. Чистая комбинаторика! Что приятно, решается эта задача довольно легко. Для начала заметим, что у нас имеется два типа карточек, назовем их правильными (на них имеется нужный предмет) и неправильными (на таких карточек нужного предмета нет). Подсчитаем отдельно количество тех и других.

Начнем с правильных. Первый предмет на правильную карточку можно выбрать пятью способами (из пяти имеющихся предметов). Второй предмет выбирается хитрее — сначала выберем его форму (четыре варианта, одна форма уже занята первым предметом), затем цвет (три варианта, один цвет занят первым предметом, второй занят предметом, форму от которого мы взяли на втором шаге). Таким образом, по правилу произведения, получаем полное число правильных карточек 5*4*3=60.

Неправильные карточки считаются аналогично. Сначала выбираем форму первого предмета (5 вариантов), потом его цвет (4 варианта). Затем выбираем форму второго предмета (3 варианта) и его цвет (2 варианта). Как раз остается один неохваченный выбором предмет — цель данной карточки. Применяем правило произведения, получаем 5*4*3*2=120 вариантов. Но это неверный ответ — набор предметов на карточке неупорядоченный, а мы посчитали количество упорядоченных наборов. Чтобы получить правильный ответ, надо 120 поделить на 2 — число перестановок из двух элементов (карточка «красная бутылка и белое кресло» = карточке «белое кресло и красная бутылка»). Таким образом, получаем 120/2=60 неправильных карточек.

Суммируем (т.е. применяем правило суммы) и получаем ответ: 120 карточек для игры. Считаем карточки в игре — 60 штук. Либо ошибка в расчетах, либо недостача. Несложное расследование показало факт именно недостачи — на каждый из пяти предметов приходится по шесть правильных и шесть неправильных карточек, а должно быть 12 и 12. Причем никакой логики в отборе карточек обнаружить не удалось (скорее всего рандомный выбор).

Обобщение

Переформулируем слегка задачу. Имеется N предметов, каждый из которых описывается k категориями, и имеется Q карточек, на каждой из которых изображено n предметов (в рассмотренном выше случае N=5, k=2, n=2 и Q=120). Имеются ограничения — карточки могут быть правильными (в вышеуказанном смысле) и неправильными. В любом случае, на каждой карточке ни один из kN возможных признаков не повторяется (например, все цвета разные и все формы разные). Кроме того, каждый предмет либо полностью изображается на карточке, либо от него присутствует не более одного признака: например, в «Барабашке» нет карточки с белой бутылкой и красным барабашкой (два признака от одного предмета), т.к. для такой карточки есть два выбора — серая мышка или синяя книга. Единственный и естественный вопрос, который возникает в такой обобщенной постановке — какова связь между переменными N, k, n и Q?

Во-первых, несложно установить, как связаны N, k и n. Рассмотрим неправильные карточки. На каждой такой карточке изображено n предметов, значит на ней присутствует ровно kn признаков, которые определяют kn предметов (все признаки разные, никакие два не принадлежат одному предмету). Так как такой карточке должен соответствовать единственный предмет не вошедший в нее, то получаем необходимое число предметов kn+1. Заметим, что это число позволяет составлять и правильные карточки (на каждой правильной карточке присутствует в том или ином виде 1+(n-1)k предметов). Таким образом, N = kn+1. Нетрудно убедиться, что формула верна для рассмотренного выше случая n=k=2 и N=5. Представим найденную зависимость в виде таблицы (красным цветом выделена ячейка, соответствующая игре «Барабашка»):

Что значат эти числа? Предположим мы хотим создать расширенную (суперсложную) версию игры, в которой на каждой карточке будет n=5 предметов, а каждый предмет будет описываться k=5 категориями. Получаем N=26. Это значит, что по каждой категории нужно будет придумать 26 ее значений (признаков). Т.е. если категория — цвет, то нужно определить 26 хорошо различающихся между собой цветов. Нелегкая задача… Поэтому, возможные расширения игры скорее всего ограничены областью около левого верхнего угла таблицы. Кстати, вроде бы тривиальные случаи n=1 или k=1 также имеют право на жизнь (хотя, скорее всего, в этих случаях главным будет хорошая реакция).

Подсчитаем теперь количество карточек Q в расширенной (параметризованной) версии игры. Применяя вышеописанный прием, находим число правильных карточек N!/k!/(n-1)! и число неправильных карточек N!/n!, складывая и упрощая, получаем результат

Формула работает для n=k=2, а также была проверена для меньших значений этих параметров. Правда, в случае n=k=1 она слегка врет, т.к. в этом случае правильная карточка для одного предмета совпадает с неправильной карточкой для другого предмета (т.е. любой выбор будет выигрышным), поэтому результат надо поделить на 2. Во всех остальных случаях такие коллизии не случаются. Для случая n=k=3 формула дает число Q=907200. Если каждая карточка будет толщиной в одну десятую миллиметра, то полная стопка окажется высотой почти в 90 метров!

Реализация случая n=k=3

После того, как я разобрался во всей этой кухне, было решено создать простой прототип-демонстрацию расширенной версии игры для всех значений n и k от 1 до 3. Однако, когда дело дошло собственно до программирования, энтузиазм мой слегка поутих и я решил ограничиться случаем n=k=3 (N=10). Так это всего лишь демонстрация к статье, то было решено не заморачиваться с графикой, а сделать практически текстовую версию игры. Итак, три категории — это буквы (от A до J), цифры (от 0 до 9 — очень удачно, что у нас десятичная система счисления) и спецсимволы (проценты, доллары и т.п.) Таким образом, каждый «предмет» — это набор (неупорядоченный) трех символов (буква+цифра+спецсимвол): A0%, B1$ и т.д. Игра рассчитана на одного игрока, которому дается 100 секунд на угадывание предметов. Правильный выбор предмета прибавляет 1 к счету, неправильный — уменьшает счет на 1 (но только до нуля). Игра реализована на HTML+JS и выложена вот здесь (тестировалась только под хромом). Интерфейс очень простой:

В верхнем ряду показывается карточка с тремя предметами, в нижнем — сами предметы. Надо выбрать из нижнего ряда предмет, который либо есть на карточке (совпадают все три символа), либо предмет, ни одного символа которого на карточке нет. В данном примере правильный выбор — карточка с буквой G. Небольшая обфускация (перемешивание «предметов» и символов в «предметах») используется для усложнения игры. Заметим, что и оригинальная версия «Барабашки» также является обфусцированной — предметы имеют различный размер и по различному располагаются на карточке (кроме того, реальные предметы постоянно перемешиваются самими игроками в процессе игры). Удачи тем, кто рискнет сыграть (мой рекорд пока — порядка 6 угаданных предметов)!

Спасибо всем за внимание!

PS: А при чем же здесь ортогональные полиномы, спросит внимательный читатель. Честно говоря, не знаю! Но если взять формулу для Q и подставить в нее k=2, то получим числовую последовательность, которая начинается вот так: 1, 9, 120, 2100 и т.д. Имеется такой замечательный сайт — словарь целочисленных последовательностей, который позволяет по нескольким элементам последовательности найти саму последовательность (типа игры «Угадай мелодию»). Я вбил туда найденные числа и была найдена единственная последовательность, которая связана как раз с коэффициентами ортогональных полиномов… Проверка показала, что формулы (моя и их) идентичны. Я не поленился, нашел и скачал оригинальную статью, мои числа оказались третьми по старшинству коэффициентами в многочленах, полученных некоторым образом в процессе обратного преобразования Лапласа. К сожалению, какая связь между этими многочленами и «Барабашкой» мне понять так и не удалось…

AdBlock похитил этот баннер, но баннеры не зубы — отрастут

Комбинаторика в покере: выстраиваем количество комбинаций

Комбинаторика – для начинающего игрока слово сложное и непонятное. Однако комбинаторика в покере является основой основ, и без знания ее невозможно достичь успеха. Используя комбинаторику, покерист сможет принимать более правильные, обоснованные решения, анализировать для того, чтобы собрать ту или иную комбинацию.

Сколько комбинаций в покере

Следует заметить, что теория вероятности – один из важнейших элементов покерной игры. Всегда следует понимать, нужно ли рисковать, если комбинация еще не собрана.

Начать следует с того, каким может быть количество комбинаций в покере на префлопе. Изначально в колоде 52 карты, одну из них вы сразу получите на руки, второй же окажется одна из оставшихся в колоде. Значит, учитывая то, что порядок для нас не важен, вычисляем: 52х51/2, что равно 1326 комбинаций карт.

Карманная пара возможна в шести вариантах, то есть, каждую 221-ю сдачу вы будете получать конкретную пару. Каждые 1:221). Любая карманная пара будет приходить каждые 17 сдач будет приходить любая карманная пара.

Непарные карты игроку могут быть сданы за покерным столом в 16 вариантах (это могут быть как одномастные карты, так и разной масти). Вероятность получения игроком двух любых карт одной масти из колоды – 23,5%, вероятность выпадения конкретной масти – около 6%.

Здесь рассмотрены только комбинации на префлопе, но комбинаторика позволяет вычислить шансы определенных карт в случае, если до открытия доски два покериста идут олл-ин. Также, зная азы комбинаторики, игрок сможет понять свои шансы на флопе, когда игрок видит 3 карты из 5. Именно флоп – тот момент, когда покерист должен принять четкое и взвешенное решение о том, стоит ли ему продолжать игру.

Существуют специальные таблицы, которые помогут игрокам оценить свои шансы на попадание во флоп для разных типов рук. Такие таблицы стоит держать под рукой новичку для того, чтобы принимать верное решение при любой ситуации.

Количество комбинаций в покере: выстраиваем по старшинству

Самой выигрышной, а потому самой желанной игроками комбинацией в покере является «Роял Флэш», когда на руках у покериста оказывается пять одномастных карт, от десятки до туза.

Комбинация, когда собирается последовательно пять одномастных карт, называется «Стрит Флэш». К примеру, это может быть ряд из семерки, восьмерки, девятки, десятки и вальта одной масти. Если двое игроков собирают данную комбинацию, победителем признается тот, у кого старшая карта – самая высокая.

Для комбинации «Карэ» игроку необходимо будет собрать четыре карты одного ранга – например, четыре семерки, четыре десятки, четыре дамы. Лидера в случае конкуренции определяют по старшинству – то есть, у кого комбинация выше, тот и считается победителем.

Комбинация «Фулл хаус» формируется из трех карт одного ранга (например, три десятки или три дамы), а также из одной пары (например, две девятки, два вальта и т.д.). Победителя в случае, если два и более игрока собрали «Фулл хаус» называют по рангу карт.

«Флэш» называется комбинация, в которой – пять одномастных карт. Игрок может собрать карты в произвольном порядке (например, семерку, восьмерку, десятку, вальта и даму).

Карточная комбинация «Стрит» предполагает, что игроком будет собрано пять карт последовательно (например, семерка, восьмерка, девятка, десятка и валет), но разных по масти.

«Сет» или «тройка» – покерная комбинация с тремя картами одного ранга и двумя несвязанными картами. А вот комбинация «две пары», как следует из названия, состоит из двух карт одного ранга, двух карт другого ранга, а также пятой, произвольной карты.

Комбинацию «пара» игрок собирает из одной пары, а также из трех произвольных, не связанных между собой карт. Ценность пары на руках у игроков, собравших такую комбинацию, определяет, кто станет победителем.

В том случае, если за покерным столом никто из игроков так и не смог собрать одну из выигрышных комбинаций, карты оцениваются по рангу. Тот, у кого на руках самая старшая карта, становится победителем. В том же случае, если карты на руках у нескольких игроков равны, банк будет разделен между ними.

Игрок, знающий основные комбинации в покере, сможет лучше ориентироваться за игровым столом. Это именно те знания, которые новичку необходимо получить в первую очередь.

Делая первые шаги в мире виртуального покера, стоит воспользоваться специальными таблицами или наглядными картинками, где представлены все существующие комбинации – это будет своеобразным «учебным пособием» для нового игрока. И, конечно же, обязательно нужно изучать покерную комбинаторику.

Даже опытные игроки, добившиеся больших результатов за покерным столом, непрерывно открывают для себя что-то новое, ведь успех в этой игре – это следствие кропотливого труда и постоянного обучения.

Формулы комбинаторики.

Прежде всего, разберем основные понятия комбинаторики — выборки и их типы: перестановки, размещения и сочетания. Знать их необходимо для решения большой части типовых задач ЕГЭ 2020 по математике обоих уровней, а также девятиклассникам для сдачи ОГЭ. Начнём с примера.

Перестановки. Подсчет числа перестановок.

Представьте себе, что вы избрали профессию, которая, казалось бы, ни каким образом не связана с математикой, например, дизайнер интерьеров. Представьте себе, что заказчик высказал вам просьбу:

Например, сначала оставляем на первом месте бордовый том, рядом с ним может находиться зеленый или оранжевый. Если на втором месте стоит зеленый том, то далее могут стоять либо оранжевый и синий, либо синий и оранжевый. Если на втором месте стоит оранжевый том, то далее могут стоять либо зеленый и синий, либо синий и зеленый. Итого, получается 4 возможных варианта.

На первом месте может стоять любой из 4-ёх томов, значит описанную процедуру надо повторить еще 3 раза. Случай, когда на первом месте стоит синий том, получается такими же рассуждениями.

А следующие два случая отличаются тем, что на оставшихся трёх местах должны находиться бордовый и синий тома, но не рядом. Например, когда на первом месте стоит зеленый том, оранжевый том должен стоять на третьем месте, чтобы разделять бордовый и синий тома, которые могут занимать, соответственно, либо второе и четвертое места, либо четвертое и второе.

В результате у нас получилось всего 12 вариантов расстановки 4-ёх книг на полке с заданным ограничением. Много это или мало? Если потратить по одной минуте на перемещение книг и обсуждение получившегося варианта с заказчиком, то, пожалуй, нормально. 12 минут можно и книжки подвигать, и поговорить. (Попробуйте посчитать, сколько получилось бы перестановок 4-ёх книг без всяких ограничений?)

А теперь представьте себе, что у заказчика книг больше, чем 4. Ну хотя бы 5. Понятно, что и вариантов расстановки будет больше, и реально переставлять их с места на место дольше, и запутаться и начать повторяться легче. Значит бросаться в бой без подготовки уже не стоит. Нужно сначала запланировать варианты на бумаге. Для краткости занумеруем наши цветные тома и будем переставлять на бумаге их номера. Чтобы меньше ошибаться, сначала выпишем все варианты перестановки, а затем вычеркнем те из них, которые подпадают под ограничение. Итак:

У нас 5 книг (или 5 цифр), каждая из которых может стоять на первом месте. Сделаем для каждого из этих 5-ти случаев свою табличку. На втором месте может стоять любая из оставшихся 4-ёх цифр, для каждой из них зарезервируем столбик в табличке.

В каждом столбике помещаем пары строк, в которых на третьем месте стоит одна из оставшихся 3-ёх цифр, а две последние цифры меняются местами. Таким образом мы аккуратно выписываем все варианты перестановок. Подсчитаем их общее число.

5(таблиц)×4(столбика)×3(пары строк)×2(строки)×1(вариант) = 120 (вариантов).

И, наконец, вычеркнем из всех таблиц варианты, содержащие «12» или «21». Таких оказалось по 6 в первой и второй табличках и по 12 в оставшихся 3-ёх, всего 48 вариантов, не удовлетворяющих ограничению. Значит заказчику надо показать 120 − 48 = 72 варианта расположения 5-ти книг. На это уйдет больше часа, даже если тратить на обсуждение каждого варианта только минуту.

Только где вы видели человека, который для перестановки пяти книг станет нанимать дизайнера? Реально такие задачи возникают в библиотеках, где нужно расставить книги для удобства посетителей, в больших книжных магазинах, где нужно расставить книги так, чтобы обеспечить увеличение спроса, и т.п. То есть там, где книг не единицы, и даже не десятки, а сотни и тысячи.

Считать варианты перестановок приходится не только для книг. Это может потребоваться для большого числа любых объектов практически в любой сфере деятельности. Значит, как дизайнерам, так и людям других профессий может понадобиться помощник, а еще лучше инструмент для облегчения подготовительного этапа, анализа возможных результатов и сокращения объема непроизводительного труда. Такие инструменты создавали и создают ученые-математики, а затем отдают их обществу в виде готовых формул. Математики не обошли своим вниманием вопросы, связанные с перестановками, а также с размещениями и сочетаниями разных элементов. Соответствующим формулам уже не один век. Эти формулы очень просты, подрастающей части общества их «вручают» на уроках школьной математики. Поэтому всё, что было написано выше, это по-существу, «изобретение велосипеда», к которому пришлось прибегнуть из-за предположения, что дизайнеру интерьеров никогда не понадобится математика. Что ж, откажемся от этого предположения. Повторим математические понятия, а затем снова вернемся к задаче о книжной полке.

Комбинаторикой называется область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов заданного множества. Составляя комбинации, мы фактически выбираем из этого множества различные элементы и объединяем их в группы по нашим потребностям, поэтому вместо слова «комбинации», часто используют слово «выборки» элементов.

Формула для числа перестановок.

Перестановками называются такие выборки элементов, которые отличаются только порядком расположения элементов, но не самими элементами.

Если перестановки производятся на множестве из n элементов, их число определяется по формуле
Pn = n·(n−1)·(n−2). 3·2·1 = n!

n! — обозначение, которое используют для краткой записи произведения всех натуральных чисел от 1 до n включительно и называют «n-факториал» (в переводе с английского «factor» — «множитель»).

Таким образом, общее число перестановок 5-ти книг P5 = 5! = 1·2·3·4·5 = 120, что мы и получили выше. Фактически мы выводили эту формулу для маленького примера. Теперь решим пример побольше.

Задача 1.

На книжной полке помещается 30 томов. Сколькими способами их можно расставить, чтобы при этом 1-й и 2-й тома не стояли рядом?

Решение.

Определим общее число перестановок из 30 элементов по формуле P30=30!
Чтобы вычислить число «лишних» перестановок, сначала определим, сколько вариантов, в которых 2-й том находится рядом с 1-ым справа от него. В таких перестановках 1-ый том может занимать места с первого по 29-е, а 2-й со второго по 30-е — всего 29 мест для этой пары книг. И при каждом таком положении первых двух томов остальные 28 книг могут занимать остальные 28 мест в произвольном порядке. Вариантов перестановки 28 книг P28=28! Всего «лишних» вариантов при расположении 2-го тома справа от 1-го получится 29·28! = 29!.
Аналогично рассмотрим случай, когда 2-й том расположен рядом с 1-ым, но слева от него. Получается такое же число вариантов 29·28! = 29!.
Значит всего «лишних» перестановок 2·29!, а нужных способов расстановки 30!−2·29! Вычислим это значение.
30! = 29!·30; 30!−2·29! = 29!·(30−2) = 29!·28.
Итак, нам нужно перемножить все натуральные числа от 1 до 29 и еще раз умножить на 28.
Ответ: 2,4757335·10 32 .

Это очень большое число (после двойки еще 32 цифры). Даже если затратить секунду на каждую перестановку, то потребуются миллиарды лет. Стоит ли выполнять такое требование заказчика, или лучше уметь обоснованно возразить ему и настоять на применении дополнительных ограничений?

Перестановки и теория вероятностей.

Еще чаще необходимость подсчёта числа вариантов возникает в теории вероятностей. Продолжим книжную тему следующей задачей.

Задача 2.

На книжной полке стояло 30 томов. Ребенок уронил книги с полки, а затем расставил их в случайном порядке. Какова вероятность того, что он не поставил 1-й и 2-й тома рядом?

Решение.

Сначала определим вероятность события А, состоящего в том, что ребенок поставил 1-й и 2-й тома рядом.
Элементарное событие — некая расстановка книг на полке. Понятно, что общее число всех элементарных событий будет равно общему числу всех возможных перестановок P30=30!.
Число элементарных событий, благоприятствующих событию А, равно числу перестановок, в которых 1-й и 2-й тома стоят рядом. Мы рассматривали такие перестановки, решая предыдущую задачу, и получили 2·29! перестановок.
Вероятность определяем делением числа благоприятствующих элементарных событий на число всех возможных элементарных событий:
P(A) = 2·29!/30! = 2·29!/(29!·30) = 2/30 = 1/15.
Событие В — ребенок не поставил 1-й и 2-й тома рядом — противоположно событию A, значит его вероятность P(B) = 1 − P(A) = 1−1/15 = 14/15 = 0,9333
Ответ: 0,9333.

Замечаниe: Если непонятно, как сокращаются дроби с факториалами, то вспомните, что факториал это краткая запись произведения. Её всегда можно расписать длинно и зачеркнуть повторяющиеся множители в числителе и в знаменателе.

В ответе получилось число близкое к единице, это означает, что при таком количестве книг случайно поставить два заданных тома рядом сложнее, чем не поставить.

Размещения. Подсчет числа размещений.

Теперь предположим, что у заказчика много книг и невозможно разместить их все на открытых полках. Его просьба состоит в том, что нужно выбрать определенное количество каких-либо книг и разместить их красиво. Красиво получилось или некрасиво это вопрос вкуса заказчика, т.е. он опять хочет посмотреть все варианты и принять решение сам. Наша задача состоит в том, чтобы посчитать количество всех возможных вариантов размещения книг, обоснованно переубедить его и ввести разумные ограничения.

Чтобы разобраться в ситуации, давайте сначала считать, что «много» — это 5 книг, что у нас всего одна полка, и что на ней вмещается лишь 3 тома. Что мы будем делать?
Выбираем одну из 5-ти книг и ставим на первое место на полке. Это мы можем сделать 5-ю способами. Теперь на полке осталось два места и у нас осталось 4 книги. Вторую книгу мы можем выбрать 4-мя способами и поставить рядом с одной из 5-ти возможных первых. Таких пар может быть 5·4. Осталось 3 книги и одно место. Одну книгу из 3-ёх можно выбрать 3-мя способами и поставить рядом с одной из возможных 5·4 пар. Получится 5·4·3 разнообразных троек. Значит всего способов разместить 3 книги из 5-ти 5·4·3 = 60.

На рисунке представлены только 4 варианта размещения из 60 возможных. Сравните картинки. Обратите внимание, что размещения могут отличаться друг от друга либо только порядком следования элементов, как первые две группы, либо составом элементов, как следующие.

Формула для числа размещений.

Размещениями из n элементов по m (мест) называются такие выборки, которые имея по m элементов, выбранных из числа данных n элементов, отличаются одна от другой либо составом элементов, либо порядком их расположения.

Число размещений из n по m обозначается An m и определяется по формуле
An m = n·(n − 1)·(n − 2)·. ·(nm + 1) = n!/(n − m)!

Ничего удивительного в том, что число размещений из n по n оказалось равным числу перестановок n элементов, ведь мы использовали для составления размещений всё множество элементов, а значит они уже не могут отличаться друг от друга составом элементов, только порядком их расположения, а это и есть перестановки.

Задача 3.

Сколькими способами можно расставить 15 томов на книжной полке, если выбирать их из имеющихся в наличии 30-ти книг?

Решение.

Определим общее число размещений из 30 элементов по 15 по формуле
A30 15 = 30·29·28·. ·(30−15+1) = 30·29·28·. ·16 = 202843204931727360000.
Ответ: 202843204931727360000.

Будете размещать реальные книги? Удачи! Посчитайте, сколько жизней потребуется, чтобы перебрать все варианты.

Задача 4.

Сколькими способами можно расставить 30 книг на двух полках, если на каждой из них помещается только по 15 томов?

Решение.

Способ I.
Представим себе, что первую полку мы заполняем так же, как в предыдущей задаче. Тогда вариантов размещения из 30-ти книг по 15 будет A30 15 = 30·29·28·. ·(30−15+1) = 30·29·28·. ·16.
И при каждом размещении книг на первой полке мы еще P15 = 15! способами можем расставить книги на второй полке. Ведь для второй полки у нас осталось 15 книг на 15 мест, т.е. возможны только перестановки.
Всего способов будет A30 15 ·P15, при этом произведение всех чисел от 30 до 16 еще нужно будет умножить на произведение всех чисел от 1 до 15, получится произведение всех натуральных чисел от 1 до 30, т.е. 30!
Способ II.
Теперь представим себе, что у нас была одна длинная полка на 30 мест. Мы расставили на ней все 30 книг, а затем распилили полку на две равные части, чтобы удовлетворить условию задачи. Сколько вариантов расстановки могло быть? Столько, сколько можно сделать перестановок из 30 книг, т.е. P30 = 30!
Ответ: 30!.

Не важно, как вы решаете математическую задачу. Вы её решаете так, как представляете себе свои действия в жизненной ситуации. Важно не отступать от логики в своих рассуждениях, чтобы в любом случае получить верный ответ.

Размещения и теория вероятностей.

В теории вероятностей задачи на размещения встречаются несколько реже, чем задачи на другие типы выборок, поскольку размещения имеют больше опознавательных признаков — и порядок, и состав элементов, а значит меньше подвержены случайному выбору.

Задача 5.

На книжной полке находится собрание сочинений одного автора в 6 томах. Книги одинакового формата расположены в произвольном порядке. Читатель, не глядя, берет 3 книги. Какова вероятность того, что он взял первые три тома?

Решение.

Событие A — у читателя первые три тома. С учетом порядка выбора он мог взять их 6-ю способами. (Это перестановки из 3-ёх элементов P3 = 3! = 1·2·3 = 6, которые легко перечислить 123, 132, 213, 231, 312, 321.)
Таким образом, число благоприятствующих элементарных событий равняется 6.
Общее число возможных элементарных событий равно числу размещений из 6-ти по 3, т.е. A6 3 = 6·. ·(6−3+1) = 6·5·4 = 120.
P(A) = 6/120 = 1/20 = 0,05.
Ответ: 0,05.

Сочетания. Подсчет числа сочетаний.

И последний случай — все книги заказчика одного цвета и одного размера, но на полке помещается лишь часть из них. Казалось бы проблем у дизайнера нет совсем, выбирай столько книг из общего числа, сколько нужно, и расставляй их на полке в произвольном порядке, ведь книги внешне неразличимы. Но они различаются, и существенно! Эти книги разные по содержанию. И заказчику, возможно, не всё равно, где находятся трагедии Шекспира, а где детективы Рекса Стаута, на открытой полке или в шкафу. Таким образом, у нас возникает ситуация, когда важен состав элементов выборки, но несущественен порядок их расположения.

На рисунке показаны две выборки из «собрания сочинений одного автора в 5 томах». Первая больше понравится заказчику, если он чаще перечитывает ранние произведения этого автора, помещенные в первых трёх томах, вторая — если чаще обращается к поздним произведениям, помещенным в последних томах. Смотрятся обе группы одинаково красиво (или одинаково некрасиво) и неважно, будет ли группа расположена как 123 или как 321.

Формула для числа сочетаний.

Неупорядоченные выборки называются сочетаниями из n элементов по m и обозначаются Сn m .
Число сочетаний определяется по формуле Сn m = n!/(n − m)!/m!

В этой формуле присутствуют два делителя и в качестве знака деления использован символ «/«, который более удобен для веб-страницы. Но деление можно также обозначать двоеточием «:» или горизонтальной чертой «−−−». В последнем случае формула выглядит как обыкновенная дробь, в которой последовательное деление представлено двумя сомножителями в знаменателе . Для тех, кому более понятно представление в виде дроби, все формулы продублированы в начале и в самом конце страницы. Разбирая решения задач сравнивайте мою запись с привычной для себя.
Кроме того, все множители и делители в этой формуле представляют собой произведения последовательных натуральных чисел, поэтому дробь хорошо сокращается, если её расписать подробно. Но подробное сокращение я в задачах пропускаю, его легко проверить самостоятельно.

Понятно, что для одинаковых исходных множеств из n элементов и одинаковых объёмов выборок (по m элементов) число сочетаний должно быть меньше, чем число размещений. Ведь при подсчёте размещений для каждой выбранной группы мы еще учитываем все перестановки выбранных m элементов, а при подсчёте сочетаний перестановки не учитываем: Сn m = An m /Pm = n!/(n−m)!/m!

Задача 6.

Сколькими способами можно расставить 15 томов на книжной полке, если выбирать их из имеющихся в наличии внешне неразличимых 30-ти книг?

Решение.

Мы решаем эту задачу в контексте работы дизайнера интерьеров, поэтому порядок следования на полке 15-ти выбранных внешне одинаковых книг не имеет значения. Нужно определить общее число сочетаний из 30 элементов по 15 по формуле
С30 15 = 30!/(30 − 15)!/15! = 155117520.
Ответ: 155117520.

Задача 7.

Сколькими способами можно расставить 30 внешне неразличимых книг на двух полках, если на каждой из них помещается только по 15 томов?

Итак, бывают такие формулировки задач, что ответы могут получаться неоднозначными. Для точного решения нужна дополнительная информация, которую мы обычно получаем из контекста ситуации. Создатели экзаменационных заданий, как правило, не допускают двойного толкования условия задачи, формулируют его несколько длиннее. Однако, если у вас есть сомнения, лучше обратиться с вопросом к преподавателю.

Сочетания и теория вероятностей.

В теории вероятностей задачи на сочетания встречаются чаще всего, потому что группировка без порядка следования важнее именно для неразличимых элементов. Если какие-то элементы существенно различаются между собой, их трудно выбрать случайно, есть ориентиры для неслучайного выбора.

Задача 8.

На книжной полке находится собрание сочинений одного автора в 6 томах. Книги одинаково оформлены и расположены в произвольном порядке. Читатель берет наугад 3 книги. Какова вероятность того, что он взял первые три тома?

Решение.

Событие A — у читателя первые три тома. Это 1-й, 2-й и 3-й тома. Без учета порядка, в котором он выбирал книги, а только по конечному результату, он мог взять их одним способом. Число благоприятствующих элементарных событий — 1.
Общее число возможных элементарных событий равно числу групп из 6-ти по 3, образованных без учета порядка следования элементов в группе, т.е. равно числу сочетаний С6 3 = 6!/3!/(6 — 3)! = 4·5·6/(1·2·3) = 4·5 = 20.
P(A) = 1/20 = 0,05.
Ответ: 0,05.

Сравните эту задачу с задачей 5 (на размещения). В обоих задачах очень похожие условия и совсем одинаковые ответы. По-существу, это просто одна и та же бытовая ситуация и, соответственно, одна и та же задача, которую можно трактовать так или иначе. Главное, чтобы при подсчёте элементарных событий, как благоприятствующих, так и всех возможных, было одно и то же понимание ситуации.

Заключительные замечания.

Мы рассмотрели выборки для множества, в котором элементы не повторяются, так называемые выборки без повторений. Например, перестановки букв в слове «шляпа». Но ведь и слово «берет» нередко встречается. В этом слове от перестановки местами двух букв «е» ничего не изменится, такая перестановка не влияет на общее число всех вариантов. Понятно, что математики тоже не прошли мимо понятия выборки с повторениями и вывели соответствующие формулы для подсчёта числа вариантов. Вы можете найти их в учебниках и справочниках или посмотреть в комментариях к простым задачам здесь.

Для строгого вывода всех формул (который я здесь не приводила) используются два основных правила комбинаторики:

Понятие факториал также распространяется на ноль: 0! = 1, так как считается, что пустое множество можно упорядочить единственным способом.

Вычислять факториалы больших чисел прямым умножением на калькуляторе очень долго, а очень больших чисел — и на компьютере не быстро. А как же справлялись с этим до создания компьютеров и калькуляторов? Еще в начале 18-го века Дж.Стирлингом и независимо от него А.Муавром была получена формула для приближенного вычисления факториалов, которая тем точнее, чем больше число n. Сейчас эта формула называется формулой Стирлинга:

Заключительная задача.

При решении задач по теории вероятностей с применением методов комбинаторики необходимо тщательно анализировать предлагаемую ситуацию, чтобы правильно выбрать тип выборки. Попробуйте сделать это на примере следующей задачи. Решите её, сравните ответ, а затем нажмите кнопку, чтобы открыть моё решение.

Задача 9.

Из аквариума, в котором 6 сазанов и 4 карпа, сачком выловили 5 рыб. Какова вероятность того, что среди них окажется 2 сазана и 3 карпа?

Решение.

Элементарное событие — «в сачке группа из 5 рыб». Событие A — «среди 5 пойманных рыб оказалось 3 карпа и 2 сазана».
Пусть n — общее число всех возможных элементарных событий, оно равно числу способов сгруппировать по 5 рыб. Всего рыб в аквариуме 6 + 4 = 10. В процессе ловли сачком рыбы внешне неразличимы. (Мы не знаем, выловили ли мы рыбу по имени Баська или по имени Коська. Более того, пока мы не вытащили сачок наверх и не заглянули в него, мы даже не знаем сазан это или карп.) Таким образом, «выловить 5 рыб из 10» означает сделать выборку типа сочетания из 10 по 5.
n = С10 5 = 10!/5!/(10 — 5)!
Вытащив сачок и заглянув в него, мы можем определить благоприятствующий это исход или нет, т.е. состоит ли улов из двух групп — 2 сазана и 3 карпа?
Группа сазанов могла сформироваться выбором из 6 сазанов по 2. Причем всё равно, кто из них первым забрался в сачок, а кто вторым, т.о. это выборка типа сочетания из 6 по 2. Обозначим общее число таких выборок m1 и вычислим его.
m1 = С6 2 = 6!/2!/(6 — 2)!
Аналогично общее число возможных групп по 3 карпа определяется числом сочетаний из 4 по 3. Обозначим его m2.
m2 = С4 3 = 4!/3!/(4 — 3)!
Группы карпов и сазанов формируются в сачке независимо друг от друга, поэтому для подсчёта числа элементарных событий, благоприятствующих событию A, используем правило умножения («и»-правило) комбинаторики. Итак, общее число благоприятствующих элементарных событий
m = m1·m2 = С6 2 ·С4 3
Вероятность события А определяем по формуле P(A) = m/n = С6 2 ·С4 3 /С10 5
Подставляем в эту формулу все значения, расписываем факториалы, сокращаем дробь и получаем ответ:
P(A) = 6!·4!·5!·(10 — 5)!/2!/(6 — 2)!/3!/(4 — 3)!/ 10! = 5/21 ≈ 0,238

Замечания.
1) Сочетания обычно встречаются в задачах, где неважен процесс формирования группы, а важен только результат. Сазану Баське без разницы первым он попал в сачок или последним, но ему очень важно, в какой группе он оказался в итоге — среди тех, кто в сачке, или среди тех, кто на свободе.
2) Обратите внимание, мы используем «и-правило», потому что союз «и» стоит непосредственно в описании события А, для которого нужно вычислить вероятность совместного улова двух групп. Однако, применяем его только после того, как убедились в независимости выборок. В самом деле, не может же сазан, подплывая к сачку, пересчитать там своих собратьев, и сказать карпу: «Твоя очередь, наших там уже двое». Да и согласится ли карп лезть в сачок в угоду сазану? Но если бы они могли договориться, то это правило применять было бы уже нельзя. Надо было бы обратиться к понятию условная вероятность.

Ответ: 0,238.

Если вы выпускник школы и будете сдавать ЕГЭ, то после изучения этого раздела, вернитесь к заданиям по теме «Вероятность» (10 для базового и 4 для профильного уровней ЕГЭ 2020 по математике), которые можно решать с использованием элементов комбинаторики и без неё (например, на бросание монеты). Какой из возможных способов решения задачи нравится вам больше теперь?

А если вы хотите еще немного потренироваться в решении задач комбинаторики, чтобы научиться быстро определять тип выборки и находить нужные формулы, то перейдите на страницу простые задачи.

Перейти на главную страницу сайта.

Есть вопросы? пожелания? замечания?
Обращайтесь —
mathematichka@yandex.ru

Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено. Ставьте гиперссылку.

Задачи по комбинаторике. Примеры решений

На данном уроке мы коснёмся элементов комбинаторики, которые потребуются для дальнейшего изучения теории вероятностей. Следует отметить, что комбинаторика является самостоятельным разделом высшей математики (а не частью тервера) и по данной дисциплине написаны увесистые учебники, содержание которых, порой, ничуть не легче абстрактной алгебры. Однако нам будет достаточно небольшой доли теоретических знаний, и в данной статье я постараюсь в доступной форме разобрать основы темы с типовыми комбинаторными задачами. А многие из вас мне помогут 😉

Чем будем заниматься? В узком смысле комбинаторика – это подсчёт различных комбинаций, которые можно составить из некоторого множества дискретных объектов. Под объектами понимаются какие-либо обособленные предметы или живые существа – люди, звери, грибы, растения, насекомые и т.д. При этом комбинаторику совершенно не волнует, что множество состоит из тарелки манной каши, паяльника и болотной лягушки. Принципиально важно, что эти объекты поддаются перечислению – их три (дискретность) и существенно то, что среди них нет одинаковых.

С множеством разобрались, теперь о комбинациях. Самыми распространёнными видами комбинаций являются перестановки объектов, их выборка из множества (сочетание) и распределение (размещение). Давайте прямо сейчас посмотрим, как это происходит:

Перестановки, сочетания и размещения без повторений

Не пугайтесь малопонятных терминов, тем более, некоторые из них действительно не очень удачны. Начнём с хвоста заголовка – что значит «без повторений»? Это значит, что в данном параграфе будут рассматриваться множества, которые состоят из различных объектов. Например, … нет, кашу с паяльником и лягушкой предлагать не буду, лучше что-нибудь повкуснее =) Представьте, что перед вами на столе материализовалось яблоко, груша и банан (при наличии таковых ситуацию можно смоделировать и реально). Выкладываем фрукты слева направо в следующем порядке:

яблоко / груша / банан

Вопрос первый: сколькими способами их можно переставить?

Одна комбинация уже записана выше и с остальными проблем не возникает:

яблоко / банан / груша
груша / яблоко / банан
груша / банан / яблоко
банан / яблоко / груша
банан / груша / яблоко

Итого: 6 комбинаций или 6 перестановок.

Хорошо, здесь не составило особого труда перечислить все возможные случаи, но как быть, если предметов больше? Уже с четырьмя различными фруктами количество комбинаций значительно возрастёт!

Пожалуйста, откройте справочный материал Основные формулы комбинаторики (методичку удобно распечатать) и в пункте № 2 найдите формулу количества перестановок.

Никаких мучений – 3 объекта можно переставить способами.

Вопрос второй: сколькими способами можно выбрать а) один фрукт, б) два фрукта, в) три фрукта, г) хотя бы один фрукт?

Зачем выбирать? Так нагуляли же аппетит в предыдущем пункте – для того, чтобы съесть! =)

а) Один фрукт можно выбрать, очевидно, тремя способами – взять либо яблоко, либо грушу, либо банан. Формальный подсчёт проводится по формуле количества сочетаний:

Запись в данном случае следует понимать так: «сколькими способами можно выбрать 1 фрукт из трёх?»

б) Перечислим все возможные сочетания двух фруктов:

яблоко и груша;
яблоко и банан;
груша и банан.

Количество комбинаций легко проверить по той же формуле:

Запись понимается аналогично: «сколькими способами можно выбрать 2 фрукта из трёх?».

в) И, наконец, три фрукта можно выбрать единственным способом:

Кстати, формула количества сочетаний сохраняет смысл и для пустой выборки:
способом можно выбрать ни одного фрукта – собственно, ничего не взять и всё.

г) Сколькими способами можно взять хотя бы один фрукт? Условие «хотя бы один» подразумевает, что нас устраивает 1 фрукт (любой) или 2 любых фрукта или все 3 фрукта:
способами можно выбрать хотя бы один фрукт.

Читатели, внимательно изучившие вводный урок по теории вероятностей, уже кое о чём догадались. Но о смысле знака «плюс» позже.

Для ответа на следующий вопрос мне требуется два добровольца… …Ну что же, раз никто не хочет, тогда буду вызывать к доске =)

Вопрос третий: сколькими способами можно раздать по одному фрукту Даше и Наташе?

Для того чтобы раздать два фрукта, сначала нужно их выбрать. Согласно пункту «бэ» предыдущего вопроса, сделать это можно способами, перепишу их заново:

яблоко и груша;
яблоко и банан;
груша и банан.

Но комбинаций сейчас будет в два раза больше. Рассмотрим, например, первую пару фруктов:
яблоком можно угостить Дашу, а грушей – Наташу;
либо наоборот – груша достанется Даше, а яблоко – Наташе.

И такая перестановка возможна для каждой пары фруктов.

В данном случае работает формула количества размещений:

Она отличается от формулы тем, что учитывает не только количество способов, которым можно выбрать несколько объектов, но и все перестановки объектов в каждой возможной выборке. Так, в рассмотренном примере, важно не только то, что можно просто выбрать, например, грушу и банан, но и то, как они будут распределены (размещены) между Дашей и Наташей.

Пожалуйста, внимательно прочитайте пункт № 2 методички Основные формулы комбинаторики и постарайтесь хорошо уяснить разницу между перестановками, сочетаниями и размещениями. В простейших случаях можно пересчитать все возможные комбинации вручную, но чаще всего это становится неподъемной задачей, именно поэтому и нужно понимать смысл формул.

Также напоминаю, что сейчас речь идёт о множестве с различными объектами, и если яблоко/грушу/банан заменить на 3 яблока или даже на 3 очень похожих яблока, то в контексте рассмотренной задачи они всё равно будут считаться различными.

Остановимся на каждом виде комбинаций подробнее:

Перестановки

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же различных объектов и отличающиеся только порядком их расположения. Количество всех возможных перестановок выражается формулой

Отличительной особенностью перестановок является то, что в каждой из них участвует ВСЁ множество, то есть, все объектов. Например, дружная семья:

Сколькими способами можно рассадить 5 человек за столом?

Решение: используем формулу количества перестановок:

Ответ: 120 способами

Невероятно, но факт. Обратите внимание, что здесь не имеет значения круглый ли стол, квадратный, или вообще все люди сели встали, легли на скамейку вдоль одной стены – важно лишь количество объектов и их взаимное расположение. Помимо перестановок людей, часто встречается задача о перестановках различных книг на полке, но это было бы слишком просто даже для чайника:

Сколько четырёхзначных чисел можно составить из четырёх карточек с цифрами 0, 5, 7, 9?

Для того чтобы составить четырёхзначное число нужно задействовать все четыре карточки (цифры на которых различны!), и это очень важная предпосылка для применения формулы Очевидно, что, переставляя карточки, мы будем получать различные четырёхзначные числа, … стоп, а всё ли тут в порядке? 😉

Хорошенько подумайте над задачей! Вообще, это характерная черта комбинаторных и вероятностных задач – в них НУЖНО ДУМАТЬ. И зачастую думать по-житейски, как, например, в разборе вступительного примера с фруктами. Нет, конечно, я не призываю тупо прорабатывать другие разделы математики, однако должен заметить, что те же интегралы можно научиться решать чисто механически.

Решение и ответ в конце урока.

Сочетания

В учебниках обычно даётся лаконичное и не очень понятное определение сочетаний, поэтому, в моих устах формулировка будет не особо рациональной, но, надеюсь, доходчивой:

Сочетаниями называют различные комбинации из объектов, которые выбраны из множества различных объектов, и которые отличаются друг от друга хотя бы одним объектом. Иными словами, отдельно взятое сочетание – это уникальная выборка из элементов, в которой не важен их порядок (расположение). Общее же количество таких уникальных сочетаний рассчитывается по формуле .

В ящике находится 15 деталей. Сколькими способами можно взять 4 детали?

Решение: прежде всего, снова обращаю внимание на то, что по логике условия, детали считаются различными – даже если они на самом деле однотипны и визуально одинаковы
(в этом случае их можно, например, пронумеровать
).

В задаче речь идёт о выборке из 4 деталей, в которой не имеет значения их «дальнейшая судьба» – грубо говоря, «просто выбрали 4 штуки и всё». Таким образом, у нас имеют место сочетания деталей. Считаем их количество:

Здесь, конечно же, не нужно ворочать огромные числа .
В похожей ситуации я советую использовать следующий приём: в знаменателе выбираем наибольший факториал (в данном случае ) и сокращаем на него дробь. Для этого числитель следует представить в виде . Распишу очень подробно:

способами можно взять 4 детали из ящика.

Ещё раз: что это значит? Это значит, что из набора 15 различных деталей можно составить одну тысячу триста шестьдесят пять уникальных сочетания 4 деталей. То есть, каждая такая комбинация из четырёх деталей будет отличаться от других комбинаций хотя бы одной деталью.

Ответ: 1365 способами

Формуле необходимо уделить самое пристальное внимание, поскольку она является «хитом» комбинаторики. При этом полезно ПОНИМАТЬ и без всяких вычислений записывать «крайние» значения: . Применительно к разобранной задаче:

– единственным способом можно не выбрать ни одной детали;
способами можно взять 1 деталь (любую из пятнадцати);
способами можно взять 14 деталей (при этом какая-то одна из 15 останется в ящике);
– единственным способом можно взять все пятнадцать деталей.

Рекомендую внимательно ознакомиться с биномом Ньютона и треугольником Паскаля, по которому, к слову, очень удобно выполнять проверку вычислений при небольших значениях «эн».

Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 3 карты?

Это пример для самостоятельного решения. Чем приятны многие комбинаторные задачи, так это краткостью – главное, разобраться в сути. И суть, бывает, открывается с различных сторон. Разберём весьма поучительный пример:

В шахматном турнире участвует человек и каждый с каждым играет по одной партии. Сколько всего партий сыграно в турнире?

Поскольку я сам играю в шахматы и неоднократно принимал участие в круговых турнирах, то сразу же сориентировался по турнирной таблице размером клеток, в которой результат каждой партии учитывается дважды и, кроме того, затушёвываются клетки «главной диагонали» (т.к. участники не играют сами с собой). Исходя из проведённых рассуждений, общее количество сыгранных партий рассчитывается по формуле . Такое решение полностью корректно (см. соответствующий файл банка готовых решений) и на долгое время я забыл о нём по принципу «решено, да и ладно».

Однако один из посетителей сайта заметил, что на самом деле здесь можно руководствоваться самыми что ни на есть банальными сочетаниями:
различных пар можно составить из соперников (кто играет белыми, кто чёрными – не важно).

Эквивалентной является задача о рукопожатиях: в отделе работает мужчин и каждый с каждым здоровается за руку, сколько рукопожатий они совершают? К слову, шахматисты тоже пожимают друг другу руку перед каждой партией.

Ну а вывода тут два:
– во-первых, не всё очевидное – очевидно;
– и во-вторых, не бойтесь решать задачи «нестандартно»!

Большое спасибо за ваши письма, они помогают улучшить качество учебных материалов!

Размещения

Или «продвинутые» сочетания. Размещениями называют различные комбинации из объектов, которые выбраны из множества различных объектов, и которые отличаются друг от друга как составом объектов в выборке, так и их порядком. Количество размещений рассчитывается по формуле

Что наша жизнь? Игра:

Боря, Дима и Володя сели играть в «очко». Сколькими способами им можно сдать по одной карте? (колода содержит 36 карт)

Решение: ситуация похожа на Задачу 4, но отличается тем, что здесь важно не только то, какие три карты будут извлечены из колоды, но и то, КАК они будут распределены между игроками. По формуле размещений:

способами можно раздать 3 карты игрокам.

Есть и другая схема решения, которая, с моей точки зрения, даже понятнее:

способами можно извлечь 3 карты из колоды.

Теперь давайте рассмотрим, какую-нибудь одну из семи тысяч ста сорока комбинаций, например: король пик, 9 червей , 7 червей. Выражаясь комбинаторной терминологией, эти 3 карты можно «переставить» между Борей, Димой и Володей способами:

КП, 9Ч, 7Ч;
КП, 7Ч, 9Ч;
9Ч, КП, 7Ч;
9Ч, 7Ч, КП;
7Ч, КП, 9Ч;
7Ч, 9Ч, КП.

И аналогичный факт справедлив для любого уникального набора из трёх карт. А таких наборов, не забываем, мы насчитали . Не нужно быть профессором, чтобы понять, что найденное количество сочетаний следует умножить на шесть:

способами можно сдать по одной карте трём игрокам.

По существу, получилась наглядная проверка формулы , окончательный смысл которой мы проясним в следующем параграфе.

Ответ: 42840

Возможно, у вас остался вопрос, а кто же раздавал карты? …Наверное, преподаватель =)
И чтобы никому не было обидно, в следующей задаче примет участие вся студенческая группа:

В студенческой группе 23 человека. Сколькими способами можно выбрать старосту и его заместителя?

Задача о «размещении» должностей в коллективе встречается очень часто и является самым настоящим баяном. Краткое решение и ответ в конце урока.

Правило сложения и правило умножения комбинаций

Данные правила весьма напоминают алгебру событий, и многие читатели уже ознакомились с пунктом № 4 справочного материала Основные формулы комбинаторики, где они изложены в общем виде. Постараюсь повторить принципы максимально кратко:

1) Знак «плюс» следует понимать и читать как союз ИЛИ. Вспоминаем демонстрационную задачу с яблоком, грушей и бананом:

способами можно выбрать хотя бы один фрукт.

То есть, можно взять 1 фрукт (любой из трёх) ИЛИ какое-нибудь сочетание двух фруктов ИЛИ все три фрукта. Заметьте, что сложение комбинаций предполагает безразличие выбора (без разницы будет ли выбран один, два или 3 фрукта).

Рассмотрим более основательный пример:

Студенческая группа состоит из 23 человек, среди которых 10 юношей и 13 девушек. Сколькими способами можно выбрать двух человек одного пола?

Решение: в данном случае подсчёт не годится, поскольку общее количество сочетаний включает в себя и разнополые пары.

Условие «выбрать двух человек одного пола» подразумевает, что необходимо выбрать двух юношей или двух девушек, и уже сама словесная формулировка указывает на верный путь решения:

способами можно выбрать 2 юношей;
способами можно выбрать 2 девушек.

Таким образом, двух человек одного пола (без разницы – юношей или девушек) можно выбрать: способами.

Ответ: 123

Правило умножения комбинаций:

2) Знак «умножить» следует понимать и читать как союз И.

Рассмотрим ту же студенческую группу, которая пошла на танцы. Сколькими способами можно составить пару из юноши и девушки?

способами можно выбрать 1 юношу;
способами можно выбрать 1 девушку.

Таким образом, одного юношу и одну девушку можно выбрать: способами.

Когда из каждого множества выбирается по 1 объекту, то справедлив следующий принцип подсчёта комбинаций: «каждый объект из одного множества может составить пару с каждым объектом другого множества».

То есть, Олег может пригласить на танец любую из 13 девушек, Евгений – тоже любую из тринадцати, и аналогичный выбор есть у остальных молодых людей. Итого: возможных пар.

Следует отметить, что в данном примере не имеет значения «история» образования пары; однако если принять во внимание инициативу, то количество комбинаций нужно удвоить, поскольку каждая из 13 девушек тоже может пригласить на танец любого юношу. Всё зависит от условия той или иной задачи!

Похожий принцип справедлив и для более сложных комбинаций, например: сколькими способами можно выбрать двух юношей и двух девушек для участия в сценке КВН?

Союз И недвусмысленно намекает, что комбинации необходимо перемножить:

возможных групп артистов.

Иными словами, каждая пара юношей (45 уникальных пар) может выступать с любой парой девушек (78 уникальных пар). А если рассмотреть распределение ролей между участниками, то комбинаций будет ещё больше. …Очень хочется, но всё-таки воздержусь от продолжения, чтобы не привить вам отвращение к студенческой жизни =).

Правило умножения комбинаций распространяется и на бОльшее количество множителей:

Сколько существует трёхзначных чисел, которые делятся на 5?

Решение: для наглядности обозначим данное число тремя звёздочками: ***

Комбинации будем считать по разрядам – слева направо:

В разряд сотен можно записать любую из цифр (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9). Ноль не годится, так как в этом случае число перестаёт быть трёхзначным.

А вот в разряд десятков («посерединке») можно выбрать любую из 10 цифр: .

По условию, число должно делиться на 5. Число делится на 5, если оно заканчивается на 5 либо на 0. Таким образом, в младшем разряде нас устраивают 2 цифры.

Итого, существует: трёхзначных чисел, которые делятся на 5.

При этом произведение расшифровывается так: «9 способами можно выбрать цифру в разряд сотен и 10 способами выбрать цифру в разряд десятков и 2 способами в разряд единиц»

Или ещё проще: «каждая из 9 цифр в разряде сотен комбинируется с каждой из 10 цифр разряда десятков и с каждой из двух цифр в разряде единиц».

Ответ: 180

Да, чуть не забыл об обещанном комментарии к задаче № 5, в которой Боре, Диме и Володе можно сдать по одной карте способами. Умножение здесь имеет тот же смысл: способами можно извлечь 3 карты из колоды И в каждой выборке переставить их способами.

А теперь задача для самостоятельного решения… сейчас придумаю что-нибудь поинтереснее, …пусть будет про ту же русскую версию блэкджека:

Сколько существует выигрышных комбинаций из 2 карт при игре в «очко»?

Для тех, кто не знает: выигрывает комбинация 10 + ТУЗ (11 очков) = 21 очко и, давайте будем считать выигрышной комбинацию из двух тузов.

(порядок карт в любой паре не имеет значения)

Краткое решение и ответ в конце урока.

Кстати, не надо считать пример примитивным. Блэкджек – это чуть ли не единственная игра, для которой существует математически обоснованный алгоритм, позволяющий выигрывать у казино. Желающие могут легко найти массу информации об оптимальной стратегии и тактике. Правда, такие мастера довольно быстро попадают в чёрный список всех заведений =)

Пришло время закрепить пройденный материал парой солидных задач:

У Васи дома живут 4 кота.

а) сколькими способами можно рассадить котов по углам комнаты?
б) сколькими способами можно отпустить гулять котов?
в) сколькими способами Вася может взять на руки двух котов (одного на левую, другого – на правую)?

Решаем: во-первых, вновь следует обратить внимание на то, что в задаче речь идёт о разных объектах (даже если коты – однояйцовые близнецы). Это очень важное условие!

а) Молчание котов. Данной экзекуции подвергаются сразу все коты
+ важно их расположение, поэтому здесь имеют место перестановки:
способами можно рассадить котов по углам комнаты.

Повторюсь, что при перестановках имеет значение лишь количество различных объектов и их взаимное расположение. В зависимости от настроения Вася может рассаживать животных полукругом на диване, в ряд на подоконнике и т.д. – перестановок во всех случаях будет 24. Желающие могут для удобства представить, что коты разноцветные (например, белый, чёрный, рыжий и полосатый) и перечислить все возможные комбинации.

б) Сколькими способами можно отпустить гулять котов?

Предполагается, что коты ходят гулять только через дверь, при этом вопрос подразумевает безразличие по поводу количества животных – на прогулку могут выйти 1, 2, 3 или все 4 кота.

Считаем все возможные комбинации:

способами можно отпустить гулять одного кота (любого из четырёх);
способами можно отпустить гулять двух котов (варианты перечислите самостоятельно);
способами можно отпустить гулять трёх котов (какой-то один из четырёх сидит дома);
способом можно выпустить всех котов.

Наверное, вы догадались, что полученные значения следует просуммировать:
способами можно отпустить гулять котов.

Энтузиастам предлагаю усложнённую версию задачи – когда любой кот в любой выборке случайным образом может выйти на улицу, как через дверь, так и через окно 10 этажа. Комбинаций заметно прибавится!

в) Сколькими способами Вася может взять на руки двух котов?

Ситуация предполагает не только выбор 2 животных, но и их размещение по рукам:
способами можно взять на руки 2 котов.

Второй вариант решения: способами можно выбрать двух котов и способами посадить каждую пару на руки:

Ответ: а) 24, б) 15, в) 12

Ну и для очистки совести что-нибудь поконкретнее на умножение комбинаций…. Пусть у Васи дополнительно живёт 5 кошек =) Сколькими способами можно отпустить гулять 2 котов и 1 кошку?

То есть, с каждой парой котов можно выпустить каждую кошку.

Ещё один баян для самостоятельного решения:

В лифт 12-этажного дома сели 3 пассажира. Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со 2-го) этаже. Сколькими способами:

1) пассажиры могут выйти на одном и том же этаже (порядок выхода не имеет значения);
2) два человека могут выйти на одном этаже, а третий – на другом;
3) люди могут выйти на разных этажах;
4) пассажиры могут выйти из лифта?

И тут часто переспрашивают, уточняю: если 2 или 3 человека выходят на одном этаже, то очерёдность выхода не имеет значения. ДУМАЙТЕ, используйте формулы и правила сложения/умножения комбинаций. В случае затруднений пассажирам полезно дать имена и порассуждать, в каких комбинациях они могут выйти из лифта. Не нужно огорчаться, если что-то не получится, так, например, пункт № 2 достаточно коварен, впрочем, один из читателей отыскал простое решение, и я в очередной раз выражаю благодарность за ваши письма!

Полное решение с подробными комментариями в конце урока.

Заключительный параграф посвящён комбинациям, которые тоже встречаются достаточно часто – по моей субъективной оценке, примерно в 20-30% комбинаторных задач:

Перестановки, сочетания и размещения с повторениями

Перечисленные виды комбинаций законспектированы в пункте № 5 справочного материала Основные формулы комбинаторики, однако некоторые из них по первому прочтению могут быть не очень понятными. В этом случае сначала целесообразно ознакомиться с практическими примерами, и только потом осмысливать общую формулировку. Поехали:

Перестановки с повторениями

В перестановках с повторениями, как и в «обычных» перестановках, участвует сразу всё множество объектов, но есть одно но: в данном множестве один или бОльшее количество элементов (объектов) повторяются. Встречайте очередной стандарт:

Сколько различных буквосочетаний можно получить перестановкой карточек со следующими буквами: К, О, Л, О, К, О, Л, Ь, Ч, И, К?

Решение: в том случае, если бы все буквы были различны, то следовало бы применить тривиальную формулу , однако совершенно понятно, что для предложенного набора карточек некоторые манипуляции будут срабатывать «вхолостую», так, например, если поменять местами любые две карточки с буквами «К» в любом слове, то получится то же самое слово. Причём, физически карточки могут сильно отличаться: одна быть круглой с напечатанной буквой «К», другая – квадратной с нарисованной буквой «К». Но по смыслу задачи даже такие карточки считаются одинаковыми, поскольку в условии спрашивается о буквосочетаниях.

Всё предельно просто – всего: 11 карточек, среди которых буква:

К – повторяется 3 раза;
О – повторяется 3 раза;
Л – повторяется 2 раза;
Ь – повторяется 1 раз;
Ч – повторяется 1 раз;
И – повторяется 1 раз.

Проверка: 3 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 11, что и требовалось проверить.

По формуле количества перестановок с повторениями:
различных буквосочетаний можно получить. Больше полумиллиона!

Для быстрого расчёта большого факториального значения удобно использовать стандартную функцию Экселя: забиваем в любую ячейку =ФАКТР(11) и жмём Enter.

На практике вполне допустимо не записывать общую формулу и, кроме того, опускать единичные факториалы:

Но предварительные комментарии о повторяющихся буквах обязательны!

Ответ: 554400

Другой типовой пример перестановок с повторениями встречается в задаче о расстановке шахматных фигур, которую можно найти на складе готовых решений в соответствующей pdf-ке. А для самостоятельного решения я придумал менее шаблонное задание:

Алексей занимается спортом, причём 4 дня в неделю – лёгкой атлетикой, 2 дня – силовыми упражнениями и 1 день отдыхает. Сколькими способами он может составить себе расписание занятий на неделю?

Формула здесь не годится, поскольку учитывает совпадающие перестановки (например, когда меняются местами силовые упражнения в среду с силовыми упражнениями в четверг). И опять – по факту те же 2 силовые тренировки могут сильно отличаться друг от друга, но по контексту задачи (с точки зрения расписания) они считаются одинаковыми элементами.

Двухстрочное решение и ответ в конце урока.

Сочетания с повторениями

Характерная особенность этого вида комбинаций состоит в том, что выборка проводится из нескольких групп, каждая из которых состоит из одинаковых объектов.

Сегодня все хорошо потрудились, поэтому настало время подкрепиться:

В студенческой столовой продают сосиски в тесте, ватрушки и пончики. Сколькими способами можно приобрести пять пирожков?

Решение: сразу обратите внимание на типичный критерий сочетаний с повторениями – по условию на выбор предложено не множество объектов как таковое, а различные виды объектов; при этом предполагается, что в продаже есть не менее пяти хот-догов, 5 ватрушек и 5 пончиков. Пирожки в каждой группе, разумеется, отличаются – ибо абсолютно идентичные пончики можно смоделировать разве что на компьютере =) Однако физические характеристики пирожков по смыслу задачи не существенны, и хот-доги / ватрушки / пончики в своих группах считаются одинаковыми.

Что может быть в выборке? Прежде всего, следует отметить, что в выборке обязательно будут одинаковые пирожки (т.к. выбираем 5 штук, а на выбор предложено 3 вида). Варианты тут на любой вкус: 5 хот-догов, 5 ватрушек, 5 пончиков, 3 хот-дога + 2 ватрушки, 1 хот-дог + 2 + ватрушки + 2 пончика и т.д.

Как и при «обычных» сочетаниях, порядок выбора и размещение пирожков в выборке не имеет значения – просто выбрали 5 штук и всё.

Используем формулу количества сочетаний с повторениями:
способом можно приобрести 5 пирожков.

Ответ: 21

Какой вывод можно сделать из многих комбинаторных задач?

Порой, самое трудное – это разобраться в условии.

Аналогичный пример для самостоятельного решения:

В кошельке находится достаточно большое количество 1-, 2-, 5- и 10-рублёвых монет. Сколькими способами можно извлечь три монеты из кошелька?

В целях самоконтроля ответьте на пару простых вопросов:

1) Могут ли в выборке все монеты быть разными?
2) Назовите самую «дешевую» и самую «дорогую» комбинацию монет.

Решение и ответы в конце урока.

Из моего личного опыта, могу сказать, что сочетания с повторениями – наиболее редкий гость на практике, чего не скажешь о следующем виде комбинаций:

Размещения с повторениями

Из множества, состоящего из элементов, выбирается элементов, при этом важен порядок элементов в каждой выборке. И всё бы было ничего, но довольно неожиданный прикол заключается в том, что любой объект исходного множества мы можем выбирать сколько угодно раз. Образно говоря, от «множества не убудет».

Когда так бывает? Типовым примером является кодовый замок с несколькими дисками, но по причине развития технологий актуальнее рассмотреть его цифрового потомка:

Сколько существует четырёхзначных пин-кодов?

Решение: на самом деле для разруливания задачи достаточно знаний правил комбинаторики: способами можно выбрать первую цифру пин-кода и способами – вторую цифру пин-кода и столькими же способами – третью и столькими же – четвёртую. Таким образом, по правилу умножения комбинаций, четырёхзначный пин-код можно составить: способами.

А теперь с помощью формулы. По условию нам предложен набор из цифр, из которого выбираются цифры и располагаются в определенном порядке, при этом цифры в выборке могут повторяться (т.е. любой цифрой исходного набора можно пользоваться произвольное количество раз). По формуле количества размещений с повторениями:

Ответ: 10000

Что тут приходит на ум… …если банкомат «съедает» карточку после третьей неудачной попытки ввода пин-кода, то шансы подобрать его наугад весьма призрачны.

И кто сказал, что в комбинаторике нет никакого практического смысла? Познавательная задача для всех читателей mathprofi.ru:

Согласно государственному стандарту, автомобильный номерной знак состоит из 3 цифр и 3 букв. При этом недопустим номер с тремя нулями, а буквы выбираются из набора А, В, Е, К, М, Н, О, Р, С, Т, У, Х (используются только те буквы кириллицы, написание которых совпадает с латинскими буквами).

Сколько различных номерных знаков можно составить для региона?

Не так их, кстати, и много. В крупных регионах такого количества не хватает, и поэтому для них существуют по несколько кодов к надписи RUS.

Решение и ответ в конце урока. Не забываем использовать правила комбинаторики 😉 …Хотел похвастаться эксклюзивом, да оказалось не эксклюзивом =) Заглянул в Википедию – там есть расчёты, правда, без комментариев. Хотя в учебных целях, наверное, мало кто прорешивал.

Наше увлекательное занятие подошло к концу, и напоследок я хочу сказать, что вы не зря потратили время – по той причине, что формулы комбинаторики находят ещё одно насущное практическое применение: они встречаются в различных задачах по теории вероятностей,
и в задачах на классическое определение вероятности – особенно часто =)

Всем спасибо за активное участие и до скорых встреч!

Решения и ответы:

Задача 2: Решение: найдём количество всех возможных перестановок 4 карточек:

Когда карточка с нулём располагается на 1-м месте, то число становится трёхзначным, поэтому данные комбинации следует исключить. Пусть ноль находится на 1-м месте, тогда оставшиеся 3 цифры в младших разрядах можно переставить способами.

Примечание: т.к. карточек немного, то здесь несложно перечислить все такие варианты:
0579
0597
0759
0795
0957
0975

Таким образом, из предложенного набора можно составить:
24 – 6 = 18 четырёхзначных чисел
Ответ: 18

Задача 4: Решение: способами можно выбрать 3 карты из 36.
Ответ: 7140

Задача 6: Решение: способами.
Другой вариант решения: способами можно выбрать двух человек из группы и способами распределить должности в каждой выборке. Таким образом, старосту и его заместителя можно выбрать способами.
Ответ: 506

Задача 9: Решение:
способами может быть сдана десятка и туз («каждая десятка с каждым тузом»);
способами может быть сдана пара тузов.
Итого: выигрышные комбинации.
Ответ: 22

Задача 11: Решение:
1) способами можно выбрать этаж для выхода всех пассажиров.

2) Способ первый: способами можно выбрать 2 этажа для выхода пассажиров (например, 6-й и 11-й этаж).
способами можно выбрать двух человек для выхода на одном этаже (третий выйдет на другом этаже). Например:

Кроме того, любую пару и «одинокого человека» можно поменять этажами:

Таким образом, для каждой пары этажей (55 уникальных сочетаний) возможно способов выхода пассажиров.
По правилу умножения комбинаций: способами 2 пассажира могут выйти на одном этаже, а третий – на другом этаже.

Способ второй, который нашёл один из читателей сайта:
способами можно выбрать «одинокого» человека и каждый человек может выйти из лифта: способами.
И для каждой из этих комбинаций:
способами можно выбрать этаж для выхода двух других людей.
По правилу умножения комбинаций:
способами 1 пассажир может выйти на одном этаже, а 2 других – на другом.

3) способами пассажиры могут выйти на разных этажах.
Второй вариант решения: способами можно выбрать 3 этажа для выхода и способами переставить пассажиров по каждой тройке этажей; следовательно, пассажиры могут выйти на разных этажах способами.

4) Способ первый: суммируем комбинации первых трёх пунктов:
способом пассажиры могут выйти из лифта.
Способ второй: в общем случае он более рационален, более того, позволяет обойтись без результатов предыдущих пунктов. Рассуждения таковы: способами может выйти 1-й пассажир из лифта и способами может выйти 2-й пассажир и способами может выйти 3-й пассажир. По правилу умножения комбинаций: способом могут выйти три человека

Ответ: 1) 11; 2) 330; 3) 990; 4) 1331

Задача 13: Решение: по формуле количества перестановок с повторениями:
способами можно составить расписание занятий на неделю.
Ответ: 105

Задача 15: Решение: используем формулу сочетаний с повторениями:
способами можно выбрать 3 монеты из кошелька.
Ответ: 20
Ответы на вопросы:
1) Да (т.к. количество извлекаемых монет (3 шт.) меньше видов монет (4 вида));
2) Самый «дешёвый» набор содержит 3 рублёвые монеты, а самый «дорогой» – 3 десятирублёвые.

Задача 17: Решение: способами можно составить цифровую комбинацию автомобильного номера, при этом одну из них (000) следует исключить: .
способами можно составить буквенную комбинацию автомобильного номера.
По правилу умножения комбинаций, всего можно составить:
автомобильных номера
(каждая цифровая комбинация сочетается с каждой буквенной комбинацией).
Ответ: 1726272

Чем поможет комбинаторика начинающему игроку в покер

Как показывает практика регулярной игры в покерных комнатах, знание базовых правил игры, а также комбинаций покера, не дает вам никаких гарантий на стабильную прибыльную игру. Здесь замешано огромное количество факторов, многие из которых выходят далеко за рамки минимальных знаний о базовых моментах покера.

В частности, колоссальной значимостью обладает умение грамотно и достаточно быстро анализировать ситуацию за игровым столом. Нужно уметь вычислять, какие комбинации вы и ваши соперники могут собрать, учитывая те карты, которые лежат на игровом столе (общие карты). По сути, комбинаторика в покере как раз и занимается тем, что помогает игрокам вычислять свои шансы на формирование сильной руки.

Как известно, в подавляющем большинстве покерных дисциплин существуют стандартные виды комбинаций, которых насчитывается 10 штук. У них есть определенная иерархия, которая связана с силой комбинаций, а также шансами их выпадения в той или иной ситуации.

Старшая карта будет наиболее слабой комбинацией из всех возможных. Это объясняется тем, что для такой комбинации не требуется какого-либо порядка в сочетании карт. Наиболее сильной комбинацией будет Роял Флеш, который имеет определенные правила формирования. Однако простое понимание того, сколько комбинаций в покере, еще ничего вам не гарантирует.

Когда игрок получает карты на руки, то у него уже есть возможность хотя бы минимально просчитать игровые расклады (в частности, лучший и худший возможные варианты). Имея знания, о количестве комбинаций в покере, а также о правилах их составления, игрок имеет возможность делать какие-то выводы по поводу своих шансов в конкретной игровой раздаче.

Приведем пример. Если игрок получает на руки Семерку и Девятку, то у него есть возможность высчитать, что он имеет шансы на Пару, Две Пары, Стрит либо вовсе Флеш. Вероятность формирования каждой из таких комбинаций имеет абсолютно разные шансы, которые можно выразить в процентах.

К тому же, в данной ситуации все будет напрямую зависеть от того, какие карты появятся на следующих улицах на игровом столе. При этом, вполне вероятна ситуация, что игроку не будет сопутствовать удача, и никакой комбинации ему сформировать не удастся. Сами по себе Семерка и Девятка ничего не гарантируют. Как итог, немало игроков попросту сбрасывают такие карты еще на префлопе, не ввязываясь в дальнейшую игру.

Комбинаторика в покере представляет собой не только просчитывание возможного числа игровых комбинаций с учетом имеющихся карт. Также комбинаторика дает возможность разобраться в том, какие шансы формирования той или иной комбинации есть у игрока в процентном выражении.

Разные варианты комбинаций стартовых рук

Если вы хотите стать успешным игроком в покер, то вам нужно понимать, что без математики здесь попросту никуда. Именно математика даст вам возможность грамотно вычислять вероятности и шансы для каждого из торговых этапов.

Для игрока важно отбросить эмоции куда-то в сторону, и действовать на основании конкретных фактов и расчетов. То есть, нужно будет постоянно анализировать происходящее за игровым столом. В идеале, хороший игрок должен не просто вычислять свои вероятности, но параллельно еще наблюдать за игрой оппонентов, пытаться прочитать их действия, силу руки и т.п.

Подобные расчеты из области математики, которые затрагивают шансы на формирование конкретной комбинации, а также потенциальные возможности успешной игры ваших оппонентов, представляют собой область деятельности комбинаторики. Эта наука помогает во всем разобраться, и структурировать данные.

У любого хорошего игрока должно присутствовать понимание того, какие существуют расклады за игровым столом. То есть, если ли у него шансы получить карманную пару Туз-Король, либо вероятность формирования Стрита, с Семеркой, Девяткой и Десяткой на игровом столе. Если вы будете обладать знаниями комбинаторики, то сможете без особых проблем установить шансы на то, что вам будут сданы необходимые карты.

В отношении каждой из карманных карт присутствует 6 разных вариантов комбинаций. В случае с картами различного номинала, таких вариантов будет уже 16. Так, например, Туз и Дама дадут вам 16 вариантов разных раскладов. Среди них Туз пик и Дама бубен, Туз пик и Дама червей и т.д. В общей сложности набирается 16 разных вариантов.

Идентичной будет ситуация с парными комбинациями. Исследовав такие стартовые данные, вы уже сможете понять, что шансы на получение начального расклада из карт различного номинала чуть выше 1 к 3.

Вычисление вариантов, отталкиваясь от известных карт

Стоит рассмотреть все эти нюансы на практике, то есть на понятных примерах из игры. Для примера, у игрока на руках будет Дама и Король. На игровом столе лежит еще один Король, а также 4 и 10. Масть карт здесь не имеет особого значения, поэтому мы её не учитываем. Нам нужно вычислить, какие шансы наши оппоненты имеют на пару Десяток, а также дополнение в виде связки Туз-Король.

Если речь идет о непарных руках (в случае с нашим примером это Туз и Король), то используется такая формула: А1*А2. В данной формуле А1 представляет собой общее число карт в колоде в отношении первой карты (Туз). Следовательно, А2 – тоже самое только в отношении второй карты (Король).

Если мы умножим данные о двух доступных картах, то получим в итоге, то совокупное число свободных комбинаций. В нашей ситуации станет понятно, что либо на руках, либо в колоде присутствуют еще 2 Короля и 4 Туза. Нам необходимо умножить 2 на 4 и мы получим 8. Именно такое число разнообразных комбинаций Туз-Король, которые потенциально могут угрожать нам.

Теперь нужно изучить число возможных вариантов, которые связаны с парой карманных десяток. Ведь если у кого-то будет карманная пара Десяток, то в совокупности с той 10, которая лежит на общем столе, может быть сформирована комбинация Тройка. Для этого нам нужно будет использовать другую формулу.

Речь идет о формуле А*(А-1)/2. В данном случае, А будет представлять собой число карт этого номинала, которые остаются в колоде либо на руках у кого-то из оппонентов. Также мы видим на игровом столе одну Девятку, что говорит о том, что в игре еще может быть 3 таких карты. Тем самым, формула приобретает такой вид – 3*(3-1)/2 =3. Именно таким будет число комбинаций из парных Десяток.

Как показывают все эти вычисления, не так уж и сложно, как может показаться на первый взгляд, высчитать все возможные варианты в игре, и в тоже время приблизительно рассчитать наши шансы на итоговый успех в данной раздаче.

Все что нужно для этого – это сделать не самые сложные математические расчеты. Если речь идет об игре в покер в онлайне, то вы вовсе можно использовать специальные программы калькуляторы, либо банальный лист бумаги с ручкой. Если же игра будет идти за реальным столом, то все придется считать в уме.

Польза комбинаторики в иных случаях

Если проводить время за игровым столом с пользой, то есть, осуществляя анализ и пытаясь читать игру ваших оппонентов, то через определенный промежуток времени, вы сможете сделать какие-то выводы по поводу стиля их игры. Это бывают весьма полезные знания.

К примеру, вы видите, что против вас играет тайтовый игрок, который делает 3Бет, располагая исключительно парой Тузов, парой Королей либо вовсе комбинацией из карт Туз-Король. Из этого можно сделать вывод о том, что такой игрок действует в агрессивной манере лишь в 2% игровых ситуаций. Более того, есть возможность просчитать, какая комбинация у него на руках.

Если на какое-то время забыть о правилах комбинаторики, то получив цифры о том, что шансы такого соперника на каждую из обозначенных комбинаций составляют 33% (речь о связках АК, АА и КК). Однако если вооружиться знаниями о комбинаторике, то можно осуществить более точные вычисления, которые покажут несколько иные цифры.

Мы уже чуть выше рассказали о том, как вычислить количество комбинаций в покере в отношении парного варианта, а также в случае с раскладом, в котором представлены карты различного номинала. Тем самым, мы уже имеем определенные знания о возможных вариантах комбинаций.

Комбинации парного значения насчитывают 6 вариантов, а различного номинала – 16. Если сложить наши цифры по 6 для связок Туз-Туз и Король-Король, а также добавить 16 вариантов комбинаций Туз-Король, то получим цифру 28. 16 от 28 представляет 57%, что соответствует шансам на комбинацию Туз-Король. Оставшиеся две пары будут иметь по 21,5% шансов.

Как показывают все эти расчеты, комбинаторика в покере не просто является полезной и занимательной математикой. Все это дает возможность серьезно увеличивать процент выигранных раздач за реальными игровыми столами. От вас лишь требуется внимательно изучить все эти расчеты, а затем по ходу игры анализировать игру и действия своих соперников.

Что такое комбинаторика в покере

Продолжаю серию статей, посвященных теории покера. Один из учеников задал мне вопрос о комбинаторике и я решил сделать отдельный материал, который должен действительно помочь многим сложить все воедино в своей голове, и главное — начать использовать ее в ИГРЕ!

Складывать комбинации довольно легко, когда знаешь, сколько комбинаций каждой руки еще на Префлопе:

  • Любая разномастная не парная рука имеет 12 комбинаций, допустим это 72о, 45o, T3o.
  • Любая одномастная не парная рука имеет 4 комбинации, допустим это 72s, AKs, Q4s и т.д.
  • Любая парная рука имеет 6 комбинаций.

На флопе подсчет комбинаций происходит из тех карт, которые на столе и тех которые остались.

Допустим у нас на флопе AQ2:

  • AT — 3 туза (один туз лежит на столе) * 4 десятки = 12 комбо;
  • KQ — 3 дамы * 4 короля = 12 комбо;
  • AQ — 3 туза * 3 дамы = 9 комбо;
  • 22 — сетов всегда 3 комбо.

Если у нас есть какой-то блокер, то есть у нас рука из серии А2 на флопе AQ2, то кол-во тузовых комбинацией у оппонента естественно уменьшается! И мы получаем следующие значения:

  • AT — 2 туза (один туз лежит на столе и один у нас) * 4 десятки = 8 комбо;
  • AQ — 2 туза * 3 дамы = 6 комбо;
  • 22 — получается 1 комбо сета 22, т..к одна 2 лежит на борде и вторая 2 у нас в руке.

Теперь посмотрим, как это все влияет на наши действия в раздачах.

Раздача №1

Допустим у нас рука А2 на флопе А62, против нас играет фиш, который часто рейзит свои сильные топ пары +. Мы префлоп рейзеры и ставим кбет, получаем рейз, у нас несколько вариантов игры на такой доске: ФОЛД, КОЛЛ, 3бет (или all-in). ФОЛД с двумя парами естественно мы не рассматриваем и нам нужно выбрать колить или перекручивать соперника, обратимся к комбинаторике:

На флопе А62 он рейзит: AQ, AJ, 22, 66, AA

Комбинации, которые мы не бьем:

  • 22 — 1 комбинация, т.к. у нас блокер;
  • 66 — 3 комбинации;
  • АА — 1 комбинация.

Всего 5 комбинаций.

Комбинации, которые мы бьем:

Всего 16 комбинаций.

Получается, если фиш после своего рейза не способен выкинуть свои топ пары с хорошим кикером, то нам необходимо засовывать все свои дeньги в All-in.

Раздача №2

В нас ставят 3 барреля тайтово-агрессивный регуляр, и нас 2 пары на ривере, что делать? Допустим у нас A3 на доске A3229 (радуга). Мы знаем, что оппонент ставит 3 барреля с топ парой хороший кикер +, ставка на ривере примерно 2/3 пота.

  • А2 — 2*2 = 4 комбо;
  • А9 — 2*3 = 6 комбо;
  • 45s — 4 комбо;
  • 33 — 1 комбо;
  • 22 — 1 комбо.

Всего 16 комбинаций.

  • АК — 2*4 = 8 комбо;
  • AQ — 2*4 = 8 комбо;
  • AJ — 2*4 = 8 комбо (допустим он ставит только половину из них, то есть 4).

Всего 20 комбинаций.

Как мы видим, мы бьем больше комбинацией, чем бьют нас, поэтому коллим очень спокойно на ривере, рейза нет, тк все комбинации, которые мы бьем он выкинет.

Раздача №3

Мы коллируем против широкого ренджа 3бета (10%, 3бета ЛИНЕЙНЫЙ и состоит из JJ+, ATs+, KJs+, QJs, ATo+, KJo+,QJ+) в позиции с 9Тs, выходит флоп 872 радугой, парень очень любит ставить кбеты на всех улицах. Мы выбираем ,что нам делать на флопе: фолд, колл, рейз. Фолд естественно мы не рассматриваем. А теперь давайте подумаем ели мы сделаем колл, удасться ли нам реализовать свое еквити, если в нас ВСЕГДА полетит 3 ставки со всего его спектра? С нашим ДРО у нас всего 32% на усиление.

Тогда давайте подумаем, а что человек выкинет на наш рейз:

  • AK — 16 комб;
  • AQ — 16 комб;
  • AJ — 16 комб;
  • AT — 16 комб;
  • QK — 16 комб;
  • QJ — 16 комб;
  • KJ — 16 комб.

Всего 112 комбинаций.

Всего 24 комбинаций.

Как мы видим у нас есть фолд еквити в размере = 112/(112+24)= 0,82 , когда для стандартного рейза нам нужно примерно 53% фолдов, что бы делать это с ЛЮБОЙ рукой.

Для закрепления материала я приложил видео, где рассматриваю теорию немного под другим углом + разбираю раздачи!

Если вам понравился материал и вы хотите обучаться, то вам к нам!

Комбинаторная задача. Простейшие комбинаторные задачи. Комбинаторные задачи: примеры

Преподаватели математики знакомят своих учеников с понятием «комбинаторная задача» еще в пятом классе. Это необходимо для того, чтобы они сумели в дальнейшем работать с более сложными заданиями. Под комбинаторностью задачи можно понимать возможность решить ее с помощью перебора элементов конечного множества.

Главным признаком задач такого порядка является вопрос к ним, который звучит как «Сколько вариантов?» или «Сколькими способами?» Решение комбинаторных задач напрямую зависит от того, понял ли решающий их смысл, сумел ли он правильно представить действие или процесс, которые были описаны в задании.

Как решить комбинаторную задачу?

Важно корректно определить тип всех имеющихся в рассматриваемой задаче соединений, но при этом необходимо произвести проверку относительно того, имеются ли в ней повторы элементов, изменяются ли сами элементы, играет ли большую роль их порядок, а также относительно некоторых других факторов.

Комбинаторная задача может иметь целый ряд ограничений, которые могут быть наложены на соединения. В этом случае понадобится просчитать полностью ее решение и проверить, оказывают ли эти ограничения какое-либо влияние на соединение всех элементов. Если влияние действительно имеется, необходимо проверить, какое именно.

С чего начать?

Для начала необходимо научиться решать простейшие комбинаторные задачи. Овладение простым материалом позволит научиться разбираться в более сложных заданиях. Рекомендуется сначала начать решать задачи с ограничениями, которые не учитываются при рассмотрении более простого варианта.

Также рекомендуется попытаться решать сначала те задачи, в которых нужно рассматривать меньшее количество общих элементов. Таким образом вы сможете понять принцип создания выборок и научиться в дальнейшем самостоятельно создавать их. Если задача, для которой необходимо использовать комбинаторику, состоит из комбинации нескольких более простых, рекомендуется решать ее по частям.

Решение комбинаторных задач

Такие задачи могут показаться простыми в решении, однако комбинаторика достаточно сложна для освоения, некоторые из них не имеют решения уже на протяжении последних сотен лет. Одной из самых известных задач является определение количества магических квадратов специального порядка, когда число n больше 4.

Комбинаторная задача тесно связана с теорией вероятности, которая появилась еще в средневековые времена. Вероятность происхождения того или иного события можно вычислить только с использованием комбинаторики, в данном случае понадобится чередовать все факторы местами, чтобы получить оптимальное решение.

Решение задач

Комбинаторные задачи с решением используются для обучения учеников и студентов работе с данным материалом. Если же говорить в целом, они должны вызвать у человека интерес и желание найти общее решение. Помимо математических расчетов, необходимо применять умственное напряжение и использовать догадку.

В процессе решения поставленных задач ребенок сможет развить у себя математическое воображение и комбинаторные способности, это может серьезно пригодиться ему в дальнейшем. Постепенно уровень сложности решаемых заданий необходимо повышать, чтобы не забывать имеющиеся знания и добавлять к ним новые.

Способ 1. Перебор

Методы решения комбинаторных задач очень сильно отличаются друг от друга, но все они могут быть использованы учеником для получения ответа. Одним из самых простых, но в то же время и самых долгих способов является перебор. При нем необходимо просто перебрать все возможные варианты решения, не составляя каких-либо схем и таблиц.

Как правило, вопрос в такой задаче связан с возможными вариантами происхождения того или иного события, например: какие числа можно составить с помощью цифр 2, 4, 8, 9? Путем перебора всех вариантов составляется ответ, состоящий из возможных комбинаций. Такой способ прекрасно подходит, если количество возможных вариантов сравнительно невелико.

Способ 2. Дерево из вариантов

Некоторые комбинаторные задачи можно решить, только составляя схемы, в которых будет подробно указана информация о каждом элементе. Составление дерева возможных вариантов – еще один способ нахождения ответа. Он подходит для решения не слишком-то сложных задач, в которых имеется дополнительное условие.

Пример такой задачи:

  • Какие пятизначные числа можно составить из цифр 0, 1, 7, 8? Для решения понадобится построить дерево из всех возможных комбинаций, при этом имеется дополнительное условие – число не может начинаться с нуля. Таким образом, ответ будет состоять из всех чисел, которые будут начинаться с 1, 7 или 8.

Способ 3. Формирование таблиц

Решение комбинаторных задач можно выполнить и с помощью таблиц. Они схожи с деревом возможных вариантов, поскольку предлагают наглядное решение ситуации. Для нахождения правильного ответа нужно сформировать таблицу, причем она будет зеркальной: горизонтальные и вертикальные условия будут одинаковыми.

Возможные варианты ответов будут получаться на пересечении столбцов и строчек. При этом ответы на пересечении столбца и строки с одинаковыми данными получаться не будут, эти пересечения необходимо особо пометить, чтобы не запутаться при составлении итогового ответа. Этот способ не слишком-то часто выбирается учениками, многие отдают предпочтение дереву с вариантами.

Способ 4. Умножение

Есть еще один способ, с помощью которого можно решить комбинаторные задачи, – правило умножения. Он прекрасно подходит в том случае, когда по условию не нужно перечислять все возможные варианты решения, необходимо просто найти их максимальное количество. Этот метод единственный в своем роде, им пользуются очень часто, когда только начинают решать комбинаторные задачи.

Пример такой задачи может выглядеть следующим образом:

  • 6 человек ожидают экзамена в коридоре. Сколько способов можно использовать, чтобы расположить их в общем списке? Для получения ответа необходимо уточнить, сколько их них может быть на первом месте, сколько на втором, на третьем и т. д. Ответом будет число 720.

Комбинаторика и ее виды

Комбинаторная задача не является только лишь школьным материалом, студенты вузов также изучают ее. В науке существует несколько видов комбинаторики, и у каждого из них имеется собственная миссия. Перечислительная комбинаторика должна рассматривать задачи на перечисление и подсчет возможных конфигураций с дополнительными условиями.

Структурная комбинаторика является компонентом вузовской программы, в ней изучаются теории матроидов и графов. Экстремальная комбинаторика также имеет отношение к вузовскому материалу, и здесь имеются свои индивидуальные ограничения. Еще один раздел – теория Рамсея, занимающаяся изучением структур в случайных вариациях элементов. Существует и лингвистическая комбинаторика, которая занимается рассмотрением вопроса о сочетаемости тех или иных элементов между собой.

Методика преподавания комбинаторных задач

Согласно учебным планам, возраст учеников, который рассчитан на первичное знакомство с данным материалом и на решение комбинаторных задач, – 5 класс. Именно там впервые данная тема предлагается на рассмотрение ученикам, они знакомятся с явлением комбинаторности и пытаются решать поставленные перед ними задачи. При этом очень важно, чтобы при постановке комбинаторной задачи использовался метод, когда дети сами занимаются поиском ответов на вопросы.

Кроме всего прочего, после изучения указанной темы будет намного легче вводить понятие факториала и использовать его при решении уравнений, задач и пр. Таким образом, комбинаторность играет важную роль при получении дальнейшего образования.

Комбинаторные задачи: зачем они нужны?

Если вы знаете, что такое комбинаторные задачи, то никаких сложностей с их решением вы испытывать не будете. Методика их решения может пригодиться при необходимости составления расписаний, графиков работы, а также сложных математических вычислений, для выполнения которых не подойдут электронные устройства.

В школах с углубленным изучением математики и информатики комбинаторные задачи изучаются дополнительно, для этого составляются спецкурсы, методические пособия и задачи. Как правило, несколько задач подобного типа могут входить в состав Единого Государственного Экзамена по математике, обычно их «прячут» в части С.

Как решить комбинаторную задачу быстро?

Очень важно суметь разглядеть комбинаторную задачу быстро, поскольку она может иметь завуалированную формулировку, это особенно важно при сдаче ЕГЭ, где каждая минута на счету. Выпишите отдельно информацию, которую вы видите в тексте задачи, на листок, а затем попытайтесь проанализировать ее с точки зрения четырех известных вам способов.

Если вы можете уложить информацию в таблицу или другое образование, пробуйте ее решать. Если классифицировать ее вы не можете, в этом случае лучше всего оставить ее ненадолго и перейти к решению другой задачи, чтобы не терять драгоценное время. Данной ситуации можно избежать, если заранее порешать некоторое количество задач этого типа.

Где найти примеры?

Единственное, что поможет вам научиться решать комбинаторные задачи, – примеры. Их вы можете найти в специальных математических сборниках, которые продаются в магазинах образовательной литературы. Однако там можно найти информацию лишь для студентов вуза, школьникам придется искать задачи дополнительно, как правило, для них задания придумываются остальными учителями.

Преподаватели вузов считают, что студентам необходимо тренироваться и постоянно предлагают им дополнительную учебную литературу. Одним из лучших сборников считается «Методы дискретного анализа в решении комбинаторных задач», написанный в 1977 году и выпускаемый неоднократно ведущими издательствами страны. Именно там можно найти задачи, которые были актуальны на тот момент и остаются актуальными сегодня.

Что делать, если нужно составить комбинаторную задачу?

Чаще всего комбинаторные задачи необходимо составлять преподавателям, которые обязаны научить студентов мыслить нешаблонно. Здесь все будет зависеть от творческого потенциала составителя. Рекомендуется обратить внимание на уже существующие сборники и попробовать составить задачу так, чтобы она сочетала в себе сразу несколько способов ее решения и имела отличные от книжных данные.

Преподаватели вузов в этом плане намного свободнее школьных, они зачастую дают своим студентам задание самим придумать комбинаторные задачи с подробными методами решения и объяснениями. Если вы не относитесь ни к тем, ни к другим, можно попросить помощи у тех, кто действительно разбирается в вопросе, а также нанять частного репетитора. Одного академического часа достаточно для того, чтобы составить несколько подобных задач.

Комбинаторика – наука будущего?

Многие специалисты в области математики и физики считают, что именно комбинаторная задача может стать толчком в развитии всех технических наук. Достаточно лишь нестандартно подойти к решению тех или иных проблем, и тогда можно будет ответить на вопросы, которые уже несколько веков не дают покоя ученым. Некоторые из них всерьез утверждают, что комбинаторика является подспорьем для всех современных наук, особенно космонавтики. Намного проще будет высчитывать траектории полета кораблей с помощью комбинаторных задач, также они позволят определить точное нахождение тех или иных небесных светил.

Реализация нестандартного подхода уже давно началась в азиатских странах, там ученики даже элементарные задачи по умножению, вычитанию, сложению и делению решают, используя комбинаторные методы. На удивление многих европейских ученых, методика действительно работает. Школы Европы пока что только начали перенимать опыт своих коллег. Когда именно комбинаторика станет одним из основных разделов математики, предположить сложно. Сейчас наука изучается ведущими учеными планеты, которые стремятся популяризировать ее.

Комбинаторика для Форекс

Комбинаторика — раздел олимпиадного программирования (а так же и раздел математики), где ставится вопрос о подсчете числа вариантов выбора элементов из некоторого, как правило, конечного множества согласно заданным правилам.

В качестве примеров комбинаторных задач могут быть следующие:

  • Сколько различных слов возможно составить из заданного набора букв: «ATBTATBZA»?
  • Сколько вариантов команд из 3х мальчиков и 2х девочек можно составить при наличии 10 мальчиков и 12 девочек?
  • Сколько существует различных счастливых 6-значных билетов с суммой цифр, равной 30?

Из примеров видно, что суть комбинаторных задач заключается в подсчете каких-либо комбинаций. Подобные задачи как правило имеют 3 вида решений: средствами комбинаторных формул, динамическим программированием (путем выведения рекурентных соотношений) и методом полного или частичного перебора (обычно рекурсивное решение). И порой одна и та же задача может быть решена любым из вышеперечисленных методов. Поэтому порой сложно конкретную задачу отнести к какому-либо разделу, т.к. она может быть как комбинаторной, так и динамической или рекурсивной (а то и все сразу вместе).

Мы же в этом разделе будем в основном рассматривать задачи, решаемые средством комбинаторных формул, а динамика и рекурсия будет описана в следующих темах.

Число перестановок N!

Перестановкой из N элементов называется упорядоченный набор из N различных чисел от 1 до N. Количество различных перестановок порядка N равно N! = 1*2*3 . * (N-1) * N. Заметим, что 0!=1. Для факториала справедлива следующая рекурентная запись: N! = (N-1)!*N.

Например, для N=3 существует всего 6 таких перестановок: (1 2 3), (1 3 2), (2 1 3), (2 3 1), (3 1 2) и (3 2 1). Число N! называют факториалом и произносят как «Н факториал». В нашем случае как раз получилось 3! = 1*2*3 = 6 различных перестановок.

Число размещений AN K

Под числом размещений понимают количество вариантов, которыми можно записать в ряд подпоследовательность из K элементов некоторой перестановки из N элементов. При этом последовательности из одинаковых элементов, но с различным их порядком следования считаются различными. Количество таких комбинаций расчитывается по формуле: AN K = N!/(N-K)!.

Например, для N=4 и K=2 из перестановки (1 2 3 4) можно составить следующие последовательности из 2х элементов: (1 2), (1 3), (1 4), (2 3), (2 4), (3 4), (2 1), (3 1), (4 1), (3 2), (4 2), (4 3). Всего получилось A4 2 = 4!/(4-2)! = 12 вариантов.

Число сочетаний CN K

Под числом сочетаний понимают количество вариантов, которыми можно выбрать K элементов из некоторого множества, состоящего из N элементов. При этом последовательности из одинаковых элементов, но с различным их порядком следования считаются равными. Количество таких комбинаций расчитывается по формуле: CN K = AN K /K! = N!/(K!*(N-K)!).

Например, для N=4 и K=2 из перестановки (1 2 3 4) можно составить следующие последовательности из 2х элементов: (1 2), (1 3), (1 4), (2 3), (2 4), (3 4). Всего получилось С4 2 = 4!/(2!*(4-2)!) = 6 вариантов.

Число сочетаний очень часто используется при решении комбинаторных задач. Например, при игре в «спортлото 5 из 36» с помощью данной формулы можно расчитать вероятность угадывания 5 номеров, т.к. общее число возможных вариантов выбора 5 из 36 равно С36 5 .

Комбинаторика

Читайте также:

  1. Комбинаторика

Тема 2.5 Комбинаторика. Модуль

Практическая работа 10

Тема 2.4 Контраст. Нюанс. Тождество

Основные понятия:Контраст и его виды: по тону, цвету, насыщенности, фактуре, ассоциациям, форме, конфигурации, массе, направленности движения. Нюанс и тождество, их роль в изобразительном искусстве.

Цель:Находить сходное и различное в сравнительных объектах;

Применять контраст как средство выразительность художественного образа в практических работах.

Нюанс, контраст. Выполнить 2 композиции на сочетании рельефа и графики, используя цвет и фактуру. Формат А5.

Порядок работы над заданием.

  1. Анализ аналогичных графических композиций и приемов их построения.
  2. Вынашивание идеи.
  3. Поиск вариантов композиции в эскизах.
  4. Выбор одного из вариантов и его графическая проработка.
  5. Масштабирование элемента (увеличение) и включение цветовой и фактурной проработки.
  6. Выполнение работы на формате А-4.
  7. Детализация элементов.
  8. Обобщение деталей и подчинение их композиционному центру.

Методические указания:

Основные понятия:Комбинаторика. Модуль. Стандарт. Унификация. Биодизайн. Стилизация и трансформация формы. Знак и символ. Приемы стилизации формы. Единая модульная система.

.Комбинации из разных элементов решают люди разных профессий: составление расписания уроков, архитектурная планировка, при решении транспортных задач, составлении шрифтов.

.Комбинаторика- это приемы нахождения различных соединений(комбинаций), перестановок, сочетаний, размещений из данных элементов в определенном порядке.

Методы комбинаторики применяются в строительстве , архитектуре, художественном конструировании, судостроении.

Ранее других комбинаторный подход проявлялся в строительном деле,и, пройдя через века, сформировался в метод модульного проектирования.

Модуль- это единица меры.

Архитектурный модуль- часть постройки, служащая единицей и используемая для достижения соразмерности здания в целом и его частей.

В классической греческой архитектуре модуль обычно равен радиусу или диаметру колонны у его основания.

Чтобы создать, например, знаменитый кромлех Стоунхендж на территории современной Англии около трёх с половиной тысяч лет тому назад, пришлось изготовить целый набор «типовых» крупноэлементных деталей.

Только для внешнего кольца этого гигантского сооружения понадобилось 30 каменных блоков и 30 каменных плит длиной около трёх с половиной метров.

Сотни тысяч рабов высекали одинаковые каменные блоки в каменоломнях древнего Египта.

На базе модуля строились знаменитые римские водопроводы- акведуки.

Прославленные греческие архитекторы обходились всего тремя типами ордеров и на их основе застраивали целые города.

Характерно, что модулем для жилья в античном мире служил рост человека, те. архитектура древних народов в определенной мере была связана с антропометричностью мер( пядь, фут, локоть, сажень и т. д.

Сейчас наиболее удобным модулем в строительстве признан 0,3 м.=3дм. Это древний фут-длина ступни человека, размер которой одинаково удобен для горизонтальных и вертикальных членений жилого дома.

Теоретические принципы античной модульной системы изложены Витрувием, который считал, что больше всего нужно обращать внимание на пропорциональность здания, соразмерность его с определенной частью, принятой за основную. Основной частью для установления соразмерности ордера служила толщина колонны – её диаметр или радиус. Для стоечно-балочной конструкции отношение диаметра стойки к её высоте играло решающую роль, т. к. определяло устойчивость всей системы.

Греческие архитекторы и свободные ремесленники пользовались модульными пропорциями более творчески, чем римляне, корректируя их соотношения в зависимости от конкретных художественных задач, расположения на местности, абсолютного размера сооружения и т. п.

В 1791 году метр был признан унифицированной единицей длины. В основу единицы длины была положена практически неизменная величина – десятиллиллионная часть четверти парижского меридиана.

Вопрос о переходе на модульную систему в проектировании и промышленности был серьезно поставлен в 20-е годы прошлого столетия. В 1923 году на основе трех госучреждений лесной промышленности организуется акционерное общество «Стандартстрой», которое поставило задачей разработку и постройку типовых жилых и общественных зданий из стандартных конструкционных элементов.

Официально модуль М= 100мм был принят в СССР на том основании, что эта система проста в исчислении и органически связана с метрической системой измерений , в 1954 году в результате в различных видах строительства были установлены разные варианты модульной системы со своими укрупненными модулями, кратными М.

Сама идея стандарта прогрессивна.

В дизайне модуль- это величина, принимаемая за основу расчетов размеров какого-либо предмета, машины или сооружения ,а так же их деталей , узлов и элементов, которые всегда кратны избранному модулю (мебель).

Массовое строительство и динамично развивающаяся техника нашего времени столь быстрым темпом изменяют предметную среду, что человеку необходимо осознать, понять и изучить свойства комбинаторных приёмов и широко применять их для её формирования.

Изучение основ комбинаторики стало одной из актуальных задач научно-технического прогресса.

Некоторые композиционные приемы можно продемонстрировать на основе точки, линии и волнистых объемных типоэлементов. На эмоциональное восприятие при этом влияют размеры элементов и их композиционная сочетаемость.

Практическая работа 11Комбинаторные приемы.

Задание: Выполнение раппортных композиций на модульной основе из геометрических фигур (6 эскизов 8×8 см).

Цель:Научиться выполнять работы на модульной основе;Находить комбинаторные элементы на основе геометрических фигур и природных аналогов;

Порядок работы над заданием.

  1. Анализ аналогичных графических композиций и приемов их построения.
  2. Поиск вариантов композиции в эскизах.
  3. Выбор одного из вариантов и его графическая проработка.
  4. Масштабирование элемента (увеличение) и включение цветовой и фактурной проработки.
  5. Выполнение работы на формате А-4.

Методические указания:

Использовать треугольники или квадраты в качестве модулей для создания постоянно повторяющегося орнаментального мотива на основе клетчатого раппорта. Для обогащения выразительных средств композиции можно вводить 1-2 цвета, графические фактуры линейного характера, использовать уменьшение и укрупнение модуля.

Стилизация— один из образных приемов, при помощи которого выявляются наиболее характерные черты предмета и отбрасываются ненужные детали. Стилизация бывает по собственным признакам предмета ( колючий ежик) и по привнесенным (мудрая сова).

Трансформация-это изменение формы предмета в необходимую сторону: округление, вытягивание, увеличение или уменьшение в размере отдельных частей, подчеркивание угловатостей и т.д.

Выразительность формы — это тот фундамент, на котором держится всё здание художественного образа. Обычно в работе над формой, стилизацию и трансформацию применяют одновременно.

ЗНАКИ И СИМВОЛЫ.

Примерами стилизации в графическом дизайне являются знаки и символы. Знак обобщает значительные внешние признаки предмета или только указывает на них.

Знак- это материальный, чувственно воспринимаемый предмет ( явление, событие, действие), выступающий в качестве представителя других предметов ( явлений, событий, действий) и используемый для приобретения, хранения и передачи информации. Первоначально знаки имели материальную природу, но по мере развития общества появились абстрактные знаки, непосредственно связанные с материальной основой( в первую очередь-речь). Все знаки делятся на знаки копии и знаки символы.

Знаки – копии — это знаки, имеющие большее или меньшее сходство с обозначаемым предметом (пиктограмма). Пиктограмма-это способ обозначения явления, понятия, события, возникшей на ранней стадии развития человечества. Во второй половине двадцатого века пикограмма приобрела широкое распространение, благодаря увеличению международных контактов, развитию средств сообщения ( в аэропортах, гостиницах, на вокзалах, съездах, конгрессах, праздниках и олимпиадах).

СИМВОЛЫ — это знаки, которые указывают на предмет, отличающийся от этого знака и который является обобщением содержания, заключенного в этом предмете ( звезда- эмблема армии — знак- символ).

ЭМБЛЕМА- это знак, употребление которого является результатом определенного соглашения, договоренности, заключенной в связи с каким-либо общественным историческим обстоятельством (гербы). Как правило, эмблема является сложной комбинацией символов или отдельных их частей.

Практическая работа 12Стилизация природных форм.

Задание:Выполнить стилизацию и трансформацию природной формы. 6-8 эскизов 6×4 см.

Цель:Использовать приемы стилизации в работе.

Порядок работы над заданием.

  1. Анализ аналогичных графических композиций и приемов их построения.
  2. Вынашивание идеи.
  3. Поиск вариантов композиции в эскизах.
  4. Выполнение работы на формате А-4.

Методические указания:

Стилизуют обычно с помощью силуэта выраженного пятном, линией или контуром. Силуэт может быть решен, как темным пятном на светлом фоне, так и светлым на темном.. Светлый силуэт на темном фоне должен быть более обобщенным, с меньшим количеством деталей, т.к. он активнее действует на зрителя.

В стилизации отход от натуры( реальной формы объекта) в некоторых случаях бывают очень значительным, например( цветок, облако или насекомое можно трактовать почти как геометрическую форму или преувеличить плавность очертаний их силуэтов. Все наблюдаемые в реальной форме оттенки цвета, при стилизации, как правило сводятся к минимуму цветов, возможен полный отказ от реального цвета. Примером стилизации в декоративно-прикладном искусстве является орнамент.

Для создания оригинального образа можно применить прием стилизации по привнесенным признакам. Для этого следует охарактеризовать предмет по несвойственным ему признакам. Например:

| следующая лекция ==>
Тема 2.3 Цвет как средство выражения художественного образа | Тема 2.6 Статика, динамика

Дата добавления: 2014-01-06 ; Просмотров: 2343 ; Нарушение авторских прав? ;

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Комбинаторика для Форекс

Рассмотрим следующие возможные способы выбора.

1. Выбор с возвращением: каждый вынутый шар возвращается в урну, каждый следующий шар выбирается из полной урны. В полученном наборе из номеров шаров могут встречаться одни и те же номера. 2. Выбор без возвращения: вынутые шары в урну не возвращаются, и в полученном наборе не могут встречаться одни и те же номера.

Условимся, какие результаты выбора (наборы из номеров шаров) мы будем считать различными. Есть ровно две возможности.

1. Выбор с учётом порядка : два набора номеров шаров считаются различными, если они отличаются составом или порядком номеров. Так, при выборе трёх шаров из урны, содержащей 5 шаров, наборы (1, 5, 2), (2, 5, 1) и (4, 4, 5) различны, если порядок учитывается. 2. Выбор без учёта порядка : два набора номеров шаров считаются различными, если они отличаются составом. Наборы, отличающиеся лишь порядком следования номеров, считаются одинаковыми.

Так, наборы (1, 5, 2) и (2, 5, 1) не различаются и образуют один и тот же результат выбора, если порядок не учитывается.

Подсчитаем, сколько возможно различных результатов для каждой из четырёх схем выбора (выбор с возвращением или без, и в каждом из этих случаев — с учётом порядка или без).

и называется числом размещений из элементов по элементов.

равно . Для каждой такой пары есть способа выбрать третий шар. По теореме 1, число возможных троек

равно произведению числа пар и числа способов выбора третьего шара, т.е. равно . Продолжая рассуждения, получим, что общее число возможных наборов из шаров равно . В этом произведении сомножителей последний множитель есть число способов выбора -го шара, когда уже выбраны предыдущие.

и называется числом сочетаний из элементов по элементов.

с учётом порядка без учёта порядка
(1,1) (1,1)
(2,2) (2,2)
(1,2)
(2,1)
> (1,2)

Видим, что в схеме «без учёта порядка» получилось три различных результата, в отличие от четырёх результатов в схеме «с учётом порядка». Заметим также, что никаким делением на «число каких-нибудь перестановок», которое помогло избавиться от учёта порядка при выборе без возвращения, число 3 из числа 4 получить не удастся.

Представим себе другой эксперимент, имеющий точно такие же результаты, и посчитаем их количество. Есть ящиков, в которых размещаются шаров. Нас интересует только число шаров в каждом ящике. Результатом эксперимента снова является набор чисел , где равно числу шаров в ящике с номером , и . Числа принимают натуральные значения или равны нулю.

А теперь изобразим результат такого размещения в виде схемы, в которой вертикальные линии обозначают перегородки между ящиками, а точки — находящиеся в ящиках шары:

Мы видим результат размещения девяти шаров по семи ящикам. Первый ящик содержит три шара, второй и шестой ящики пусты, третий ящик содержит один шар, в четвёртом и пятом ящиках лежит по два шара. Переложим один шар из первого ящика во второй и изобразим таким же образом ещё два результата размещения:

Видим, что все размещения можно получить, меняя между собой шары и перегородки, или расставляя шаров на местах. Число получается так: у ящиков есть ровно перегородка, считая крайние, но из них перемещать можно лишь внутреннюю перегородку. Таким образом, имеется мест, которые можно занять шарами либо внутренними перегородками. Перебрав все возможные способы расставить шаров на этих местах (заполняя оставшиеся места перегородками), переберем все нужные размещения.

Осталось заметить, что способов расставить шаров на местах существует

Именно столько есть способов выбрать из номеров мест номеров мест для шаров.

Комбинаторика для Форекс

Эта торговая методика широко обсуждается. Многие трейдеры сообщают о получении хороших профитов при работе по ней. Этот метод основан на одновременной торговле тремя валютными парами. Эти три пары называются «кольцом валют». Главная характеристика каждого «Кольца валют», что оно состоит из трех валют одновременно. Наиболее популярны следующие «кольца»:

Как видно, каждое кольцо состоит из трех валютных пар. Кроме того, в каждом кольце всего три валюты. Например, возьмем следующее кольцо:

В этом кольце три валюты, а именно британский фунт, швейцарский франк и японская иена. Таким образом, когда мы покупаем GBP/CHF и GBP/JPY, мы также фактически покупаем кросс CHF/JPY. Т.е. мы открываем длинную позицию по паре CHF/JPY, чтобы стабилизировать счет.

1) Вы покупаете 1 лот GBP/JPY
2) Вы покупаете 1 лот GBP/CHF
3) Вы также покупаете 0.8 лота CHF/JPY, чтобы стабилизировать счет.

После этого мы ждем, когда пары начнут двигаться. Когда мы решаем зафиксировать прибыль, мы закрываем позиции по всем трем парам. Наша цель не в том, чтобы получить прибыль по каждой из трех пар, а чтобы получить прибыль по трем позициям в совокупности.

Для того, чтобы определить, насколько пара продвинулась до того, как вы открыли позицию, используйте индикатор Среднего дневного диапазона (ADR). Не стоит открывать позиции, когда все три пары прошли более 75% дневного диапазона. Оптимальный вариант для открытия позиций, это движение на 25% дневного диапазона, после открытия вы ждете, пока пары достигнут 50-75% дневного диапазона, после чего закрываете позиции. Не стоит ожидать достижения фиксированной цели прибыли, следует быть довольным тем, что уже заработано, и закрыть позиции.

Вы можете использовать советник, чтобы отслеживать общую прибыль по счету. Отслеживание общей прибыли лучше, чем отслеживание прибыли по каждому ордеру отдельно.

Лучшим кольцом для торговли считается кольцо GBP/USD, USD/JPY и GBP/JPY. Как видно, все три валютные пары, из которых состоит кольцо, являются «Большими двигателями» рынка.

Желательно торговать только одним «кольцом» на один депозит, чтобы снизить слишком большие просадки, которые может испытать ваш баланс при использовании такого типа стратегий. Также лучше всего изучить поведение каждого «кольца» в отдельности, чтобы иметь лучшее представление о том, как работать с ним.

Всегда следует начинать с очень небольших лотов. Например, если ваш счет составляет 10.000 долларов, то лучше начать с 0.10 лота и увеличивать размер при увеличении баланса. Сложный процент – лучшая методика увеличения прибыли и достижения роста депозита.

Думаю, что изложенное пригодится вам. Потратьте время на изучение «колец» и практику на демо-счете. Недели или двух недостаточно, чтобы научиться торговать по системе. Будьте терпеливы! Удачи!

Комбинаторика. Основные формулы

Цель занятия: уметь применять основные формулы комбинаторики и знать условия применения этих формул; знать свойства биномиальных коэффициентов и уметь определять разложение бинома при конкретных значениях n.

План занятия:

1. Число размещений.

2. Число перестановок.

3. Число сочетаний.

5. Бином Ньютона. Треугольник Паскаля.

Методические указания по изучению темы

Во многих практических случаях возникает необходимость подсчитать количество возможных комбинаций объектов, удовлетворяющих определенным условиям. Такие задачи называются комбинаторными. Разнообразие комбинаторных задач не поддается исчерпывающему описанию, но среди них есть целый ряд особенно часто встречающихся, для которых известны способы подсчета.

Комбинаторика – область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов, принадлежащих данному множеству. Термин «комбинаторика» происходит от латинского слова combina – сочетать, соединять.

Пусть есть некоторое множество из n элементов: x1, x2, x3, …, xn.

Из этого множества можно образовать различные подмножества, то есть выборки, каждая из которых содержит m элементов (0 ≤ m ≤ n). Различают упорядоченные выборки (размещения), перестановки и неупорядоченные выборки (сочетания).

Размещения

Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком.

Число размещений из n элементов по m элементов обозначают (А – первая буква французского слова arrangement, что означает размещение, приведение в порядок) и вычисляют по формуле:

Понятие факториала

Произведение n натуральных чисел от 1 до n обозначается символом n! (n факториал), то есть

Заметим, что удобно рассчитывать 0!, полагая по определению, 0!=1.

Из последних двух формул следует, что

В однокруговом турнире по футболу участвуют 8 команд. Сколько существует вариантов призовой тройки?

Решение: Так как порядок команд в призовой тройке важен, то мы имеем дело с размещениями. Тогда

Сколькими способами можно выбрать три лица на три различные должности из десяти кандидатов?

Сколько можно составить телефонных номеров из 5 цифр так, чтобы в каждом отдельно взятом номере все цифры были различными?

Перестановки

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения.

Число всех возможных перестановок из n элементов обозначают Pn (P – первая буква французского слова permutation, что означает перестановка) и вычисляют по формуле:

В финальном забеге на 100 метров участвуют 8 спортсменов. Сколько существует вариантов протокола забега?

В данном случае речь идёт обо всех перестановках из 8 элементов. Тогда (вариантов)

Сколькими различными способами могут разместиться на скамейке10 человек?

Сколькими способами можно разместить 7 лиц за столом, на котором поставлено 7 столовых приборов?

Сочетания

Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.

Число сочетаний вычисляют по формуле: (С — первая буква французского слова combinasion).

Пример.

Сколькими способами можно выбрать три лица на три одинаковые должности из десяти кандидатов?

Пример.

Сколькими способами можно выбрать три детали из ящика, содержащего 15 деталей?

Другой вид формул числа размещений и числа сочетаний

Свойства числа сочетаний:

При решении задач комбинаторики используют следующие правила:

Правило суммы.Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов n способами, а другой объект В – k способами, то объект «либо А, либо В» можно выбрать n+k способами.

Правило произведения.Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов n способами и после каждого такого выбора другой объект В – k способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана n×k способами.

Если некоторые элементы повторяются, то в этом случае комбинации с повторениями вычисляют по другим формулам.

Размещения с повторениями

Число размещений по m элементов с повторениями из n различных элементов равно n m ,то есть

Пример.

Из цифр 1,2,3,4,5 можно составить 5 3 =125 трехзначных чисел, если в одном и том же числе могут попадаться и одинаковые цифры.

Перестановки с повторениями

Если среди n элементов есть n1 элементов одного вида, n2 элементов другого вида и т.д., то число перестановок с повторениями

Пример.

Сколько различных перестановок букв можно сделать в слове «математика»?

Решение:

Сочетания с повторениями

Число сочетаний с повторениями из n различных элементов по m элементов равно числу сочетаний без повторений из (n+m-1) различных элементов по m элементов:

Пример.

Найти число сочетаний с повторениями из четырех элементов a, b, c, d по 3 элемента.

Решение:

Искомое число будет

Бином Ньютона

Для произвольного положительного целого числа n справедлива следующая формула:

Это бином Ньютона. Коэффициенты называются биномиальными коэффициентами.

При n = 2 получим формулу ;

При n = 3 получим формулу .

Пример. Определить разложение при n=4.

Решение:

Биномиальные коэффициенты обладают рядом свойств:

Рассмотрим следующий треугольник:

Строка под номером n содержит биномиальные коэффициенты разложения . Воспользовавшись свойством , можно заметить, что каждый внутренний элемент треугольника равен сумме двух элементов, расположенных над ним, а боковые элементы треугольника – единицы:

Это треугольник Паскаля. Он позволяет быстро найти значения биномиальных коэффициентов.

Решение примеров рекомендуется выполнять в среде табличного процессора MS Excel. При этом надо учитывать некоторую терминологическую путаницу.

В русскоязычной литературе перестановки, составленные из n различных элементов выбором по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком, обычно называют размещениями, а под перестановками понимают всю совокупность комбинаций, состоящих из одних и тех же n различных элементов и отличающихся только порядком их расположения. В этом смысле число всех возможных перестановок для множества из n различных элементов считается по формуле факториала Pn = n! или в Excel «=ФАКТР(N)» (см. рис. № 1)

В Excel считать «перестановки», т.е. размещения, очень удобно, не нужно даже вычислять факториалы (см. рис. №2 и №3): «=ПЕРЕСТ(N;K)». Вместо N и K задаются целые положительные числа, N≥K.

Например, если ввести «=ПЕРЕСТ(3;2)», получим 6. Это 6 комбинации: (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (2,3), (3,2).

А вот встроенная функция «=ЧИСЛКОМБ(N;K)» выдает комбинаторную формулу, называемую у нас «Число сочетаний». В русскоязычной литературе так именуют перестановки, составленные из n различных элементов выбором по m элементов, которые отличаются только составом элементов, а порядок их выбора безразличен (см. рис, №4)

При использовании встроенных функций пользуйтесь «Справкой по этой функции». Например:

Задачи для самостоятельного решения

8. Найти n, если , k n

9. Решить уравнение

10. Решить систему

11. Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2?

12. Сколькими способами можно выбрать четыре лица на четыре различные должности из девяти кандидатов?

13. Сколько можно составить телефонных номеров из 6 цифр так, чтобы в каждом отдельно взятом номере все цифры были различны?

14. В классе 10 учебных предметов и 5 разных уроков в день. Сколькими способами могут быть распределены уроки в один день?

15. Сколько можно записать четырёхзначных чисел, используя без повторения все 10 цифр?

16. Фирма производит выбор из девяти кандидатов на три различные должности. Сколько существует способов такого выбора?

17. В восьмом классе изучается 15 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на среду, если известно, что в этот день должно быть 6 уроков?

18. В высшей лиге чемпионата страны по футболу 16 команд. Борьба идет за золотые, серебряные и бронзовые медали. Сколькими способами медали могут быть распределены между командами?

19. Сколькими способами можно разместить 9 лиц за столом, на котором поставлено 9 приборов?

20. На собрании выступят 6 ораторов. Сколькими способами их фамилии можно расположить в списке?

21. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?

22. Сколькими различными способами можно расставить 10 различных книг на полке, чтобы определённые 4 книги стояли рядом?

23. В однокруговом турнире по футболу участвуют 8 команд. Сколько всего матчей будет сыграно?

24. Из 25 студентов нужно выбрать трех делегатов на конференцию. Сколькими способами это можно сделать?

25. Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей?

26. В колоде 36 карт, из них 4 туза. Сколькими способами можно извлечь 6 карт так, чтобы среди них было 2 туза?

27. Комплексная бригада состоит из двух маляров, трёх штукатуров и одного столяра. Сколько различных бригад можно создать из рабочего коллектива, в котором 15 маляров, 10 штукатуров и 5 столяров?

28. В отборочном турнире за 3 путёвки на чемпионат мира участвуют 10 команд. Сколько существует вариантов «счастливой тройки»?

29. Из 12 человек выбирают четверых для назначения на 4 одинаковые должности. Сколькими способами можно сделать такой выбор?

30. Сколькими различными способами можно составить разведывательную группу из 3-х солдат и одного командира, если имеется 12 солдат и 3 командира?

31. На плоскости дано n точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Найти число прямых, которые можно получить, соединяя точки попарно.

32. Буквы азбуки Морзе образуются как последовательность точек и тире. Сколько различных букв можно образовать, если использовать 5 символов?

33. Сколько существует различных семизначных телефонных номеров?

34. Пусть буквы некоторой азбуки образуются как последовательность точек, тире и пробелов. Сколько различных букв можно образовать, если использовать 5 символов?

35. При игре в бридж между четырьмя игроками распределяется колода карт в 52 листа по 13 карт каждому игроку. Сколько существует различных способов раздать карты?

36. В почтовом отделении продаются открытки пяти видов. Определить число способов покупки семи открыток.

37. Два коллекционера обмениваются марками. Найти число способов обмена, если первый коллекционер обменивает 3 марки, а второй – 6 марок. ( Обмен происходит по одной марке ).

38. У одного студента 6 книг по математике, а у другого – 5. Сколькими способами они могут обменять 2 книги одного на 2 книги другого?

39. Сколько различных перестановок букв можно сделать в словах: «замок», «ротор», «обороноспособность», «колокол», «семинар»?

40. Сколькими различными способами можно разместить в 9 клетках следующие 9 букв: а, а, а, б, б, б, в, в, в?

41. В автомашине 6 мест. Сколькими способами 6 человек могут сесть в эту машину, если занять место водителя могут только двое из них?

42. Сколькими способами из колоды в 52 карты можно извлечь 6 карт, содержащих туза и короля одной масти?

43. Определить разложение при n=5.

44. Определить разложение при n=8.

45. Найти член разложения , не содержащий x (то есть содержащий x в нулевой степени).

46. Найти шестой член разложения , если биномиальный коэффициент третьего от конца члена равен 45.

47. В разложении коэффициент третьего члена на 44 больше коэффициента второго члена. Найти свободный член, то есть член разложения, не зависящий от x (членом, не зависящим от x, будет тот, который содержит x в нулевой степени).

48. В разложении бинома найти члены, не содержащие иррациональности.

49. Найти номер того члена разложения , который содержит a и b в одинаковых степенях.

Практическое занятие №2

(интерактивное занятие в малых группах)

Булевы функции

Цель занятия: уметь строить различные булевы функции, проверять эквивалентность булевых формул (используя таблицу истинности), определять существенные и фиктивные переменные.

План занятия:

1. Основные операции

2. Булевы функции от n переменных

3. Основные эквивалентности

Последнее изменение этой страницы: 2020-01-26; Нарушение авторского права страницы

Лучшие брокеры с бонусами:
  • FinMax (Форекс)
    FinMax (Форекс)

    Инвестируй в акции торговых компаний и получай до 40% в месяц!

  • BINARIUM
    ☆☆☆☆☆
    ★★★★★
    BINARIUM

    Лучший брокер по бинарным опционам. Огромный раздел по обучению.

Добавить комментарий