Геометрическая прогрессия для Форекса

Рейтинг лучших брокеров для торговли акциями за 2020 год:
  • FinMax (Форекс)
    FinMax (Форекс)

    Лучший брокер Форекса! Удобная платформа и высокая прибыль до 40% в месяц!

  • BINARIUM
    ☆☆☆☆☆
    ★★★★★
    BINARIUM

    Лучший брокер по бинарным опционам. Огромный раздел по обучению.

В этой статье раскрыты следующие темы:

Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется числовая последовательность задаваемая двумя параметрами b, q (q ≠ 0) и законом , ,

Число называют знаменателем данной геометрической прогрессии.

  • Если q > 0 все члены геометрической прогрессии имеют один и тот же знак, совпадающий со знаком числа b.
  • Если q Пример 1.

Задана геометрическая прогрессия 2,6,18. Найти десятый член прогрессии и сумму её двенадцати первых членов.

Прогрессии и числовые последовательности в Excel

Изучим как сделать арифметическую и геометрическую прогрессии в Excel, а также в общем случае рассмотрим способы создания числовых последовательностей.

Перед построением последовательностей и различных прогрессий, как обычно, вспомним их детальные определения.
Числовая последовательность — это упорядоченный набор произвольных чисел a1, a2, a3, …, an, … .
Арифметической прогрессией называется такая числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением постоянной величины d (также называют шагом или разностью):

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в котором каждый член, начиная со второго, получается умножением предыдущего члена на ненулевое число q (также называют знаменателем):

С определениями закончили, теперь самое время перейти от теории к практике.

Арифметическая прогрессия в Excel

Рассмотрим 2 способа задания прогрессии в Excel — с помощью стандартного инструмента Прогрессия и через формулы.
В первом случае на панели вкладок выбираем Главная -> Редактирование -> Заполнить -> Прогрессия:

Лучшие брокеры без обмана
  • FinMax (Форекс)
    FinMax (Форекс)

    Огромный выбор торговых инструментов! Заработает каждый!

  • BINARIUM
    ☆☆☆☆☆
    ★★★★★
    BINARIUM

    Лучший брокер по бинарным опционам. Огромный раздел по обучению.

Далее мы увидим диалоговое окно с настройками параметров:

В данных настройках мы можем выбрать дополнительные параметры, которые позволят нам более детально настроить и заполнить прогрессию в Excel:

  • Расположение — расположение заполнения (по столбцам или строкам);
  • Тип — тип (арифметическая, геометрическая, даты и автозаполнение);
  • Единицы — вид данных (при выборе даты в качестве типа);
  • Шаг — шаг (для арифметической) или знаменатель (для геометрической);
  • Автоматическое определение шага — автоматическое определение шага, если заданы несколько значений последовательности;
  • Предельное значение — ограничение по значению последнего элемента последовательности.

Разберем как сделать арифметическую прогрессию в Excel на конкретном примере.

Создадим набор чисел 3, 7, 11, … , то есть первый элемент равняется 3, а шаг равен 4.
Выделяем диапазон (к примеру, A1:J1) в котором мы хотим разместить набор чисел (диапазон можно и не выделять, однако в этом случае в настройках будет необходимо указать предельное значение), где в первой ячейке будет указан первый элемент (в нашем примере это 3 в ячейке A1), и указываем параметры (расположение, тип, шаг и т.д.):

В результате мы получим заполненный диапазон с заданным набором чисел:

Аналогичный результат можно получить и при задании элементов с помощью формул.
Для этого также задаем начальный элемент в первой ячейке, а в последующих ячейках указываем рекуррентную формулу члена арифметической прогрессии (то есть текущий член получается как сумма предыдущего и шага):

Геометрическая прогрессия в Excel

Принцип построения геометрической прогрессии в Excel аналогичен разобранному выше построению арифметической.
Единственное отличие — в настройках характеристик указываем в качестве типа геометрическую прогрессию.

Например, создадим набор чисел 4, 8, 16, … , то есть первое число равно 4, а каждое последующее в 2 раза больше предыдущего.
Также задаем начальный элемент (4 в ячейке A1), выделяем диапазон данных (например, A1:J1) и указываем параметры:

В итоге получаем:

Идентичного результата также можно добиться и через использование формул:

Числовая последовательность в Excel

Арифметическая и геометрическая прогрессии являются частными случаями числовой последовательности, в общем же случае ее можно создать, как минимум, тремя способами:

  • Непосредственное (прямое) перечисление элементов;
  • Через общую формулу n-го члена;
  • С помощью рекуррентного соотношения, которое выражает произвольный член через предыдущие.

Первый способ подразумевает под собой ручной ввод значений в ячейки. Удобный вариант при вводе небольшого количества значений, в обратном же случае данный способ достаточно трудозатратный.
Второй и третий способы более универсальны, так как позволяют автоматически посчитать значения членов с помощью формул, что удобно при большом количестве элементов.
Поэтому поподробнее остановимся на построении последовательностей данными способами.

Рассмотрим создание числовой последовательности на примере построения обратных чисел к натуральным, то есть набора чисел 1, 1/2, 1/3, … , в котором общая формула n-го члена принимает вид Fn=1/n.
Создадим дополнительный ряд в отдельной строчке, куда для удобства расчета поместим порядковые номера (1, 2, 3 и т.д.), на которые будут ссылаться формулы:

В варианте с рекуррентной формулой рассмотрим пример с набором чисел Фибоначчи, в котором первые два числа равны 1 и 1, а каждый последующее число равно сумме двух предыдущих.
В итоге произвольный член можно представить в виде рекуррентного соотношения Fn = Fn-1 + Fn-2 при n > 2.
Определяем начальные элементы (две единицы) в двух ячейках, а остальные задаем с помощью формулы:

Геометрическая прогрессия.

Геометрическая прогрессия.

Геометрическая прогрессия — последовательность чисел b1, b2, b3. (членов прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число q (знаменатель прогрессии), где b1≠0 , q≠0.

где q знаменатель геометрической прогрессии (шаг),

n-й член геометрической прогрессии bn определяется по формуле:

Если b1 > 0 и q > 1, прогрессия является возрастающей последовательностью,

если 0 1

Сумма бесконечной геометрической прогрессии:

Если знаменатель геометрической прогрессии q

Формулы прогрессий

Формулы арифметических прогрессий

Число называется разностью арифметической прогрессии. Любой член арифметической прогрессии (если известен ее первый член и разность) вычисляется следующим образом:

Сумму первых членов арифметической прогрессии можно посчитать, используя формулы:

или, если известны первый член и разность прогрессии,

Формулы геометрических прогрессий

Зная первый член и знаменатель геометрической прогрессии любой ее член можно вычислить по формуле:

Если последовательность чисел является геометрической прогрессией, то для любого ее члена выполняется равенство

Сумму первых членов геометрической прогрессии можно посчитать, используя формулу:

Если знаменатель прогрессии , то такая прогрессия называется бесконечной убывающей геометрической прогрессией и ее сумма вычисляется по формуле

Примеры решения задач

Задание Межу числами и 11 записать пять чисел так, чтобы они вместе с данными числами образовывали арифметическую прогрессию.
Решение Искомая прогрессия будет состоять из семи членов, для которых .

Найдем разность прогрессии из формулы для седьмого члена:

Теперь можно записать остальные члены прогрессии:

Ответ
Задание Дана геометрическая прогрессия . Найти номер члена прогрессии, который равен
Решение Из условия задачи известно, что . Найдем знаменатель этой прогрессии:

Найдем номер члена прогрессии, равного , записав его с помощью формулы n-го члена:

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется последовательность чисел, в которой отношение между последующим и предыдущим членами остается неизменным. Это неизменное отношение называется знаменателем прогрессии.
Геометрическая прогрессия называется возрастающей, когда абсолютная величина ее знаменателя больше единицы, и убывающей, когда она меньше единицы.
Знаменатель прогрессии может быть и отрицательным числом, но прогрессии с отрицательным знаменателем практического значения не имеют.
Любой член геометрической прогрессии можно вычислить по формуле

Сумма первых n членов геометрической прогрессии (знаменатель которой не равен единице) выражается формулой

первое из выражений удобнее брать, когда прогрессия возрастающая, второе — когда она убывающая
Если же q = 1, то сумма прогрессии равна

Суммой бесконечно убывающей прогрессии называется число, к которому неограниченно приближается сумма первых n членов убывающей прогрессии при неограниченном возрастании числа n.
Сумма бесконечно убывающей прогрессии прогрессии выражается формулой

Геометрическая прогрессия для Форекса

В гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии известно, что . Найти пятый член этой прогрессии.

В силу формулы имеем:

Геометрическая про­грес­сия за­да­на фор­му­лой — го члена . Ука­жи­те чет­вер­тый член этой прогрессии.

По формуле n-го члена геометрической прогрессии имеем:

Правильный ответ должен быть -36, 3 в кубе=18, потом 18*2=36, за счёт того, что перед 3 минус в скобках, получается -36

Дана гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия (bn), зна­ме­на­тель ко­то­рой равен 2, а . Най­ди­те сумму пер­вых шести её членов.

Сумма n пер­вых чле­нов гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии даётся фор­му­лой

По усло­вию, от­ку­да по­лу­ча­ем

В гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии сумма пер­во­го и вто­ро­го чле­нов равна 75, а сумма вто­ро­го и тре­тье­го чле­нов равна 150. Най­ди­те пер­вые три члена этой про­грес­сии.

В от­ве­те за­пи­ши­те пер­вый, вто­рой и тре­тий члены про­грес­сии без про­бе­лов.

По условию Запишем эти равенства в виде системы уравнений на первый член и знаменатель прогрессии и решим эту систему:

Теперь найдём второй и третий члены прогрессии:

Приведём другое решение.

Пусть b — первый член, а q — знаменатель прогрессии. Сумма первого и второго членов геометрической прогрессии отличается от суммы второго и третьего в q раз, поэтому q = 2. Тогда b + 2b = 75, поэтому b = 25. Таким образом, искомые члены прогрессии равны 25, 50 и 100.

Статегия и ставки по системе прогрессии в футболе

Автор: Юрий Стадник

Особенно понравится система прогрессии тем, кто:

Предпочитает делать ставки на футбол в долгосрочной перспективе;

Хочет иметь регулярную стабильную прибыль;

Желает минимально рисковать своими деньгами.

Суть стратегии

В основе данной стратегии заложена статистическая аксиома, что при длительной игре соотношение выигрышей и проигрышей получается примерно одинаковым. Играя в течение длительного времени, у каждого игрока процент выигрышных ставок может быть примерно 50. Добиться такого результата можно даже просто подбрасывая монетку и ни для кого это давно не является секретом.

Как работать с системой прогрессии: примеры

Предложенная система использует простейшую прогрессию, в рамках которой при проигрыше ставки сумма следующей должна быть повышена на три единицы. Однако в случае, если ставка оказалась успешной, то размер следующей ставки необходимо уменьшить на две единицы. Если в конце вы получаете некоторую прибыль, то серия считается законченной. Затем рекомендуется сделав паузу остановиться, после чего начинать новую серию ставок. Как видим, все предельно просто.

На начальном этапе серии берут конкретную сумму. Чтобы получить возможность плавно управлять следующими ставками игрок прибавляет 3 или отнимает 2 единицы. Начинать серию рекомендуется сделав ставку в размере 10 единиц. Чтобы правильно рассчитать размер ставки, необходимо воспользоваться ставочным калькулятором. Это приложение должен иметь каждый беттор, желающий серьезно зарабатывать в букмекерской конторе.

Геометрическая прогрессия

Что нужно знать

  • Арифметическая прогрессия
  • Проценты
  • Простейшие алгебраические уравнения

Что вы узнаете

  • Что такое геометрическая прогрессия и чем она отличается от арифметической
  • Как найти любой член геометрической прогрессии
  • Что такое знаменатель геометрической прогрессии и как его найти
  • Чему равна сумма первых n n n членов геометрической прогрессии
  • Когда можно вычислить сумму бесконечной геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия

Если в арифметической прогрессии каждый член больше (или меньше) предыдущего на определенное число, то в геометрической прогрессии каждый следующий член получается умножением на одно и то же число q q q .

Знаменатель может быть и отрицательным числом. Например, последовательность 1 1 1 , − 1 -1 − 1 , 1 1 1 , − 1 -1 − 1 , 1 1 1 — это геометрическая прогрессия со знаменателем − 1 -1 − 1 .

Выберите из перечисленных ниже последовательностей геометрическую прогрессию:

Задачи на геометрические прогрессии во многом аналогичны задачам на арифметические прогрессии. В формулах сложение заменяется умножением, а умножение на k k k — возведением в степень k k k . В частности, выполняется равенство:

Из этой формулы следует такое равенство:

​ = ( b 1 ​ b k ​ ​ ) k − 1 1 ​ .

А теперь ответьте на вопрос на понимание. К какому типу относится такая последовательность, в которой первый член равен 1 0 0 100 1 0 0 , а каждый следующий член последовательности больше предыдущего на 2 0 % 20\% 2 0 % ?

Не арифметическая и не геометрическая прогрессия

Решите теперь следующую задачу:

Сумма первых n n n членов геометрической прогрессии

Среди заданий 11 ЕГЭ не бывает задач на сумму геометрической прогрессии. Однако эту тему полезно знать для решения более сложных экзаменационных и практических задач.

Формула суммы геометрической прогрессии оказывается очень полезной для решения практических задач, особенно в области финансов.

Например, если выручка компании увеличивается каждый год на определенный процент, то суммарная выручка за 1 0 10 1 0 лет — это сумма геометрической прогрессии.

Сумму геометрической прогрессии со знаменателем q ≠ 1 q\neq 1 q ≠ 1 можно найти по формуле:

Доказать эту формулу несколько сложнее, чем формулу суммы арифметической прогрессии. Тем не менее полезно познакомиться с ее доказательством.

Докажем утверждение по индукции.

Метод математической индукции позволяет доказывать и значительно более сложные утверждения.

Решите задачу с помощью этой формулы:

Дисконтированный денежный поток (дополнительно)

Еще одно важное применение геометрической прогрессии в финансах — расчет суммы приведенных (дисконтированных) денежных потоков. Если вы усвоите этот принцип, вам будет понятно, как финансисты рассчитывают справедливую стоимость актива (не важно, какого: акции, слитка золота, выданного кредита или даже коровы, которая дает молоко).

Мы называем денежным потоком любую сумму денег, которую получает (или планирует получить) человек или фирма в определенный период времени (например, в течение 2 0 1 5 2015 2 0 1 5 года). Будем называть человека, который ожидает получить денежный поток, инвестором.

Конечно же, прямо сейчас! Даже если вам не на что тратить эти деньги прямо сейчас, вы можете положить их в банк под процент и через год получить уже больше, чем 1 0 0 0 1000 1 0 0 0 рублей. Например, если банк принимает депозиты под 1 0 % 10\% 1 0 % годовых, через год у вас будет 1 1 0 0 1100 1 1 0 0 рублей.

Рассмотрим еще один пример:

Бесконечная геометрическая прогрессия

Если бы рудник из предыдущей задачи приносил деньги вечно, то мы бы получили бесконечную геометрическую прогрессию . Сумма бесконечной геометрической прогрессии будет конечной, если каждый следующий член меньше предыдущего, то есть знаменатель прогрессии по модулю меньше 1 1 1 .

Получается, что дисконтированный денежный поток от “вечного» рудника составит D 1 + d ⋅ 1 1 − 1 1 + d = D 1 + d ⋅ 1 + d d = D d . \frac<1+d>\cdot \frac<1><1-\frac<1> <1+d>>=\frac<1+d>\cdot \frac<1+d>=\frac. 1 + d D ​ ⋅ 1 − 1 + d 1 ​ 1 ​ = 1 + d D ​ ⋅ d 1 + d ​ = d D ​ .

Чему будет равен дисконтированный денежный поток, если в условиях предыдущей задачи ежегодный доход равен 1 0 0 100 1 0 0 млн. рублей в год, а ставка дисконтирования равна 1 0 % 10\% 1 0 % ?

Заключение

Задачи с арифметическими и геометрическими прогрессиями часто встречаются на практике. Если в условии говорится об увеличении на одну и ту же величину, то речь идет об арифметической прогрессии. Если же происходит увеличение в одно и то же число раз, либо на одно и то же число процентов, то речь идет о геометрической прогрессии.

Следующие формулы позволяют решить практически любую задачу на прогрессии:

Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется числовая последовательность задаваемая двумя параметрами b, q (q ≠ 0) и законом , ,

Число называют знаменателем данной геометрической прогрессии.

  • Если q > 0 все члены геометрической прогрессии имеют один и тот же знак, совпадающий со знаком числа b.
  • Если q Пример 1.

Задана геометрическая прогрессия 2,6,18. Найти десятый член прогрессии и сумму её двенадцати первых членов.

Прогрессии и числовые последовательности в Excel

Изучим как сделать арифметическую и геометрическую прогрессии в Excel, а также в общем случае рассмотрим способы создания числовых последовательностей.

Перед построением последовательностей и различных прогрессий, как обычно, вспомним их детальные определения.
Числовая последовательность — это упорядоченный набор произвольных чисел a1, a2, a3, …, an, … .
Арифметической прогрессией называется такая числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением постоянной величины d (также называют шагом или разностью):

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в котором каждый член, начиная со второго, получается умножением предыдущего члена на ненулевое число q (также называют знаменателем):

С определениями закончили, теперь самое время перейти от теории к практике.

Арифметическая прогрессия в Excel

Рассмотрим 2 способа задания прогрессии в Excel — с помощью стандартного инструмента Прогрессия и через формулы.
В первом случае на панели вкладок выбираем Главная -> Редактирование -> Заполнить -> Прогрессия:

Далее мы увидим диалоговое окно с настройками параметров:

В данных настройках мы можем выбрать дополнительные параметры, которые позволят нам более детально настроить и заполнить прогрессию в Excel:

  • Расположение — расположение заполнения (по столбцам или строкам);
  • Тип — тип (арифметическая, геометрическая, даты и автозаполнение);
  • Единицы — вид данных (при выборе даты в качестве типа);
  • Шаг — шаг (для арифметической) или знаменатель (для геометрической);
  • Автоматическое определение шага — автоматическое определение шага, если заданы несколько значений последовательности;
  • Предельное значение — ограничение по значению последнего элемента последовательности.

Разберем как сделать арифметическую прогрессию в Excel на конкретном примере.

Создадим набор чисел 3, 7, 11, … , то есть первый элемент равняется 3, а шаг равен 4.
Выделяем диапазон (к примеру, A1:J1) в котором мы хотим разместить набор чисел (диапазон можно и не выделять, однако в этом случае в настройках будет необходимо указать предельное значение), где в первой ячейке будет указан первый элемент (в нашем примере это 3 в ячейке A1), и указываем параметры (расположение, тип, шаг и т.д.):

В результате мы получим заполненный диапазон с заданным набором чисел:

Аналогичный результат можно получить и при задании элементов с помощью формул.
Для этого также задаем начальный элемент в первой ячейке, а в последующих ячейках указываем рекуррентную формулу члена арифметической прогрессии (то есть текущий член получается как сумма предыдущего и шага):

Геометрическая прогрессия в Excel

Принцип построения геометрической прогрессии в Excel аналогичен разобранному выше построению арифметической.
Единственное отличие — в настройках характеристик указываем в качестве типа геометрическую прогрессию.

Например, создадим набор чисел 4, 8, 16, … , то есть первое число равно 4, а каждое последующее в 2 раза больше предыдущего.
Также задаем начальный элемент (4 в ячейке A1), выделяем диапазон данных (например, A1:J1) и указываем параметры:

В итоге получаем:

Идентичного результата также можно добиться и через использование формул:

Числовая последовательность в Excel

Арифметическая и геометрическая прогрессии являются частными случаями числовой последовательности, в общем же случае ее можно создать, как минимум, тремя способами:

  • Непосредственное (прямое) перечисление элементов;
  • Через общую формулу n-го члена;
  • С помощью рекуррентного соотношения, которое выражает произвольный член через предыдущие.

Первый способ подразумевает под собой ручной ввод значений в ячейки. Удобный вариант при вводе небольшого количества значений, в обратном же случае данный способ достаточно трудозатратный.
Второй и третий способы более универсальны, так как позволяют автоматически посчитать значения членов с помощью формул, что удобно при большом количестве элементов.
Поэтому поподробнее остановимся на построении последовательностей данными способами.

Рассмотрим создание числовой последовательности на примере построения обратных чисел к натуральным, то есть набора чисел 1, 1/2, 1/3, … , в котором общая формула n-го члена принимает вид Fn=1/n.
Создадим дополнительный ряд в отдельной строчке, куда для удобства расчета поместим порядковые номера (1, 2, 3 и т.д.), на которые будут ссылаться формулы:

В варианте с рекуррентной формулой рассмотрим пример с набором чисел Фибоначчи, в котором первые два числа равны 1 и 1, а каждый последующее число равно сумме двух предыдущих.
В итоге произвольный член можно представить в виде рекуррентного соотношения Fn = Fn-1 + Fn-2 при n > 2.
Определяем начальные элементы (две единицы) в двух ячейках, а остальные задаем с помощью формулы:

Формулы прогрессий

Формулы арифметических прогрессий

Число называется разностью арифметической прогрессии. Любой член арифметической прогрессии (если известен ее первый член и разность) вычисляется следующим образом:

Сумму первых членов арифметической прогрессии можно посчитать, используя формулы:

или, если известны первый член и разность прогрессии,

Формулы геометрических прогрессий

Зная первый член и знаменатель геометрической прогрессии любой ее член можно вычислить по формуле:

Если последовательность чисел является геометрической прогрессией, то для любого ее члена выполняется равенство

Сумму первых членов геометрической прогрессии можно посчитать, используя формулу:

Если знаменатель прогрессии , то такая прогрессия называется бесконечной убывающей геометрической прогрессией и ее сумма вычисляется по формуле

Примеры решения задач

Задание Межу числами и 11 записать пять чисел так, чтобы они вместе с данными числами образовывали арифметическую прогрессию.
Решение Искомая прогрессия будет состоять из семи членов, для которых .

Найдем разность прогрессии из формулы для седьмого члена:

Теперь можно записать остальные члены прогрессии:

Ответ
Задание Дана геометрическая прогрессия . Найти номер члена прогрессии, который равен
Решение Из условия задачи известно, что . Найдем знаменатель этой прогрессии:

Найдем номер члена прогрессии, равного , записав его с помощью формулы n-го члена:

umath.ru

Изучаем математику вместе!

Геометрическая прогрессия

Содержание

Определение геометрической прогрессии

То есть геометрическая прогрессия определяется рекуррентным соотношением

Примеры геометрических прогрессий.

  1. Последовательность — геометрическая прогрессия со знаменателем
  2. Последовательность — геометрическая прогрессия со знаменателем
  3. Последовательность — геометрическая прогрессия со знаменателем

Теорема 1. Пусть — геометрическая прогрессия со знаменателем Тогда для всех натуральных справедлива формула

Доказательство. Воспользуемся рекуррентным определением геометрической прогрессии:

Итак, для n-го члена геометрической прогрессии справедлива формула

Теорема 2. Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов:

Доказательство. Из определения геометрической прогрессии

Обратное утверждение тоже верно. Если для всех членов последовательности начиная со второго, выполняется равенство то эта последовательность — геометрическая прогрессия.

Пример 1. Сумма первого и третьего членов геометрической прогрессии равна 10, а сумма второго и четвёртого членов — 30. Найдём первый член и знаменатель прогрессии.

Решение. По условию

Выразим члены геометрической прогрессии через и : Тогда система запишется в виде

Разделив второе уравнение системы на первое, получим Следовательно,

Сумма первых n членов геометрической прогрессии

Вычислим сумму первых n членов геометрической прогрессии знаменатель которой :

Умножим это равенство на :

Вычтем из равенства (2) равенство (1), и приведя подобные члены, получим Отсюда, так как имеем

Так как то формулу (3) можно переписать в виде

Пример 2. Считается, что шахматы были изобретены в V в. н. э. в Индии. По легенде, когда создатель шахмат показал своё изобретение правителю страны, тому настолько понравилась игра, что он решил щедро отблагодарить её создателя, позволив мудрецу самостоятельно выбрать награду.

Мудрец попросил короля за первую клетку шахматной доски дать ему одно зерно пшеницы, за вторую — два, за третью — четыре, и так далее, удваивая количество зёрен за каждую клетку. Правитель рассмеялся, услышав столь ничтожную на первый взгляд просьбу, и, быстро согласившись, повелел своим казначеям подсчитать и выдать нужное количество зерна. Однако спустя неделю зерно всё ещё не было подсчитано. Интересно, в чём же причина такой задержки?

Давайте подсчитаем величину награды, то есть найдём сумму геометрической прогрессии

По формуле (3) получаем

Именно столько зёрен должен был выдать король. Это примерно 1200 триллионов тонн или 1500 куб. км. пшеницы, что эквивалентно амбару размерами 10х10х15 км. Для справки, это примерно в 1800 раз больше всего урожая пшеницы 2009 года.

Примерно такие расчёты и показали королю, когда тот поинтересовался, почему зерно всё ещё не выдано.

Наверное, вы спросите, чем же всё закончилось. Легенда гласит, что король «не остался в долгу» перед хитрым изобретателем, и, выдав ему пшеницу (конечно, намного меньше), предложил тому пересчитать каждое зёрнышко, чтобы не было сомнений в том, что он честно с ним расплатился.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Рассмотрим геометрическую прогрессию Если её знаменатель то эта последовательность называется бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогресcии выражается формулой

Пример 3. Найдём сумму

Решение. — сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем По формуле (5) получаем

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России) +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Обучающее видео
БЕСПЛАТНО

Техническая поддержка:
help@ege-study.ru (круглосуточно)

Закажите звонок и получите скидку -50% на первый месяц занятий!

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Все поля обязательны для заполнения

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса — от 3,5 до 4,5 часов.

  1. Уравнения (задача 13)
  2. Стереометрия (задача 14)
  3. Неравенства (задача 15)
  4. Геометрия (задача 16)
  5. Финансовая математика (задача 17)
  6. Параметры (задача 18)
  7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения. Автор видеокурса Премиум — репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2020.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля — до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги — 2020» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

Как пользоваться?

  1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
  2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
  3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
  4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
  5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2020» — всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.

math4school.ru

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Числовые последовательности (основные понятия)

Если каждому натуральному числу n поставить в соответствие действительное число an , то говорят, что задано числовую последовательность :

Итак, числовая последовательность — функция натурального аргумента.

Число a1 называют первым членом последовательности , число a2вторым членом последовательности , число a3третьим и так далее. Число an называют n-м членом последовательности , а натуральное число nего номером .

Чтобы задать последовательность, нужно указать способ, позволяющий найти член последовательности с любым номером.

Часто последовательность задают с помощью формулы n-го члена , то есть формулы, которая позволяет определить член последовательности по его номеру.

последовательность положительных нечётных чисел можно задать формулой

а последовательность чередующихся 1 и –1 — формулой

Последовательность можно определить рекуррентной формулой, то есть формулой, которая выражает любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие (один или несколько) члены.

если a1 = 1 , а an+1 = an + 5 , то первые пять членов последовательности находим следующим образом:

Последовательности могут быть конечными и бесконечными .

Последовательность называется конечной , если она имеет конечное число членов. Последовательность называется бесконечной , если она имеет бесконечно много членов.

последовательность двузначных натуральных чисел:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

Последовательность простых чисел:

Последовательность называют возрастающей , если каждый её член, начиная со второго, больше чем предыдущий.

Последовательность называют убывающей , если каждый её член, начиная со второго, меньше чем предыдущий.

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — возрастающая последовательность;

Последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают, называется монотонной последовательностью .

Монотонными последовательностями, в частности, являются возрастающие последовательности и убывающие последовательности.

Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, к которому прибавляется одно и то же число.

является арифметической прогрессией, если для любого натурального числа n выполняется условие:

где d — некоторое число.

Таким образом, разность между последующим и предыдущим членами данной арифметической прогрессии всегда постоянна:

Число d называют разностью арифметической прогрессии .

Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать её первый член и разность.

если a1 = 3, d = 4 , то первые пять членов последовательности находим следующим образом:

Для арифметической прогрессии с первым членом a1 и разностью d её n -й член может быть найден по формуле:

найдём тридцатый член арифметической прогрессии

an = an–1 + an+1
2

каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.

Так как верно и обратное утверждение, то имеет место следующее утверждение:

числа a, b и c являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии тогда и только тогда, когда одно из них равно среднему арифметическому двух других.

докажем, что последовательность, которая задаётся формулой an = 2n – 7 , является арифметической прогрессией.

Воспользуемся приведённым выше утверждением. Имеем:

an+1 + an–1 = 2n – 5 + 2n – 9 = 2n – 7 = an,
2 2

что и доказывает нужное утверждение. ◄

Отметим, что n -й член арифметической прогрессии можно найти не толь через a1 , но и любой предыдущий ak , для чего достаточно воспользоваться формулой

an = a n–k + a n+k
2

любой член арифметической прогрессии, начиная со второго равен полусумме равноотстоящих от него членов этой арифметической прогрессии.

Кроме того, для любой арифметической прогрессии справедливо равенство:

в арифметической прогрессии 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

первых n членов арифметической прогрессии равна произведению полусуммы крайних слагаемых на число слагаемых:

Sn = a1 + an · n .
2

Отсюда, в частности, следует, что если нужно просуммировать члены

то предыдущая формула сохраняет свою структуру:

Sn – Sk–1 = ak + ak+1 + . . . + an = ak + an · (nk + 1) .
2

в арифметической прогрессии 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

Если дана арифметическая прогрессия, то величины a1, an, d, n и S n связаны двумя формулами:

an = a1 + (n – 1)d и Sn = a1 + an · n .
2

Поэтому, если значения трёх из этих величин даны, то соответствующие им значения двух остальных величин определяются из этих формул, объединённых в систему двух уравнений с двумя неизвестными.

Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью. При этом:

  • если d > 0 , то она является возрастающей;
  • если d , то она является убывающей;
  • если d = 0 , то последовательность будет стационарной.

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.

является геометрической прогрессией, если для любого натурального числа n выполняется условие:

где q ≠ 0 — некоторое число.

Таким образом, отношение последующего члена данной геометрической прогрессии к предыдущему есть число постоянное:

Число q называют знаменателем геометрической прогрессии .

Чтобы задать геометрическую прогрессию, достаточно указать её первый член и знаменатель.

если b1 = 1, q = –3 , то первые пять членов последовательности находим следующим образом:

Для геометрической прогрессии с первым членом b1 и знаменателем q её n -й член может быть найден по формуле:

найдём седьмой член геометрической прогрессии 1, 2, 4, . . .

каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому (пропорциональному) предшествующего и последующего членов.

Так как верно и обратное утверждение, то имеет место следующее утверждение:

числа a, b и c являются последовательными членами некоторой геометрической прогрессии тогда и только тогда, когда квадрат одного из них равен произведению двух других, то есть одно из чисел является средним геометрическим двух других.

докажем, что последовательность, которая задаётся формулой bn = –3 · 2 n , является геометрической прогрессией. Воспользуемся приведённым выше утверждением. Имеем:

что и доказывает нужное утверждение. ◄

Отметим, что n -й член геометрической прогрессии можно найти не только через b1 , но и любой предыдущий член bk , для чего достаточно воспользоваться формулой

квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго равен произведению равноотстоящих от него членов этой прогрессии.

Кроме того, для любой геометрической прогрессии справедливо равенство:

в геометрической прогрессии 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

первых n членов геометрической прогрессии со знаменателем q ≠ 0 вычисляется по формуле:

Sn = b1 · 1 – q n .
1 – q

А при q = 1 — по формуле

Заметим, что если нужно просуммировать члены

то используется формула:

Sn Sk–1 = bk + bk+1 + . . . + bn = bk · 1 – q n k +1 .
1 – q

в геометрической прогрессии 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 – 2 10 ) / (1 – 2) = 1023;

Если дана геометрическая прогрессия, то величины b1, bn, q, n и Sn связаны двумя формулами:

bn = b1 · q n –1 и Sn = b1 · 1 – q n .
1 – q

Поэтому, если значения каких-либо трёх из этих величин даны, то соответствующие им значения двух остальных величин определяются из этих формул, объединённых в систему двух уравнений с двумя неизвестными.

Для геометрической прогрессии с первым членом b1 и знаменателем q имеют место следующие свойства монотонности :

  • прогрессия является возрастающей, если выполнено одно из следующих условий:
  • прогрессия является убывающей, если выполнено одно из следующих условий:

Если q , то геометрическая прогрессия является знакопеременной: её члены с нечётными номерами имеют тот же знак, что и её первый член, а члены с чётными номерами — противоположный ему знак. Ясно, что знакопеременная геометрическая прогрессия не является монотонной.

Произведение первых n членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле:

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Бесконечно убывающей геометрической прогрессией называют бесконечную геометрическую прогрессию, модуль знаменателя которой меньше 1 , то есть

Заметим, что бесконечно убывающая геометрическая прогрессия может не быть убывающей последовательностью. Это соответствует случаю

При таком знаменателе последовательность знакопеременная. Например,

Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называют число, к которому неограниченно приближается сумма первых n членов прогрессии при неограниченном возрастании числа n . Это число всегда конечно и выражается формулой

S = b1 + b2 + b3 + . . . = b1 .
1 – q

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 – 0,1) = 11 1 /9 ,

10 – 1 + 0,1 – 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 /11 . ◄

Связь арифметической и геометрической прогрессий

Арифметическая и геометрическая прогрессии тесно связаны между собой. Рассмотрим лишь два примера.

1, 3, 5, . . . — арифметическая прогрессия с разностью 2 и

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . — геометрическая прогрессия с знаменателем 7 2 . ◄

2, 12, 72, . . . — геометрическая прогрессия с знаменателем 6 и

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — арифметическая прогрессия с разностью lg 6 . ◄

Геометрическая прогрессия для Форекса

Теоретические сведения

Арифметическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

Арифметической прогрессией an называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом d (d — разность прогрессий)

Геометрической прогрессией bn называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и тоже число q (q — знаменатель прогрессии)

Формула n-ого члена

Характеристическое свойство Сумма n-первых членов

В арифметической прогрессии ( an ) a1 = -6, a2 = -8. Найдите двадцать второй член прогрессии.

По формуле n-ого члена:

Необходимо найти разность прогрессий:

Найдите пятый член геометрической прогрессии: -3; 6;.

1-й способ (с помощью формулы n -члена)

По формуле n-ого члена геометрической прогрессии:

2-й способ (с помощью рекуррентной формулы)

Так как знаменатель прогрессии равен -2 ( q = -2), то:

В арифметической прогрессии ( an ) a74 = 34; a76 = 156. Найдите семьдесят пятый член этой прогрессии.

Для арифметической прогрессии характеристическое свойство имеет вид .

Из этого следует:

Подставим данные в формулу:

В арифметической прогрессии ( an ) an = 3 n — 4. Найдите сумму семнадцати первых членов.

Для нахождения суммы n-первых членов арифметической прогрессии используют две формулы:

Какую из них в данном случае удобнее применять?

По условию известна формула n-ого члена исходной прогрессии ( an ) an = 3 n — 4. Можно найти сразу и a1 , и a16 без нахождения d . Поэтому воспользуемся первой формулой.

В арифметической прогрессии( an ) a1 = -6; a2 = -8. Найдите двадцать второй член прогрессии.

По формуле n-ого члена:

По условию, если a1 = -6, то a22 = -6 + 21 d . Необходимо найти разность прогрессий:

Записаны несколько последовательных членов геометрической прогрессии:

Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x .

При решении воспользуемся формулой n-го члена bn = b1 ∙ q n — 1 для геометрических прогрессий. Первый член прогрессии. Чтобы найти знаменатель прогрессии q необходимо взять любой из данных членов прогрессии и разделить на предыдущий. В нашем примере можно взять и разделить на. Получим, что q = 3. Вместо n в формулу подставим 3, так как необходимо найти третий член, заданной геометрической прогрессии.

Подставив найденные значения в формулу, получим:

Из арифметических прогрессий, заданных формулой n-го члена, выберите ту, для которой выполняется условие a27 > 9:

Так как заданное условие должно выполняться для 27-го члена прогрессии, подставим 27 вместо n в каждую из четырех прогрессий. В 4-й прогрессии получим:

В арифметической прогрессии a1 = 3, d = -1,5. Укажите наибольшее значение n , для которого выполняется неравенство an > -6.

Воспользуемся формулой n-го члена.

Подставим данные в условии значения в формулу:

n Ответ : Наибольшее значение n = 6.

В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 108, а третьего и четвертого — 168,75. Найдите первых три члена прогрессии.

Составим систему уравнений:

Подставим b1 во второе уравнение:

Произведение первого и пятого членов геометрической прогрессии равно 4, а частное от деления пятого члена на седьмой равно 9. Найдите четвертый член этой прогрессии.

Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия это такая последовательность чисел, в которой отношение между последующим и предыдущим членами прогрессии остается неизменным. Это неизменное отношение называется знаменателем прогрессии.

Возрастающая геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия называется возрастающей, когда абсолютная величина ее знаменателя больше единицы.

Убывающая геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия называется убывающей, когда абсолютная величина ее знаменателя меньше единицы.

Замечание Геометрическая прогрессия Знаменатель прогрессии может быть и отрицательным числом, но прогрессии с отрицательным знаменателем практического значения не имеют.

Любой член Геометрической прогрессии можно вычислить по формуле:

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называют числовую последовательность, каждый следующий член которой получается из предыдущего умножением его на постоянное число, не равное нулю.

Это число называют знаменателем геометрической прогрессии и обозначают буквой \(q\).

Например, последовательность \(3\); \(6\); \(12\); \(24\); \(48\)… является геометрической прогрессией, потому что каждый следующий элемент отличается от предыдущего в два раза (иначе говоря, может быть получен из предыдущего умножением его на два):

Как и любую последовательность, геометрическую прогрессию обозначают маленькой латинской буквой. Числа, образующие прогрессию, называют ее членами (или элементами). Их обозначают той же буквой, что и геометрическую прогрессию, но с числовым индексом, равным номеру элемента по порядку.

Например, геометрическая прогрессия \(b_n = \<3; 6; 12; 24; 48…\>\) состоит из элементов \(b_1=3\); \(b_2=6\); \(b_3=12\) и так далее. Иными словами:

порядковый номер элемента

Если вы поняли вышеизложенную информацию, то уже сможете решить большинство задач на эту тему.

Пример (ОГЭ): Геометрическая прогрессия задана условиями \(b_1=-2\); \(q=7\). Найдите \(b_4\).
Решение:

Зная первый член и знаменатель, последовательно вычисляем элементы, пока не дойдем до нужного.

Можно писать ответ.

Пример (ОГЭ): Даны первые три члена прогрессии \(324\); \(-108\); \(36\)…. Найдите \(b_5\).
Решение:

Чтобы продолжить последовательность, нам нужно знать знаменатель. Найдем его из двух соседних элементов: на что нужно умножить \(324\), чтоб получилось \(-108\)?

Отсюда без проблем вычисляем знаменатель.

Теперь мы легко находим нужный нам элемент.

Пример: Прогрессия задана условием \(b_n=0,8·5^n\). Какое из чисел является членом этой прогрессии:

Решение: Из формулировки задания очевидно, что одно из этих чисел точно есть в нашей прогрессии. Поэтому мы можем просто вычислять ее члены по очереди, пока не найдем нужное нам значение. Так как у нас прогрессия задана формулой n-го члена , то вычисляем значения элементов, подставляя разные \(n\):
\(n=1\); \(b_1=0,8·5^1=0,8·5=4\) – такого числа в списке нет. Продолжаем.
\(n=2\); \(b_2=0,8·5^2=0,8·25=20\) – и этого тоже нет.
\(n=3\); \(b_3=0,8·5^3=0,8·125=100\) – а вот и наш чемпион!

Пример (ОГЭ): Даны несколько идущих последовательно друг за другом членов геометрической прогрессии …\(8\); \(x\); \(50\); \(-125\)…. Найдите значение элемента, обозначенного буквой \(x\).

Найти \(x\), можно, например, умножив \(8\) на знаменатель прогрессии. Однако мы его не знаем, поэтому сначала найдем знаменатель из двух известных соседних членов.

Теперь вычисляем икс, умножая \(8\) на \(-2,5\).

Пример (ОГЭ): Прогрессия задана условиями \(b_1=7\), \(b_=2b_n\). Найдите сумму первых \(4\) членов этой прогрессии.

Мы знаем первый элемент и имеем рекуррентное соотношение — формулу для вычисления следующего элемента по предыдущему.
Вот и найдем необходимые нам первые \(4\) элемента, подставляя разные \(n\).

Теперь найдем сумму.

Пример (ОГЭ): Известно, что в геометрической прогрессии \(b_6=-11\), \(b_9=704\). Найдите знаменатель \(q\).

Из схемы слева видно, что чтобы «попасть» из \(b_6\) в \(b_9\) – мы делаем три «шага», то есть три раза умножаем \(b_6\) на знаменатель прогрессии. Иными словами \(b_9=b_6·q·q·q=b_6·q^3\).

Подставим известные нам значения.

«Перевернем» уравнение и разделим его на \((-11)\).

Какое число в кубе даст \(-64\)?
Конечно, \(-4\)!

Ответ найден. Его можно проверить, восстановив цепочку чисел от \(-11\) до \(704\).

Все сошлось — ответ верен.

Важнейшие формулы

Как видите, большинство задач на геометрическую прогрессию можно решать чистой логикой, просто понимая суть (это вообще характерно для математики). Но иногда знание некоторых формул и закономерностей ускоряет и существенно облегчает решение. Мы изучим две такие формулы.

Формула \(n\)-го члена: \(b_n=b_1·q^\), где \(b_1\) – первый член прогрессии; \(n\) – номер искомого элемента; \(q\) – знаменатель прогрессии; \(b_n\) – член прогрессии с номером \(n\).

С помощью этой формулы можно, например, решить задачу из самого первого примера буквально в одно действие.

Пример (ОГЭ): Геометрическая прогрессия задана условиями \(b_1=-2\); \(q=7\). Найдите \(b_4\).
Решение:

Нам нужен четвертый член, вот и вычисляем его сразу, напрямую, не находя всех промежуточных.

Этот пример был простым, поэтому формула нам облегчила вычисления не слишком сильно. Давайте разберем задачку чуть посложнее.

Пример: Геометрическая прогрессия задана условиями \(b_1=20480\); \(q=\frac<1><2>\). Найдите \(b_<12>\).
Решение:

Действуем как в предыдущей задаче.

Конечно, возводить \(\frac<1><2>\) в \(11\)-ую степень не слишком радостно, но всё же проще чем \(11\) раз делить \(20480\) на два.

Сумма \(n\) первых членов: \(S_n=\) \( \frac\) , где \(b_1\) – первый член прогрессии; \(n\) – количество суммируемых элементов; \(q\) – знаменатель прогрессии; \(S_n\) – сумма \(n\) первых членов прогрессии.

Пример (ОГЭ): Дана геометрическая прогрессия \(b_n\), знаменатель которой равен \(5\), а первый член \(b_1=\frac<2><5>\). Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии.
Решение:

Все данные есть, сразу вычисляем ответ.

И вновь мы могли решить задачу «в лоб» – найти по очереди все шесть элементов, а затем сложить результаты. Однако количество вычислений, а значит и шанс случайной ошибки, резко возросли бы.

Для геометрической прогрессии есть еще несколько формул, которые мы не стали рассматривать тут из-за их низкой практической пользы. Вы можете найти эти формулы здесь .

Возрастающие и убывающие геометрические прогрессии

У рассмотренной в самом начале статьи прогрессии \(b_n = \<3; 6; 12; 24; 48…\>\) знаменатель \(q\) больше единицы и поэтому каждый следующий член больше предыдущего. Такие прогрессии называются возрастающими.

Если же \(q\) меньше единицы, но при этом положителен (то есть, лежит в пределах от нуля до единицы), то каждый следующий элемент будет меньше чем предыдущий. Например, в прогрессии \(4\); \(2\); \(1\); \(0,5\); \(0,25\)… знаменатель \(q\) равен \(\frac<1><2>\).

Эти прогрессии называются убывающими. Обратите внимание, что ни один из элементов такой прогрессии не будет отрицателен, они просто становятся всё меньше и меньше с каждым шагом. То есть, мы будем постепенно приближаться к нулю, но никогда его не достигнем и за него не перейдем. Математики в таких случаях говорят «стремиться к нулю».

Отметим, что при отрицательном знаменателе элементы геометрической прогрессии будут обязательно менять знак. Например, у прогрессии \(5\); \(-15\); \(45\); \(-135\); \(675\)… знаменатель \(q\) равен \(-3\), и из-за этого знаки элементов «мигают».

Арифметическая и геометрическая прогрессия формулы.

Арифметическая прогрессия- последовательность чисел, в который каждый член прогрессии получается путем прибавления к нему разности d.
Формула n-го члена арифметической прогрессии и формула суммы арифметической прогрессии.

Пример решения.
Пусть дана арифметическая прогрессия
1 3 5 7 …
Найти ее разность (d) и 8 член прогрессии (a8)

Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия- последовательность чисел, в которой каждый член прогрессии получается путем умножения его на знаменатель геометрической прогрессии q.
Формула n-го члена геометрической прогрессии и формула суммы геометрической прогрессии.

Если у вас возникли вопросы задавайте их в нашей группе Вконтакте.
Перейти к формулам.

Видео-курсы ЕГЭ и ОГЭ 2020 ❗

Платные курсы ЕГЭ 2020

Бесплатные видео-курсы ЕГЭ

Платные курсы ОГЭ 2020

Бесплатные курсы ОГЭ 2020

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Прогрессия как способ игры в букмекерских конторах

На прогрессии строится достаточно много стратегий для игры в букмекерской конторе. Эта тактика предполагает динамичное увеличение ставки в случае проигрыша. Частным случаем игры с прогрессивным увеличением является система Мартингейла.

Типстеру предлагается удваивать сумму, если предыдущий прогноз не оправдался. Как только достигается положительный баланс, следует вернуться к первоначальной ставке. Метод Мартигейла ориентирован на события с 50% вероятностью. Изначально он был разработан для игры в рулетку (красное/черное).

В спортивном беттинге прогрессию можно усовершенствовать. Идеально такой вид игры подходит для ставок на ничью в футболе и хоккее с шайбой. На подобные исходы котировки колеблются в пределах 3,2-4,2.

Для игры по прогрессии необходимо выбрать команду и провести тщательный анализ. Желательно, чтобы чемпионат отличался тягучестью и наличием большого количества упорных игр. Эти факторы обеспечиваются широкой прослойкой середняков. Фавориты или явные андердоги достаточно редко играют вничью.

Выбрав коллектив с подходящей статистикой, каппер делает первую ставку. Например, за юнит (первоначальная ставка) выбрано 10 денежных единиц. Если прогноз не оправдывается, то необходимо удвоить ставку на ничью в следующем матче. Такие удвоения происходят до той поры, пока выбранная команда не распишет с соперником мировую. Например, четыре раза подряд ставка не сыграла. Потери составили 150 денежных единиц (10+20+40+80). Следующая ставка равна 160. Если она выигрывает, то выплата при коэффициенте 3,2 составит 512. Чистая прибыль — 362.

Каждый игрок должен понимать, что прогрессия не является беспроигрышным вариантом. Для ее осуществления также понадобится солидный запас денег. Можно снизить риск потери всего банкролла, заранее ограничив количество неудачных ставок. Однако в этом случае теряется преимущество и некоторый смысл удвоения.

Какой бы ни был ряд проигрышей, вероятность исхода с коэффициентом 3,2 примерно равна 30%. Необходимо иметь железные нервы и большой кошелек, чтобы продолжать гнуть свою линию после затяжной серии неудач.

Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия – это последовательность чисел, каждое следующее из которых отличается от предыдущего в q раз, где q называют иначе знаменателем геометрической прогрессии.
bn=bn-1×q

Зная первый член геометрической прогрессии и ее знаменатель, можно также найти любой другой член прогрессии, умножив первый член на знаменатель в степень n-1 .
bn=b1×q n-1

Любая геометрическая прогрессия является бесконечной, но если взять заданное количество ее членов, то можно найти сумму геометрической прогрессии. Для этого необходимо умножить первый член геометрической прогрессии на разности единицы и знаменателя прогрессии в степени, равной по значению количеству членов, и разделить на простую разность единицы и знаменателя.

Если знаменатель геометрической прогрессии находится в промежутке от -1 до 1 , то каждый следующий член прогрессии будет меньше предыдущего. Такая геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, и она будет стремиться к конкретному числовому значению. Зная первый член прогрессии и знаменатель, можно найти сумму убывающей геометрической прогрессии, которая представлена приблизительным числом (числом, к которому эта сумма стремится).

Лучшие брокеры с бонусами:
  • FinMax (Форекс)
    FinMax (Форекс)

    Инвестируй в акции торговых компаний и получай до 40% в месяц!

  • BINARIUM
    ☆☆☆☆☆
    ★★★★★
    BINARIUM

    Лучший брокер по бинарным опционам. Огромный раздел по обучению.

Добавить комментарий