Торговая математика для Форекс

Рейтинг лучших брокеров для торговли акциями за 2020 год:
  • FinMax (Форекс)
    FinMax (Форекс)

    Лучший брокер Форекса! Удобная платформа и высокая прибыль до 40% в месяц!

  • BINARIUM
    ☆☆☆☆☆
    ★★★★★
    BINARIUM

    Лучший брокер по бинарным опционам. Огромный раздел по обучению.

В этой статье раскрыты следующие темы:

Математические стратегии Форекс

Известно, что для осуществления торговли валютами на рынке Форекс трейдеру необходимо располагать хотя бы одной или двумя прибыльными стратегиями на фондовом рынке. Имея свой метод торговли, опытный игрок способен не только к накоплению серьезных денежных средств, но и к распоряжению ими в рыночных пределах. К тому же, его капитал должен все время приумножаться.

Хотя, по убеждению специалистов неплохую возможность для стабильного заработка на спекулятивной торговле валютой может иметь как профессиональный игрок, так и каждый желающий, что имеет математические знания и понимание теории вероятности.

По мнению экспертов рынка сегодня, созданы математические стратегии Форекс, которые достаточно успешны и вправе соперничать со многими эффективными торговыми системами.

Математические стратегии Форекс

При изучении данных статистики по колебанию валютных пар и приурочивая результат к различным вариантам развития событий, а также к причинам, влияющим на величины колебаний, возможно, получение устойчивого к изменениям тренда, направление которого будет вполне объяснимо. Однако не следует забывать и о человеческом факторе, который не только нельзя предугадать, но и ожидать от него соответствия математическим выражениям. Однако когда строятся математические стратегии форекс, эти моменты подлежат обязательному рассмотрению.

Сегодня разработаны такие направления, которые их создатели считают беспроигрышными, куда входят сведения на основе факторов и вычислений считающихся основными:

  1. Объем депозита игрока;
  2. Временной горизонт;
  3. Типаж финансового актива;
  4. Настрой игрока по отношению к возможному убытку, прибыли и исключение возникновения жажды наживы, что может пагубно влиять на своевременное закрытие позиции.

Основной инструмент анализа: дисперсия и математическое ожидание для оценки риска

Для трейдеров на рынке Forex наиболее важными характеристиками распределения являются его математическое ожидание и дисперсия.

Математическое ожидание (среднее) серии торгов М легко рассчитать: просто складывайте все результаты торговли за исследуемый период и делите эту сумму на количество сделок. Если торговая система прибыльная, то математическое ожидание будет положительным. Если математическое ожидание отрицательное, система теряет в среднем.

Относительная крутизна или плоскостность кривой распределения определяется путем измерения разброса или дисперсии значений цен в области математического ожидания. Как правило, математическое ожидание для любого случайно распределенного значения описывается как М[X].

Таким образом, дисперсию можно определить как D(X) = М[(X-М(X)]^2. Квадратный корень дисперсии называется его стандартным отклонением (СКО) σ — средний разброс индивидуальных значений относительно среднего.

Лучшие брокеры без обмана
  • FinMax (Форекс)
    FinMax (Форекс)

    Огромный выбор торговых инструментов! Заработает каждый!

  • BINARIUM
    ☆☆☆☆☆
    ★★★★★
    BINARIUM

    Лучший брокер по бинарным опционам. Огромный раздел по обучению.

СКО можно самому легко рассчитать в Microsoft Excel, для этого есть функция СТАНДОТКЛОН.

Дисперсия и стандартное отклонение критически важны для управления рисками в торговых системах Форекс. Чем выше значение стандартного отклонения, тем выше будет потенциальная просадка и тем выше риск. Аналогичным образом, чем ниже значение для стандартного отклонения, тем ниже будет вероятность убыточности сделок.

Например, ниже приведена примерная оценка риска для проверки системы Форекс:

Торговый номер X (прибыль (+) или убыток (-))

В приведенном выше примере, основанном на минимальном количестве тридцати сделок для адекватного анализа, важно отметить, что математическое ожидание положительное и равно 7,993, поэтому стратегия форекс-торговли действительно выгодна в более чем 50% случаев.

Тем не менее, стандартное отклонение является высоким и равно 96,452, поэтому, чтобы заработать каждый доллар, трейдер рискует гораздо большей суммой — эта система несет значительный риск.

Таким образом, форекс-трейдер видит, что риск для этой конкретной системы довольно высок: математическое ожидание действительно положительное: средняя прибыль составляет 7,993 доллара за сделку, однако стандартное отклонение является высоким по сравнению с этой прибылью. Можно видеть, что трейдер рискует около $ 96,452 за каждую возможность заработать прибыль в размере $ 7,993. Этот риск может быть не приемлем.

Тестирование — половина успеха

Невзирая на пути попадания стратегии к трейдеру, будь это самостоятельная разработка или покупка уже готовой системы важно помнить о необходимости ее тестирования. Для этого, следует воспользоваться специальным тестом для подобных торговых систем, которые можно найти на специализированных ресурсах. Результатом успешного тестирования будет способность модели системы к выдаче достоверного результата и вычислению погрешности анализа.

В том случае, если показатель погрешности не будет превышать трехпроцентный порог (3%), направление может быть признано и поставлено в разряд достоверных систем. При больших показателях погрешности пользоваться таким планом не стоит.

Дело в том, что подобные планы, содержа в себе математическую основу, настоятельно рекомендуют применять фундаментальный анализ. Это объясняется его надежностью и наибольшей вероятностью получения точных сведений, которые необходимы для прогноза. Сочетать в себе данные виды прогнозирования и следовать точной с точки зрения теории вероятности торговой системе целесообразно при наличии большого депозита, который предусматривает возможность заключения долгосрочных и среднесрочных сделок.

С уважением, Дмитрий «Финансовая грамотность»

Математическая стратегия «Спецназ» – точно в цель!

Приветствуем подписчиков нашего Форекс портала! Не секрет, что существует две категории трейдеров, первые из которых пытаются заработать на Форекс путем проведения технического анализа, поиска ценовых паттернов и графических моделей, а вторые – ищут слабые места рынка, которые позволят им получать прибыль без специальных знаний. Сегодня мы поговорим именно об этой категории трейдеров. Зачем проводить сложный технический анализ, когда можно зайти в любой точке на графике и получить хорошую прибыль? Так появилась система Мартингейла, стратегии усреднения и сетки ордеров. Но все это уже уходит в прошлое. Появляются новые математические стратегии, основанные на поведении цены и статистике. Сейчас мы рассмотрим одну из таких стратегий, позволяющих зарабатывать независимо от направления цены.

Смотрите также наш независимый рейтинг брокеров.

Математическая стратегия «Спецназ»

Эта стратегия была разработана одним практикующим трейдером и выложена им на Форекс форуме. Мы не знаем, почему он назвал ее так необычно, но главное не в этом, а в том, что она реально работает. По заверениям ее создателя она приносит 70-80% прибыли в месяц. Внимание! В ней не используются стоп-лоссы, а просадка может быть весьма ощутимой, но благодаря высокой доходности на это можно закрыть глаза. Если торговля без стопов для вас неприемлема, то поищите другую торговую систему в нашем разделе Форекс стратегий. Итак, в чем суть математической стратегии «Спецназ»? В одно время открываются две сделки – на покупку и продажу. Тейк-профит для каждой из них выставляется на расстоянии 20 пунктов для четырехзнака (для пятизначных брокеров тейк-профит будет равен 200 пунктам), стоп-лосс не ставим. Как только сработает тейк-профит по одной из сделок, открываем еще одну позицию в том же направлении и с тем же тейк-профитом в 20 пунктов. Убыточную позицию не закрываем. И так делаем до конца дня. Утром следующего дня снова открываем два ордера по текущей цене – на покупку и продажу. При этом тейк-профит по убыточным позициям усредняем таким образом, чтобы при развороте рынка получить по каждой из них свои 20 пунктов прибыли. Для этого рассчитываем совокупный тейк-профит для убыточных позиций по следующей формуле:

(a + b + с) / h ± 20 пунктов,

где, a, b и c – цены открытия по убыточным сделкам;
h – количество убыточных сделок по одному направлению;
20 пунктов прибавляем для сделок Buy и отнимаем для сделок Sell.

Рассмотрим подробнее на примере. Допустим, в понедельник в 8 утра по Московскому времени вы открыли сделки на покупку и продажу по цене 1.3200. Через некоторое время сделка на Buy была закрыта по тейк-профиту 1.3220. Вы снова должны открыть сделку на покупку по цене 1.3220 с тейк-профитом 1.3240 и так далее до конца дня. То есть вы фиксируете прибыль через каждые 20 пунктов, при этом ваша заработанная прибыль компенсирует убытки по второй сделке на Sell. На следующий день также в 8 часов утра вы снова открываете две сделки на покупку и продажу по текущей цене, например, 1.3280. Для сделки на покупку вы выставляете стандартный тейк-профит 20 пунктов. А для двух имеющихся в наличии убыточных сделок на Sell вы выставляете усредненный тейк-профит, рассчитанный по формуле:

(1.3200 + 1.3280) / 2 – 0.002 = 1.3220.

Таким образом, для обеих убыточных позиций на продажу мы выставляем одинаковый тейк-профит, который позволит нам получить по 20 пунктов с каждой сделки. При этом для первой сделке будет зафиксирован убыток в размере 20 пунктов, а по второй сделке – прибыль 60 пунктов, что в итоге нам даст 40 пунктов прибыли за две сделки. Если этого не произойдет во вторник, то в среду мы снова открываем две новых сделки на покупку и продажу по текущей цене и пересчитываем тейк-профит уже для трех убыточных сделок. Суть данной стратегии состоит в том, что мы постоянно фиксируем прибыль по тем сделкам, которые идут в нашем направлении, а тейк-профит по убыточным сделкам каждый день подтягивается вслед за ценой, поэтому достаточно небольшого отката, чтобы просадка превратилась в прибыль.

Рассмотрим еще один реальный пример со скриншотом, которым поделился автор математической стратегии «Спецназ»:

Как мы видим на скриншоте (кстати, это реальный счет автора стратегии), в течение 10 дней было открыто 10 сделок на продажу, по сделке на каждый день. Если посчитать по нашей формуле, то мы получим следующий тейк-профит:

(1.0460 + 1.0600 + 1.0611 + 1.0645 + 1.0697 + 1.0678 + 1.0739 + 1.0752 + 1.0727 + 1.0757) / 10 – 0.002 = 1.0646.

Если вы посмотрите на колонку T / P, то увидите, что все 10 сделок на продажу имеют общий тейк-профит 1.0646. На следующем скриншоте видно, как отрабатываются сделки математической стратегии Форекс «Спецназ».

Особенности стратегии «Спецназ»

  • Стратегия оптимизирована под валютную пару EURUSD;
  • Таймфрейм не имеет значения, но удобнее торговать на H1;
  • Время начала торговли 08.00 по Московскому времени (плюс / минус час);
  • Время окончания торговли – конец Американской торговой сессии;
  • Риск на каждую сделку не должен превышать 1% от депозита;
  • Рекомендуемый объем лота – 0.01 на 1000$ (если у вас нет такой суммы, то можете открыть центовый счет );
  • В стратегии не предусмотрено увеличение объема сделок;
  • Во время выхода важных новостей (Non-Farm, изменения процентных ставок ФРС и ЕЦБ, пресс-конференции ФРС и ЕЦБ, выступления Йеллен и Драги, а также другие значимые экономические события) необходимо отменять тейк-профиты по меньшему количеству ордеров. Например, у вас открыто две сделки на Buy и восемь сделок на Sell, необходимо отменить только тейк-профиты по сделкам на покупку. Делается это для того, чтобы не произошел сильный разрыв между сделками на покупку и продажу. Через 30 минут после выхода новости можно активировать тейк-профиты или фиксировать имеющуюся прибыль и открывать новые сделки.

Советник по стратегии «Спецназ»

Трейдерами, торгующими по данной стратегии, был написан советник, который вы сможете скачать в конце обзора. Обращаем ваше внимание, что данный советник может быть еще достаточно сыроват, поэтому протестируйте его сначала на демо-счете. Сам автор стратегии торгует по ней вручную.

Выводы

Таким образом, математическая Форекс стратегия «Спецназ» позволяет брать прибыль независимо от направления цены. Главный ее недостаток заключается в том, что на безоткатных движениях может быть довольно большая просадка, но это встречается крайне редко. С другой стороны, высокая доходность 70-80% в месяц делает эту стратегию очень прибыльной, и можно достаточно быстро отбить первоначальные вложения. В любом случае протестируйте стратегию сначала на демо-счете, прежде чем переходить на реал. Прибыльной вам торговли!

Математические форекс стратегии

Основной особенностью математических методов является оттягивание момента расплаты с рынком во времени. По моим наблюдения могу сказать со ста процентной уверенность, рынок всегда забирает то, что отдал ранее, если ваш торговый интервал времени равен бесконечности. Мой личный опыт работы показал, что большинство тех, кто зарабатывает на форекс используют математические стратегии. Вы и сами можете в этом убедиться, если проанализируете мониторинги долгожителей в сервисах копирования. Длительность жизни таким системам обеспечивает их гибкость в вопросе управления капиталом и рисками. Рейтинги ПАММ счетов для анализа не рекомендую использовать, так как они принадлежат определенному брокеры и могут быть не объективными. Нет у меня доверия к брокерам.

Простым примером математической стратегии является классическое усреднение. В них используется расстановка по рынку консервативных объемов без каких-либо индикаторов. В основе такой системы лежит только рыночная цена или некоторая примитивная закономерность. Единственная цель такой работы сливать реже, чем удваивать депозит. Сразу вспоминается такой торговый робот, как «Илан». В нем использовалась некая периодически повторяющаяся простая закономерность. Именно по ней торговый советник и открывал позиции. В случае, если позиция не была закрыта по профиту, то к ней советник открывал следующий ордер на таком же сигнале. Риск в таком подходе определялся заданным значением. Проблема данного робота была в том, что риски и управленческий алгоритм не изменялся в случае изменения структуры рынка. Это примитивный алгоритм математических действий. Он не решал проблему изначального отрицательного математического ожидания в системе. Именно поэтому, в конечно итоге советник всегда давал больше убытка, чем прибыли

Следующим этапом эволюции становится подключение анализа средней дневной волатильности рынка и его амплитуды исторического движения. Данные дневной волатильности необходимы для определения расстояния на котором вы будете открывать дополнительный ордер. Добавочные ордера открываются в случае коррекции от основного движения. Так же данное расстояние поможет в определения значений, по которому будет закрываться прибыль, если рынок пойдет в вашу сторону. Амплитуда исторического движения валютной пары вам нужна для определения зон, откуда лучше торговать на покупку, а откуда на продажу. Рисуем на графике горизонтальные линии по максимуму и минимуму MN периода. Берем экстремумы за всю имеющуюся торговую историю. Делим данный диапазон на четыре равные части. На основе этих зон высчитывается ММ стратегии. Далее происходит дробление расчетного объема на части для повышения торговой динамики, чтоб не зависали надолго ордера в просадке. Зоны нужна для расстановки приоритета по направлению работы. Если мы находимся в середине диапазона, то объемы остаются первоначальными, как для покупки, так и для продажи. Если мы находимся в верхней части диапазона, то в приоритете продажи, так же и с покупками. Объемы увеличиваются и уменьшаются согласно приоритета по направлению.

Снова усложним процесс разработки математической стратегии. Следующим шагом будет определение в ней слабых мест. Под каждое слабое место разрабатывается элемент в целостной системе управления капиталом для защиты стратегии. Цель механизмов защиты, оттянуть момент наступления слива депозита на максимально длительный срок. До наступления этого момента мы должны получить прибыли гораздо больше, чем будущего убытка. Упор ставится на получение максимального количества пунктов. Логика простая, стратегия при прохождении рынка должна собирать больше пунктов в прибыль, чем пересиживать в просадках. Прибыль мы закрываем, а убыток проходим системой управления капиталом не фиксируя его. Важно понимать, что если вы ориентируетесь на большое количество пунктов, то объемы должны быть уменьшены соответствующим образом. В противном случае риски будут не оправданными.

Следующим шагом развития математической стратегии является минимизация расходной части. Так же мы поговорим о механизме определения точек входа и выхода. По минимизации расходов, в первую очередь необходимо найти хорошего брокера. Далее перейти работать в средне срок и долго срок. Для некоторых методов работы будет полезным переход на работу с таблицей, что лично я применяю для сокращения расходов по управлению капиталом с использованием инструмента локирования.

Что же касается точек входа и выхода в используемом алгоритме. Только циклический анализ кривой доходности баланса и средств в используемой стратегии поможет вам понять, где войти в рынок, а где выйти. Мы работаем на демо счету пока не появится расчетная просадка. Далее, с демо счета мы копируем все ордера на реальный счет и продолжаем работу уже на реальном счету. Торгуем до момента, пока демо счет не выйдет из просадки. После чего закрываем все ордера на реальном счету. Цикл считается завершенным.

При создании математической стратегии важно определиться с тем, что вы положите в её основу. Математическая стратегия должна опираться только на точные данные и факты. Никаких прогнозов, гаданий на кофейной гуще или звездах — только факты. В противном случае вы выстроите шаткую конструкцию, которая не даст вам никаких устойчивых результатов. Это могут быть числовые значения индикаторы, значения цен и так далее. Так можно применять временные значения. Например, действие делается только в момент закрытия свечи или по открытию новой. Использовать можно практически любые ориентиры, важно чтоб они были однозначны и имели числовые значения.

То, что я описал, это тот путь трансформации, который прошла моя стратегия. У меня процесс её формирования затянулся почти на 9 лет. Теперь я стабильно зарабатываю по данной стратегии, чего и вам желаю.

Торговая математика для Форекс

Подходы к торговле на рынке Форекс подразделяются на 2 типа. В первом случае трейдер опирается на собственные или сторонние прогнозы относительно движения курса валютной пары, выстраивая на их основании торговую систему. Второй подход подразумевает использование метода математического моделирования. При этом совершенно неважно, какой тренд преобладает на рынке, — достаточно того, что он просто существует. Что представляет собой математическая стратегия на рынке Форекс? Какова вероятность получения прибыли при ее использовании?

Суть и история возникновения метода

Математический подход к торговле на рынке Форекс подразумевает построение сетки торговых ордеров, совокупность которых рано или поздно принесет прибыль трейдеру. Отличительной чертой такой системы является ее независимость от будущего направления курса валют. Все, что нужно для ее реализации, — наличие движения на рынке, поэтому она рекомендована к использованию на волатильных парах, которые за день в среднем проходят расстояние в 100-200 пунктов и более.

Практически все системы такого плана работают по принципу Мартингейла. Метод появился несколько веков назад и изначально предназначался для игры в рулетку. Несколько десятилетий назад известные биржевые игроки адаптировали его к особенностям финансовых рынков.

Первоначальный вид стратегии Мартингейла был прост. Игра в рулетку начиналась с минимально возможной ставки на один цвет, которая после каждого проигрыша увеличивалась вдвое. Исходя из логики и теории вероятности, возможность выпадения одного и того же цвета значительно снижается после каждого раза. Это утверждение и является основой, на которой базируется математическая стратегия. Поскольку игрок постоянно увеличивает размер ставки, всего одна прибыльная сделка покрывает все понесенные ранее убытки и приносит ему прибыль. Каким образом метод Мартингейла используют в торговле на рынке Форекс?

Математическая стратегия на основании принципа Мартингейла: особенности применения на рынке Форекс

Торговля валютными парами по методу Мартингейла принципиально ничем не отличается от ставок в казино. Первоначально трейдер открывает сделку минимальным лотом, сразу же выставляя тейк-профит и сетку из ордеров в увеличенном объеме на одинаковом расстоянии друг от друга в одну и ту же сторону вместо стоп-лосса. Как это выглядит на примере?

Предположим, что трейдер неудачно вошел в рынок 23 сентября, продолжая продавать пару на самом дне тренда (место отмечено линией голубого цвета). Закрытие сделки в прибыли предполагалось на расстоянии 180 пунктов от точки открытия в случае продолжения нисходящего тренда. На случай разворота пары был установлен ордер №2 снова на продажу пары на расстоянии тех же 180 пунктов выше места первого входа в рынок. Аналогичные манипуляции были произведены еще через такое же количество пунктов.

Как мы можем увидеть из рисунка, валютная пара начала движение в нисходящем тренде только после открытия третьего по счету ордера в серии сделок вместе с первоначальным. Математическая стратегия принесла трейдеру прибыль в размере 180 пунктов. Каким образом это получилось?

В момент открытия ордера №2 увеличенным объемом трейдер зафиксировал убыток в размере 180 пунктов. После продолжения восходящего движения пары во время открытия ордера №3 к убытку в 180 пунктов добавились потери в размере 360 пунктов, поскольку лот ордера №2 был в 2 раза больше объема первой операции. Итого при последнем входе в рынок накопленные убытки трейдера составили 540 пунктов. Затем пара развернулась вниз и одна сделка, объем которой превышал в 2 раза объем предыдущего ордера и был больше первого в 4 раза, принесла трейдеру доход 720 пунктов. Чистая прибыль составила 180 пунктов, которые трейдер предполагал получить в момент первоначального входа, если нисходящее движение продолжится.
Чем этот метод отличается от традиционных подходов к торговле, которые базируются на основании технического анализа? Результат не зависит от направления движения цены. Применяя математический метод в ситуации, изображенной на графике выше, трейдер получил бы прибыль независимо от того, куда пошла бы цена. При ее падении сделка была бы закрыта по тейк-профиту, при росте прибыль была зафиксирована после разворота.

Подводные камни

На графике представлен самый оптимистический сценарий, при котором математическая стратегия полностью оправдала ожидания трейдера. К сожалению, так бывает не всегда. Безразмерным депозитом, который имеет свойство к самовосполнению, не обладает ни один трейдер. Не всегда серия ордеров состоит из 2-3 сделок. Представьте, что чувствует трейдер, у которого предыдущие 5 сделок закрылись в убытке, открывая шестую? К этому времени размер его депозита уже уменьшился на 30-50%, а если тренд в срочном порядке не развернется, этот или следующий ордер может обнулить торговый счет.

Торговля по принципу Мартингейла отличается высоким уровнем риска и требует тщательной отработки на исторических данных. Новичкам без достаточного опыта торговли на Форексе крайне не рекомендуется прибегать к подобным методам трейдинга.

Если вы все-таки решили торговать по системе Мартингейла

Существует несколько способов снижения рисков при использовании математической стратегии. Главным из них является ограничение количества открываемых сделок (колен). Обычно первый вход осуществляется по сигналу какой-либо работающей торговой системы. По ней необходимо собрать статистику о максимальном количестве убыточных торговых операций подряд за длительный период времени. Ограничить количество ордеров в сетке следует чуть большим числом, нежели максимальное число сделок с отрицательным результатом за весь срок анализа. Исходя из этой информации, нужно подобрать первоначальный лот для торговли.

Второй способ уменьшения рисков заключается в разработке системы коэффициентов, используемых при открытии сетки из ордеров. Новую сделку можно открывать объемом, большим от первоначального не в 2, а в 1,5 или 1,6 раза. Соответственно, размер прибыли после закрытия последнего прибыльного ордера будет меньшим, чем при удвоении каждой сделки.

Математический метод может успешно использоваться при агрессивной торговле с повышенным уровнем риска, но заработанную прибыль не стоит реинвестировать, поскольку шансы все потерять очень велики. Для безопасного трейдинга на рынке Форекс по Мартингейлу следует тщательно продумать точки входа и количество торговых операций, необходимое для достижения оптимального результата. Помните, что прибыльность торговли очень сильно зависит от выбранного вами брокера!

Математические методы торговли на Форекс

Сегодня трейдеры со всего мира используют самые различные методы успешной торговли на Форекс. Опытные участники рынка со временем накопили приличные суммы, постоянно совершенствуя свои навыки и приумножая капитал. Новички же довольствуются малым, боясь вкладывать крупные деньги в торговлю и постоянно натыкаясь на те или иные ошибки. В Форекс пространстве это считается нормой. Однако существует мнение, что стабильный доход на международном валютном рынке доступен не только профессионалам. Заработать на Форекс может каждый, кто “на ты” с математикой и теорией вероятности.

Эксперты утверждают, что математические методы торговли на Форекс — это инновационные разработки, способные работать с высокой степенью точности. Их результаты основаны на анализе статистических данных, который математики используют с достаточной легкостью.

Действительно ли существуют математические методы успешной торговли на Форекс

Вопрос, насколько успешные методы Форекс, основанные на математическом подходе, реальны, вызывает довольно много вопросов как в научной среде, так и среди опытных аналитиков и трейдеров. Одни утверждают, что, отслеживая статистические колебания и привязывая их к различным факторам, влияющим на котировки, можно вычислить устойчивый, объяснимый и стабильный тренд. Другие берут во внимание так называемый человеческий фактор, когда каждый индивидуальный трейдер имеет влияние на рынок посредством собственных действий, а этот фактор просчитать заранее уже невозможно.

Тем не менее, математические методы торговли на Форекс успешно существуют, и им приписывается высокая выгодность, безубыточность и стабильность. В большинстве своем они основаны на соотнесении объемов депозита, временных рамках, контроле рисков и типе торгового инструмента. Для того чтобы не ошибиться в выбранной модели, слепо доверяя такому заманчивому описанию, ее для начала необходимо тестировать на демо счетах и небольших суммах.

Как правильно протестировать математический метод торговли на Форекс

Для того чтобы тестирование математической модели было результативным, необходимо достаточное время, для того чтобы открыть большое количество позиций. Только в общем потоке с данными можно получить достоверную информацию о том, как работает торговая система. В процессе тестирования вычисляется погрешность анализа, которая не должна превышать трех процентов. Если процент погрешности выше, это означает, что модель не работает в достаточной степени правильно, и использовать ее лучше во время малой рыночной загруженности.

Содержание данной статьи является исключительно частным мнением автора и может не совпадать с официальной позицией LiteForex. Материалы, публикуемые на данной странице, предоставлены исключительно в информационных целях и не могут рассматриваться как инвестиционный совет или консультация для целей Директивы 2004/39 /EC.

Что в математике XYZ, то на Форексе стратегия XZ!

Многие из нас еще со школьной скамьи не любят математику (а кто-то и ненавидит лютой ненавистью). Между тем математика наука полезная, а в некоторых сферах, таких как торговля на Форекс, и вовсе незаменимая. Чтобы пользоваться всеми богатыми возможностями технического анализа, нужно производить всевозможные математические расчеты. Тут требуется рассчитать среднее экспоненциальное цены, там объемы сделок, а то и еще что сложнее!

К счастью нет нужды высчитывать все это на калькуляторе, всю работу за нас делают технические индикаторы Форекс. И сегодня мы с Вами рассмотрим прекрасный пример использования всей мощи математических вычислений на Форекс – стратегию XZ.

Итак, торговая стратегия XZ – это типичная индикаторная торговая система, к достоинствам которой можно отнести достаточную простоту и наглядность. Эта стратегия разрабатывалась специально для рынка Форекс, а конкретнее под валютную пару EURUSD.

Перед тем как мы перейдем к изучению принципов и правил торговли по стратегии XZ, давайте подготовим наше «рабочее место». Нужно сделать следующее:

1. Откройте свечной график названной валютной пары – EURUSD.

2. Теперь надо выбрать таймфрейм. Вообще торговая стратегия работает на следующих временных интервалах: 5 минут (M5), 15 минут (M15), 30 минут (M30) или один час (H1). Выберите тот таймфрейм, который больше соответствует Вашим предпочтениям в трейдинге.

3. Следующий наш шаг – это добавление на график сигнальных индикаторов Форекс. Нам потребуются следующие:

EMA (35) – стандартная скользящая средняя, экспоненциального типа, цвет – красный, период – 35, применить к цене закрытия (close);

«Center of Gravity» — это нестандартный индикатор, который, вместе с CandleAverage_v3 можно скачать по ссылке внизу данной статьи. Его параметры: Bars back — 120, m – 4, i – 0, kstd – 2.4, sName – 720;

«CandleAverage_v3», его также необходимо скачать по той же ссылке. Для индикатора необходимо добавить два уровня: 0.81 и -0.81. Параметры индикатора будут различными для разных таймфреймов.

Для периодов M5 и M15: Length – 3, H_period – 3, L_period – 3, C_period – 3.

Для M30: Length – 6, H_period – 3, L_period – 3, C_period – 5.

Ну а для H1: Length – 9, H_period – 1, L_period – 1, C_period – 8.

В итоге у Вас должен быть рабочий экран, подобный тому, что изображен на рисунке 1.

шаблон торговой стратегии форекс XZ

А теперь можно переходить непосредственно к освоению самой стратегии XZ. Торгуем на покупку, по следующей схеме:

1. Ждем момента, когда цена закроется над красной линией индикатора EMA (35).

2. Как только это произошло – все внимание на индикатор «Center of Gravity». Ждем следующих сигналов:

— цена находится под синей линией индикатора;
— текущая свеча касается зеленой линии.

3. Когда сигналы будут получены, переходим к последнему индикатору — «CandleAverage_v3». Здесь нам нужно, чтобы индикатор находился ниже уровня -0.81.

4. Если все наши профессиональные индикаторы Форекс показали нужные сигналы – открываем сделку на покупку.

5. Стоп-лосс ставим на текущем уровне EMA (35).

6. Что касается тейк-профита, его выставляем на некотором расстоянии выше точки входа на рынок. Величина этого расстояния зависит от таймфрейма: M5 – 100 пунктов, M15 – 80-130 пунктов, M30 – 120-185 пунктов, H1 – 75-310 пунктов.

Пример торговли на покупку по стратегии XZ предложен Вашему вниманию на рисунке 2.

пример торговли по стратегии XZ

На продажу торгуем по обратным правилам (цена ниже красной линии, но выше синей, «CandleAverage_v3» над уровнем 0.81, и т.д.).

Стратегия XZ – это неплохое сочетание математических методов с простотой применения. Не обойдите ее своим вниманием!

Растущего Вам в геометрической прогрессии профита!

Набор индикаторов для работы по стратегии Форекс XZ СКАЧАТЬ

Свежие новости на Главной странице

Математика в трейдинге. Оценка результатов торговых сделок

Введение: Математика — царица наук

Знание математики в минимальном объеме желательно для любого трейдера, и это утверждение даже не требует доказательств. Вопрос только в том, как определить этот минимальный объем. В процессе развития торгового опыта трейдер зачастую самостоятельно расширяет свой кругозор, читая сообщения на форумах или черпая информацию из книг. Одни книги написаны с меньшими требованиями к уровню подготовки читателя, другие, наоборот, стимулируют к изучению или восстановлению знаний в той или иной области математической науки. Мы попробуем дать некоторые оценки и их толкования в одной статье.

Из двух зол выбираем меньшее

Математиков в мире больше, чем успешных трейдеров, и этот факт часто приводят как аргумент противники сложных расчетов или методик в торговле. На это можно возразить, что торговля — это не столько умение разрабатывать торговые правила (умение анализировать), сколько способность соблюдать эти самые разработанные торговые правила (дисциплина). Кроме того, до сих пор не создана (и, думается, никогда не будет создана) теория, которая точно описывает процесс ценообразования на финансовых рынках. Само создание теории (открытие математической природы) финансовых рынков означает смерть этих рынков, что является неразрешимым парадоксом с точки зрения философии. Но если перед нами стоит вопрос — идти на рынок с багажом из не полностью удовлетворительного математического описания рынка или совсем без этого багажа, — то мы выбираем меньшее зло. Мы выбираем математические методы оценки торговых систем.

В чем ненормальность нормального распределения?

Одним из основных понятий в теории вероятностей является понятие нормального распределения. Почему оно названо именно так? Оказалось, что множество процессов в природе имеет нормальное распределение. Точнее, большинство процессов в природе в пределе сходятся к нормальному распределению. Рассмотрим это на простом примере. Пусть у нас имеется равномерное распределение на интервале от 0 до 100. Равномерное распределение означает, что вероятность выпадения любого значения на интервале одинакова для всех чисел этого интервала, и вероятность того, что выпадет 3.14 (число Pi), такая же, как и вероятность выпадения числа 77 (любимое число с двумя семерками). Современные компьютеры дают возможность генерировать достаточно хорошую последовательность псевдослучайных чисел.

Как из этого равномерного распределения получить нормальное распределение? Оказывается, если мы будем брать каждый раз несколько случайных чисел из равномерного распределения (например, 5 чисел) и находить среднее значение этой пятерки (это называется сделать выборку), то при большом количестве таких выборок новое полученное распределение будет стремиться к нормальному. Центральная предельная теорема гласит, что это относится не только к выборкам из равномерных распределений, но и к широкому классу других распределений. А так как свойства нормального распределения очень хорошо изучены, то представление многих процессов в виде процесса с нормальным распределением облегачает анализ. Но лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать. С помощью простого индикатора на языке MQL4 мы можем увидеть подтверждение центральной предельной теоремы. Запускаем NormalDistribution.mq4 на любом графике с разным значением N (количество выборок) и видим, что эмпирическое частотное распределение становится все более гладким.

Рис.1. Индикатор,создающий нормальное распределение из равномерного.

Здесь N означает, сколько раз мы брали среднее из pile=5 равномерно распределенных чисел на интервале от 0 до 100. Мы получили четыре графика, которые очень похожи между собой, и если мы проведем в пределе некоторую нормировку (приведем к единому масштабу), то получим несколько реализаций стандартного нормального распеределения. Единственная горькая ложка дегтя в красоте такого подхода — цены на финансовых рынках (а точнее — приращения цен и другие производные от этих приращений), по большому счету, все же не укладываются в схему нормального распределения. Вероятность достаточно редкого события (например, падения цены на 50%) на финансовых рынках хоть и мала, но все же значительно больше, чем при нормальном распределении. Поэтому при оценке рисков на основе нормального распределения об этом все же надо помнить.

Количество переходит в качество

Даже на таком простом примере моделирования нормального распределения мы видим, что количество обрабатываемых данных имеет значение. Чем больше исходных данных, тем точнее и достовернее результаты. Считается, что минимальное число в выборке должно быть не меньше 30. То есть, если мы хотим оценить результаты торговых операций (например, эксперта в тестере), то количество сделок ниже 30 не является достаточным, чтобы делать статистически достоверные выводы о некоторых параметрах системы. Чем больше сделок мы анализируем, тем меньше вероятность того, что эти сделки являются просто удачно выхваченными звеньями не очень надежной торговой системы. Поэтому итоговая прибыль на серии из 150 сделок дает больше оснований для принятия на вооружение торговой системы, чем система, оцениваемая только по 15 сделкам.

Математическое ожидание и дисперсия как оценка риска

Две наиболее важные характеристики распределения — математическое ожидание (среднее) и дисперсия. Стандартное нормальное распределение имеет математическое ожидание, равное нулю. При этом центр распределения также приходится точно на ноль. Пологость или крутизна нормального распределения характеризуется мерой разброса случайной величины в районе математического ожидания. Дисперсия как раз и показывает нам разброс значений случайной величины вокруг ее математического ожидания.

Математическое ожидание находится просто: для счетных множеств суммируются все значения распределения, и полученная сумма делится на количество значений. Например, множество натуральных чисел является бесконечным, но счетным множеством, так как с каждым значением можно сопоставить его индекс (порядковый номер). Для несчетных множеств применяется интегрирование. Для оценки математического ожидания серии сделок мы сложим все результаты сделок и разделим на число сделок. Полученное значение показывает ожидаемый средний результат от каждой сделки. Если математическое ожидание положительно, в среднем мы зарабатываем. Если же оно отрицательно, то в среднем мы проигрываем.

Рис.2. График плотности вероятности нормального распределения.

Мерой разброса распределения является сумма квадратов отклонений случайной величины от его математического ожидания. Эту характеристику распределения называют дисперсией. Обычно математическое ожидание для случайно распределенной величины обозначают как M(X). Тогда дисперсию можно записать как D(X) = M((X-M(X))^2 ). Квадратный корень из дисперсии называют стандартным отклонением, другое его краткое наименование — сигма (σ). Именно нормальное распределение, у которого математическое ожидание равно нулю, а стандартное отклонение равно 1, называют стандартным нормальным распределением или распределением Гаусса.

Чем больше значение стандартного отклонения, тем большей изменчивости подвержен торговый капитал, тем больше риск для него. Если математическое ожидание положительно (стратегия выигрышная) и равно $100, а стандартное отклонение равно $500, то мы рискуем в несколько раз большей суммой, чтобы заработать каждый доллар. Например, мы имеем результаты 30 сделок:

Номер сделки X (Результат)
1 -17.08
2 -41.00
3 147.80
4 -159.96
5 216.97
6 98.30
7 -87.74
8 -27.84
9 12.34
10 48.14
11 -60.91
12 10.63
13 -125.42
14 -27.81
15 88.03
Номер сделки X (Результат)
16 32.93
17 54.82
18 -160.10
19 -83.37
20 118.40
21 145.65
22 48.44
23 77.39
24 57.48
25 67.75
26 -127.10
27 -70.18
28 -127.61
29 31.31
30 -12.55

Чтобы найти математическое ожидание этой последовательности сделок, сложим все результаты и разделим на 30. Получим среднее значение M(X), равное $4.26. Чтобы найти стандартное отклонение, вычтем из результата каждой сделки среднее, возведем в квадрат и найдем сумму квадратов. Найденную сумму разделим на 29 (количество сделок минус один). Получили дисперсию D, равную 9 353.623. Возьмем корень из дисперсии и получим стандартное отклонение sigma, равное $96.71.

Данные для проверки записаны в таблицу:

Номер
сделки
X
(Результат)
X-M(X)
(Разница)
(X-M(X))^2
(Квадрат разницы)
1 -17.08 -21.34 455.3956
2 -41.00 -45.26 2 048.4676
3 147.80 143.54 20 603.7316
4 -159.96 -164.22 26 968.2084
5 216.97 212.71 45 245.5441
6 98.30 94.04 8 843.5216
7 -87.74 -92.00 8 464.00
8 -27.84 -32.10 1 030.41
9 12.34 8.08 65.2864
10 48.14 43.88 1 925.4544
11 -60.91 -65.17 4 247.1289
12 10.63 6.37 40.5769
13 -125.42 -129.68 16 816.9024
14 -27.81 -32.07 1 028.4849
15 88.03 83.77 7 017.4129
16 32.93 28.67 821.9689
17 54.82 50.56 2 556.3136
18 -160.10 -164.36 27 014.2096
19 -83.37 -87.63 7 679.0169
20 118.40 114.14 13 027.9396
21 145.65 141.39 19 991.1321
22 48.44 44.18 1 951.8724
23 77.39 73.13 5 347.9969
24 57.48 53.22 2 832.3684
25 67.75 63.49 4 030.9801
26 -127.10 -131.36 17 255.4496
27 -70.18 -74.44 5 541.3136
28 -127.61 -131.87 17 389.6969
29 31.31 27.05 731.7025
30 -12.55 -16.81 282.5761

Что мы получили: математическое ожидание равно $4.26, стандартное отклонение равно $96.71. Не самое лучшее соотношение риска и средней сделки. График прибыли подтверждает этот вывод:

Рис.3. График изменения баланса по совершенным сделкам.

Случайно ли я торгую? Z-счет

Само предположение, что прибыль, полученная в результате серии торговых операций является случайной, для многих трейдеров может звучать издевательски. Проведя достаточно долгое время в поисках своей торговой системы, которая на практике уже дала реальную прибыль на достаточно ограниченном промежутке времени, трейдер получает подтверждение правильности найденного подхода к рынку. И теперь допустить, что все это было случайностью? Это уже слишком, особенно для новичков. Тем не менее, необходимость объективной оценки результатов торговли очень существенна. В этом случае на помощь снова приходит нормальное распределение.

Мы не знаем, каков будет результат каждой отдельной сделки. Мы только можем сказать, что мы либо получим прибыль (+), либо потерпим убыток (-). Чередование убытков и прибылей может происходить по-разному для каждой торговой системы. Например, если размер предполагаемой прибыли в 5 раз меньше размера предполагаемого убытка при срабатывании Stop Loss, то разумно предполагать, что прибыльных сделок (со знаком +) будет существенно больше, чем убыточных (со знаком минус). Z-счет позволяет оценить, насколько часто прибыльные сделки сменяются убыточными.

Z-счет для торговой системы вычисляется по формуле:

где:
N — общее число сделок в последовательности;
R — общее число серий выигрышных и проигрышных сделок;
P = 2*W*L;
W — общее число выигрышных сделок в последовательности;
L — общее число проигрышных сделок в последовательности.

Серия — это последовательность идущих друг за другом плюсов (например, +++) или минусов (например, —). R подсчитывает количество таких серий.

Рис.4. Сравнение двух серий выигрышей и проигрышей.

На рисунке синим цветом показана часть последовательности выигрышей и проигрышей эксперта, который занял первое место на Чемпионате Automated Trading Championship 2006. Z-score его конкурсного счета имеет значение -3.85, в скобках указана вероятность 99.74%. Это означает, что с вероятностью 99.74% сделки на этом торговом счете имели положительную зависимость между собой (Z-счет отрицателен): за одним выигрышем следовал другой выигрыш, за проигрышем опять шел проигрыш. Так ли это? Те, кто следил за Чемпионатом, помнят, что Roman Rich выставил на нем свою версию советника MACD, который часто открывал сразу по три сделки в одном направлении.

Красным цветом показана типичная последовательность положительных и отрицательных значений случайной величины для нормального распределения. Мы видим, что эти последовательности отличаются между собой, но как измерить это отличие? Z-счет дает нам ответ на этот вопрос: содержит ли ваша последовательность прибылей и убытков больше или меньше полос (серий выигрышей или проигрышей), чем можно было бы ожидать от действительно случайной последовательности, в которой нет зависимости между сделками. Если Z-счет близок к нулю, мы не можем сказать, что распределение торговых сделок отличается от нормального распределения. Z-счет последовательности сделок может дать нам информацию о возможной зависимости между результатами подряд идущих сделок.

При этом значения Z трактуются так же, как и вероятность отклонения от нуля случайной величины, распределенной по закону стандартного нормального распределения (среднее=0, sigma=1). Если вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в диапазоне ±3σ равна 99.74 %, то попадание этого значения за пределы этого интервала с той же вероятностью 99.74% говорит нам о том, что эта случайная величина не принадлежит данному нормальному распределению. Поэтому «правило трех сигм» читают так: нормальная случайная величина отклоняется от своего среднего не более, чем на три сигмы.

Знак Z говорит нам о типе зависимости. Положительное говорит нам о том, что за прибыльной сделкой наиболее вероятна убыточная, а отрицательное — что за выигрышем последует выигрыш, а проигрыш повлечет за собой также проигрыш. Небольшая таблица иллюстрирует тип и вероятность зависимости между сделками по сравнению с нормальным распределением.

Z-счет Вероятность зависимости,% Тип зависимости
-3.0 99.73 Положительная
-2.9 99.63 Положительная
-2.8 99.49 Положительная
-2.7 99.31 Положительная
-2.6 99.07 Положительная
-2.5 98.76 Положительная
-2.0 95.45 Положительная
-1.5 86.64 Неопределенная
-1.0 68.27 Неопределенная
0.0 0.00 Неопределенная
1.0 68.27 Неопределенная
1.5 86.64 Неопределенная
2.0 95.45 Отрицательная
2.5 98.76 Отрицательная
2.6 99.07 Отрицательная
2.7 99.31 Отрицательная
2.8 99.49 Отрицательная
2.9 99.63 Отрицательная
3.0 99.73 Отрицательная

Положительная зависимость между сделками означает (Z-счет отрицателен), что выигрыш порождает выигрыш, а проигрыш порождает проигрыш. Отрицательная зависимость означает, что после выигрыша последует проигрыш, а после проигрыша последует выигрыш. Выявленная зависимость позволяет регулировать размеры открываемых позиций (в идеале) или даже пропускать некоторые из них и открывать их только виртуально для отслеживания последовательности сделок.

Прибыль за время удержания сделки (HPR)

В своей книге «Математика управления капиталом» Ральф Винс использует понятие HPR (holding period returns) — прибыль за время удержания сделки. Сделке, которая принесла 10% прибыли, соответствует HPR=1+0.10=1.10. Сделке же, принесшей убыток в 10%, соответствует HPR=1-0. 10=0.90. По-другому значение HPR для сделки можно получить, если разделить значение баланса после закрытия сделки (BalanceClose) на значение баланса на момент открытия сделки (BalanceOpen). HPR=BalanceClose/BalanceOpen. Таким образом, каждой сделке соответствует не только результат сделки в денежном выражении, но и HPR. Это позволяет сравнивать системы вне зависимости от величины торгуемых контрактов. Одним из показателей такого сравнения является среднее арифметическое — AHPR (average holding period returns).

Чтобы найти AHPR, нужно сложить все HPR и разделить на количество сделок. Рассмотрим эти расчеты используя предыдущий пример из 30 сделок. Предположим, что мы начали торговать, имея на счете $500. Составим новую таблицу:

Номер сделки Баланс, $ Результат, $ Баланс
по закрытии, $
HPR
1 500.00 -17.08 482.92 0.9658
2 482.92 -41.00 441.92 0.9151
3 441.92 147.80 589.72 1.3344
4 589.72 -159.96 429.76 0.7288
5 429.76 216.97 646.73 1.5049
6 646.73 98.30 745.03 1.1520
7 745.03 -87.74 657.29 0.8822
8 657.29 -27.84 629.45 0.9576
9 629.45 12.34 641.79 1.0196
10 641.79 48.14 689.93 1.0750
11 689.93 -60.91 629.02 0.9117
12 629.02 10.63 639.65 1.0169
13 639.65 -125.42 514.23 0.8039
14 514.23 -27.81 486.42 0.9459
15 486.42 88.03 574.45 1.1810
16 574.45 32.93 607.38 1.0573
17 607.38 54.82 662.20 1.0903
18 662.20 -160.10 502.10 0.7582
19 502.10 -83.37 418.73 0.8340
20 418.73 118.40 537.13 1.2828
21 537.13 145.65 682.78 1.2712
22 682.78 48.44 731.22 1.0709
23 731.22 77.39 808.61 1.1058
24 808.61 57.48 866.09 1.0711
25 866.09 67.75 933.84 1.0782
26 933.84 -127.10 806.74 0.8639
27 806.74 -70.18 736.56 0.9130
28 736.56 -127.61 608.95 0.8267
29 608.95 31.31 640.26 1.0514
30 640.26 -12.55 627.71 0.9804

AHPR находим как среднее арифметическое, оно равно 1.0217. Другими словами, мы в среднем зарабатываем (1.0217-1)*100%=2.17 % на каждой сделке. Так ли это? Если мы умножим 2.17 на 30, то получим, что доход должен составить 65.1%. Умножим первоначальный капитал $500 на 65.1% и получим $325.50. В то же время реальная прибыль составляет (627.71-500)/500*100%=25. 54%. Таким образом, среднее арифметическое от HPR не всегда позволяет правильно оценить систему.

Наряду со средним арифметическим Ральф Винс вводит понятие среднего геометрического, которое мы обозначили как GHPR (geometric holding period returns), которое практически всегда меньше среднего арифметического AHPR. Среднее геометрическое является фактором роста за игру и находится по формуле:

где:
N — количество сделок;
BalanceOpen — начальное состояние счета;
BalanceClose — конечное состояние счета.

Система с наибольшим средним геометрическим принесет наибольшую прибыль, если торговать на основе реинвестирования. Среднее геометрическое меньше единицы означает, что система будет терять деньги, если вы будете торговать на основе реинвестирования. Хорошей иллюстрацией разницы между AHPR и GHPR может служить счет sashken’а, который долгое время был лидером Чемпионата. AHPR=9.98% впечатляет, но итоговое GHPR=-27.68% все расставляет по своим местам.

Показатель Шарпа (Sharpe Ratio)

Эффективность инвестиций часто оценивают с точки зрения дисперсии доходов. Одним из таких показателей является коэффициент Шарпа (Sharpe Ratio). Этот коэффициент показывает, как соотносятся среднее арифметическое AHPR, уменьшенное на безрисковую ставку, и стандартное отклонение SD от ряда HPR. Значение безрисковой ставки RFR (Risk Free Rate) обычно принимают равным процентной ставке по доходу на депозит в банке или ставке дохода на казначейские обязательства. Для нашего примера, AHPR=1.0217, стандартное отклонение SD (HPR) равно 0.17607, а RFR=0.

где:
AHPR — средняя арифметическая прибыль за время удержания позиции;
RFR — безрисковая ставка;
SD — стандартное отклонение.

Sharpe Ratio=(1.0217-(1+0))/0.17607=0.0217/0.17607=0.1232. Для нормального стандартного распределения более 99% случайных величин находятся в диапазоне ±3σ (сигма=SD) вокруг среднего значения M(X). Из этого можно заключить, что значение Sharpe Ratio больше 3 является очень хорошим. Рисунок позволяет увидеть, что если результаты сделок распределены нормально, то при показателе Шарпа равном 3 вероятность получения убытка в каждой сделке меньше 1% — по правилу трех сигм.

Рис.5. Нормальное распределение результатов сделок с вероятностью проигрыша менее 1%.

Подтверждение этому можно увидеть на счете участника RobinHood: его эксперт совершил 26 сделок на Чемпионате Automated Trading Championship 2006, и среди них — ни одной убыточной. Показатель Шарпа (Sharpe Ratio) равен 3.07!

Линейная регрессия и коэффициент линейной корреляции

Можно и по-другому оценить стабильность торговых результатов. Показатель Шарпа позволяет оценить меру риска, которому подвергается торговый капитал, но можно попробовать оценить и степень гладкости кривой баланса. Если мы нанесем на график значения баланса по закрытии каждой сделки, то сможем провести ломаную линию. Можно аппроксимировать эти точки некоторой прямой линией, которая покажет нам среднее направление изменения торгового капитала. Рассмотрим эту возможность на примере графика баланса эксперта Phoenix_4, разработанного Hendrick’ом.

Рис.6. График баланса Hendrick — участника чемпионата Automated Trading Championship 2006.

Нам необходимо найти такие коэффициенты a и b, чтобы эта прямая линия проходила как можно ближе к аппроксимируемым точкам. Для нашего случая x — это номер сделки, y — значение баланса по закрытии сделки.

x (trades) y (balance)
1 11 069.50
2 12 213.90
3 13 533.20
4 14 991.90
5 16 598.10
6 18 372.80
7 14 867.50
8 16 416.80
9 18 108.30
10 19 873.60
11 16 321.80
12 17 980.40
13 19 744.50
14 16 199.00
15 17 943.20
16 19 681.00
17 21 471.00
18 23 254.90
x (trades) y (balance)
19 24 999.40
20 26 781.60
21 28 569.50
22 30 362.00
23 32 148.20
24 28 566.70
25 30 314.10
26 26 687.80
27 28 506.70
28 24 902.20
29 26 711.60
30 23 068.00
31 24 894.10
32 26 672.40
33 28 446.30
34 24 881.60
35 21 342.60

Обычно коэффициенты аппроксимирующей прямой находят по методу наименьших квадратов (МНК). Пусть у нас есть такая прямая с известными коэффициентами а и b. Для каждой точки x мы имеем два значения: y(x)=a*x+b и balance(x). Отклонение balance(x) от y(x) мы обозначим как d(x)=y(x)-balance(x). Сумма квадратов отклонений может быть посчитана как SD=Summ. Нахождение прямой по методу наименьших квадратов означает поиск таких коэффициентов a и b, чтобы SD была минимальна. Эту прямую также называют

(LR,Linear Regression) для данной последовательности.

Рис.7. Отклонение значения баланса от прямой y=ax+b

Получив коэффициенты прямой y=a*x+b по методу наименьших квадратов, мы можем оценить отклонение значений баланса от найденной прямой в денежном выражении. Если мы посчитаем среднее арифметическое для ряда d(x), то убедимся, что М(d(x)) близко к нулю (точнее, равно нулю с некоей степенью точности вычислений). В то же время сумма квадратов отклонений SD не равна нулю и имеет некое ограниченное значение. Корень квадратный из SD/(N-2) показывает разброс значений графика Баланса вокруг прямой линии и позволяет оценивать торговые системы при равных значениях начального состояния счета. Этот параметр мы назовем стандартным отклонением Баланса от линейной регрессии и обозначим как LR Standard error.

Вот каковы значения этого показателя для первых 15 счетов Чемпионата Automated Trading Championship 2006:

# Логин LR Standard error, $ Прибыль, $
1 Rich 6 582.66 25 175.60
2 ldamiani 5 796.32 15 628.40
3 GODZILLA 2 275.99 11 378.70
4 valvk 3 938.29 9 819.40
5 Hendrick 3 687.37 9 732.30
6 bvpbvp 9 208.08 8 236.00
7 Flame 2 532.58 7 676.20
8 Berserk 1 943.72 7 383.70
9 vgc 905.10 6 801.30
10 RobinHood 109.11 5 643.10
11 alexgomel 763.76 5 557.50
12 LorDen 1 229.40 5 247.90
13 systrad5 6 239.33 5 141.10
14 emil 2 667.76 4 658.20
15 payday 1 686.10 4 588.90

Но степень близости графика баланса к прямой линии можно измерить не только в денежном выражении, но и в абсолютном. Для этого можно использовать коэффициент корреляции. Коэффициент корреляции r измеряет степень связи между двумя последовательностями чисел. Значение этого параметра может быть в диапазоне от -1 до +1. Если значение r равно +1, то это значит, что обе последовательности ведут себя одинаково и корреляция положительна.

Рис.8. Пример положительной корреляции.

Eсли значение r равно -1, то две последовательности меняются в противофазе, корреляция отрицательна.

Рис.9. Пример отрицательной корреляции.

Если значение r равно нулю, значит, зависимости между последовательностями не обнаружено. То есть, нужно подчеркнуть, что нулевой коэффициент корреляции говорит не об отсутствии зависимости, а только о том, что зависимость не обнаружена. Нужно помнить об этом и не заменять одно утверждение другим. Для нашего случая нам необходимо соотнести две последовательности чисел: одна последовательность из графика баланса, а вторая — соответствующие точки на прямой линейной регрессии.

Рис.10. Значения баланса и точек на линейной регрессии.

В виде таблицы это будет выглядеть так:

Сделка Баланс Лин. регресс.
0 10 000.00 13 616.00
1 11 069.52 14 059.78
2 12 297.35 14 503.57
3 13 616.65 14 947.36
4 15 127.22 15 391.14
5 16 733.41 15 834.93
6 18 508.11 16 278.72
7 14 794.02 16 722.50
8 16 160.14 17 166.29
9 17 784.79 17 610.07
10 19 410.98 18 053.86
11 16 110.02 18 497.65
12 17 829.19 18 941.43
13 19 593.30 19 385.22
14 16 360.33 19 829.01
15 18 104.55 20 272.79
16 19 905.68 20 716.58
17 21 886.31 21 160.36
Сделка Баланс Лин. регресс.
18 23 733.76 21 604.15
19 25 337.77 22 047.94
20 27 183.33 22 491.72
21 28 689.30 22 935.51
22 30 411.32 23 379.29
23 32 197.49 23 823.08
24 28 679.11 24 266.87
25 29 933.86 24 710.65
26 26 371.61 25 154.44
27 28 118.95 25 598.23
28 24 157.69 26 042.01
29 25 967.10 26 485.80
30 22 387.85 26 929.58
31 24 070.10 27 373.37
32 25 913.20 27 817.16
33 27 751.84 28 260.94
34 23 833.08 28 704.73
35 19 732.31 29 148.51

Значения баланса обозначим как X, а последовательность точек на прямой линейной регрессии обозначим как Y. Для того чтобы вычислить коэффициент линейной корреляции между последовательностями X и Y, сначала необходимо найти средние значения M(X) и M(Y). Затем создадим новую последовательность T=(X-M(X))*(Y-M(Y)) и вычислим среднее значение для нее M(T)=cov(X,Y)=M((X-M(X))*(Y-M(Y))). Найденное значение cov(X, Y) называется ковариацией X и Y и означает математическое ожидание от произведения (X-M(X))*(Y-M(Y)). Для нашего примера значение ковариации равно 21 253 775.08. Обратите внимание, что средние значения M(X) и M(Y) равны между собой и имеют значение 21 382.26. То есть, среднее значений Баланса и среднее значений аппроксимирующей прямой равны между собой.

где:
X — баланс;
Y — линейная регрессия;
M(X) — среднее от баланса;
M(Y) — среднее от линейной регрессии.

Теперь нам осталось вычислить значения Sx и Sy. Чтобы вычислить Sx, найдем сумму значений (X-M(X))^2, то есть найдем сумму квадратов отклонения величины X от его среднего значения. Вспомните, как мы вычисляли дисперсию и алгоритм метода наименьших квадратов(МНК), как видите, все они пересекаются. Найденную сумму квадратов разделим на количество чисел в последовательности — в нашем случае их 36 (от нуля до 35) — и возьмем из найденного значения квадратный корень. Значение Sx получено. Значение Sy вычисляем аналогично. Для нашего примера — Sx=5839.098245 и Sy=4610.181675.

где:
N — количество сделок;
X — баланс;
Y — линейная регрессия;
M(X) — среднее от баланса;
M(Y) — среднее от линейной регрессии.

Теперь мы можем найти значение коэффициента корреляции как r=21 253 775.08/(5839. 098245 * 4610.181675)=0.789536583. Это меньше единицы, но далеко не ноль. Таким образом, мы можем сказать, график баланса коррелирует с линией тренда со значением 0.79. При сравнении с другими системами мы постепенно научимся трактовать значения коэффициента корреляции. На странице «Отчеты» данный параметр обозначен как LR correlation. Единственная разница, которая была сделана для расчета параметра на страницах Чемпионата, — знак LR correlation указывает прибыльность торговли.

Дело в том,что мы могли вычислять коэффициент корреляции между графиком баланса и любой прямой линией. Для Чемпионата корреляция вычислялась для восходящей линии тренда, поэтому, если LR correlation больше нуля, — торговля прибыльна, если меньше нуля — убыточна. Бывает интересный эффект, когда на счете показана прибыль, но знак LR correlation отрицательный, что может говорить об убыточности торговли. Пример такой ситуации можно увидеть у Aver`а. Чистая прибыль (Total Net Profit) составляет $2 642, а LR сorrelation равна -0. 11. Хотя в данном случае речь скорее всего идет об отсутствии корреляции, то есть о невозможности сделать заключение о дальнейшей судьбе торгового счета.

Параметры MAE и MFE нам многое расскажут

Мы часто слышим: «Обрезайте убытки и дайте прибыли расти». Глядя на итоговый результат торговли, в котором представлены исходы торговых операций, мы не можем сделать никаких выводов о наличии защитных стопов (Stop Loss) или об эффективности фиксации прибыли. Мы видим только дату открытия позиции, дату закрытия и итоговый результат — прибыль или убыток. Это все равно что судить о жизни человека только по датам рождения и смерти. Не имея информации о плавающей прибыли в течение жизни каждой торговой позиции и обо всех позициях в совокупности, мы не можем вынести суждения о характере торговой системы. Насколько она рискованна, как достигалась прибыль, не упускалась ли бумажная прибыль? Ответы на эти вопросы в достаточной мере нам могут дать параметры MAE (Maximum Adverse Excursion) и MFE (Maximum Favorable Excursion).

Каждая открытая позиция до момента закрытия постоянно испытывает колебания прибыли. Каждая сделка в период между открытием и закрытием достигала максимальной прибыли и максимального убытка. MFE показывает максимальное движение цены в благоприятном направлении. Соответственно, MAE показывает максимально неблагоприятное движение цены. Логично было бы измерять оба показателя в пунктах, но если торговля велась на различных валютных парах, то для приведения к общему знаменателю мы будем использовать денежное выражение.

Каждой закрытой сделке соответствуют результат этой сделки (return) и два показателя — MFE и MAE. Если сделка дала прибыль в $100, но при этом MAE (максимальный плавающий убыток за время жизни позиции) достигала -$1000, то это не лучшим образом характеризует данную сделку. Наличие множества сделок с положительным результатом, но с большим отрицательными значениями MAE для каждой сделки говорят нам от том, что система пересиживает убыточные позиции, и рано или поздно такая торговля обречена.

Аналогично можно получить информацию и из значений MFE. Если позиция была открыта в правильном направлении, MFE (незафиксированная максимальная прибыль) по сделке достигала $3000, но в результате сделка была закрыта с результатом плюс $500, можно сказать, что неплохо было бы доработать систему защиты незафиксированной прибыли. Это может быть какой-то плавающий стоп (Trailing Stop), который мы можем подтягивать за ценой при благоприятном движении цены. Если недобор прибыли является систематическим, значит, торговая система может быть существенно улучшена. MFE расскажет нам об этом.

Для удобства визуального анализа лучше всего использовать графическое представление распределения значений MAE и MFE. Если мы нанесем каждую сделку на график, то мы увидим, каким образом был достигнут результат. Например, если мы опять посмотрим «Отчеты» участника RobinHood, у которого не было ни одной убыточной сделки, то увидим, что каждая из них имела просадку (MAE) от -$120 до -$2500.

Рис.11. Распределение сделок на плоскости MAE x Returns

Кроме того, мы можем провести прямую линию, которая аппроксимирует распределение Returns x MAE по методу наименьших квадратов. На рисунке она показана синим цветом и имеет отрицательный наклон (значения прямой уменьшаются при движении слева направо). Параметр Correlation(Profits, MAE)=-0,59 позволяет оценить, насколько близко к прямой линии распределены точки на графике, а отрицательное значение показывает отрицательный наклон аппроксимирующей линии.

Если Вы просмотрите счета других участников, то увидите, что обычно коэффициент корреляции является положительным. В данном примере нисходящий наклон линии говорит нам о тенденции получать все большие просадки в стремлении не допустить убыточных сделок. Теперь мы понимаем, какую цену пришлось заплатить за идеальное значение параметра LR Correlation=1!

Аналогично можно построить график распределения Returns и MFE, а также найти коэффиценты корреляции Correlation(Profits,MFE)=0.77 и Correlation(MFE, MAE)=-0.59. Значение коэффициента Correlation(Profits, MFE) является положительным и стремится к единице (0.77). Это говорит нам о том, что данная стратегия старается не допускать больших пересиживаний плавающих прибылей, скорее всего, прибыли не дают подрасти и сделки закрываются по фиксированному уровню Take Profit. Как видите, распределения MAE и MFE дают нам визуальную оценку, а значения коэффициентов корреляции Correlation(Profits, MFE) и Correlation(Profits, MAE) могут дать информацию о характере торговли даже без графиков.

Значения Correlation(MFE, MAE), Correlation(NormalizedProfits, MAE) и Correlation(NormalizedProfits, MFE) в «Отчетах» участников Чемпионата даны в качестве дополнительной информации.

Нормализация результатов сделок

Обычно при разработке торговых систем используют фиксированные размеры позиций. Так легче проводить оптимизацию параметров системы с целью нахождения наиболеее оптимальных по некоторым критериям параметров. Но после того как параметры были найдены, неизбежно встает вопрос о том, какую систему управления размерами позиций применить (Money Management, MM). Размер открываемых позиций напрямую связан с размером денежных средств на торговом счете, поэтому неразумно торговать на счете размером $5 000 такими же объемами позиций, как на счете с $50 000. Кроме того, система ММ может открывать не прямо пропорциальные позиции, то есть позиция на депозите $50 000 не обязательно должна быть в 10 раз больше позиции, открываемой на депозите $5 000.

Размеры позиций могут варьироваться также, исходя из текущей фазы рынка, анализа результатов нескольких последних сделок и так далее. То есть применяемая система управления капиталом может существенно изменить первоначальный облик торговой системы. И как нам оценить влияние примененной системы управления капиталом, пошла она во благо или только усугубила отрицательные стороны торгового подхода? Как нам сравнить результаты торговли на нескольких счетах с равными начальными условиями — размером депозита? Один из возможных вариантов решения этой задачи — сделать нормализацию результатов сделок, привести их к одному знаменателю.

где:
TradeProfit — прибыль со сделки в денежном выражении;
TradeLots — размер позиции (лоты);
MinimumLots — минимально допустимый размер позиции.

Нормализация будет заключаться в том, что результат каждой сделки (прибыль или убыток) мы будем делить на объем позиции и затем еще умножать на минимально допустимый размер для открытия торговой позиции. Например, ордер #4399142 BUY 2.3 lots USDJPY закрыт с прибылью $4 056. 20 + $118.51 (swaps) = $4 174.71. Пример взят со счета GODZILLA (Nikolay Kositsin). Разделим результат на 2.3 и умножим на 0.1 (минимально допустимый размер позиции), получим прибыль $4 056.20/2.3 * 0.1 = $176.36 и swaps = $5.15. Такие результаты имел бы ордер, открытый объемом 0.1 лот. Проделаем такую операцию с результатами всех сделок и получим нормализованные результаты (Normalized Profits, NP).

Первое, что приходит в голову, — найти значения Correlation(NormalizedProfits, MAE) и Correlation(NormalizedProfits, MFE), и сравнить их с первоначальными Correlation(Profits, MAE) и Correlation(Profits, MFE). Если разница между параметрами будет значительна, то, возможно, примененный метод управления капиталом существенно изменил первоначальную систему. Говорят, что применение ММ (Money Management) может «убить» прибыльную систему, но не превратит проигрышную систему в выигрышную. На Чемпионате счет TMR явился редким исключением, когда изменение значения Correlation(NormalizedProfits, MFE) c 0.23 до 0.63 позволило остаться в плюсе.

Как оценить агрессивность стратегии?

Мы можем извлечь еще большую пользу из нормализованных сделок для измерения степени влияния примененного метода управления капиталом. Очевидно, что если размеры открываемых позиций увеличить в 10 раз, то и конечный результат будет отличаться от первоначального в 10 раз. А если увеличивать размеры сделок не в заданное число раз, а в зависимости от текущей ситуации? Результаты, полученные управляющими фондами, принято сравнивать с неким эталоном, обычно — с каким-либо фондовым индексом. Коэффициент Beta показывает, во сколько раз сильнее изменяется торговый счет по сравнению с индексом. Если в качестве индекса мы возьмем нормализованные сделки, то сможем узнать, во сколько раз волатильнее стали результаты сделок по сравнению с первоначальной системой со сделками в 0.1 лот.

Итак, сначала мы вычислим ковариацию cov(Profits, NormalizedProfits). Затем — дисперсию нормализованных сделок, обозначив последовательность нормализованных сделок как NP. Для этого мы найдем математическое ожидание нормализованных сделок, которое обозначим как M(NP). M(NP) показывает результат средней сделки для нормализованных сделок. Затем найдем сумму квадратов отклонений нормализованных сделок от M(NP), то есть просуммируем величины (NP-M(NP))^2. Полученную сумму разделим на количество сделок и обозначим как D(NP). Это и есть дисперсия нормализованных сделок. Разделим ковариацию между измеряемой системой Profits и эталонным индексом NormalizedProfits cov(Profits, NormalizedProfits) на дисперсию индекса D(NP) и получим значение параметра, которое позволит нам оценить, во сколько раз сильнее колеблется торговый капитал от результатов оригинальных сделок (сделок на Чемпионате) по сравнению с нормализованными сделками. В «Отчетах» Чемпионата этот параметр назван Money Compounding и в какой-то степени является показателем агрессивности торговли.

где:
Profits — результаты сделок;
NP — нормализованные результаты сделок.
M(NP) — среднее от нормализованных сделок.

Теперь мы можем взглянуть на таблицу участников Чемпионата Automated Trading Championship 2006 немного другими глазами.

# Логин LR Standard error, $ LR Correlation Sharpe GHPR Z-score (%) Money Compounding Прибыль, $
1 Rich 6 582.66 0.81 0.41 2.55 -3.85(99.74) 17.27 25 175.60
2 ldamiani 5 796.32 0.64 0.21 2.89 -2.47 (98.65) 28.79 15 628.40
3 GODZILLA 2 275.99 0.9 0.19 1.97 0.7(51.61) 16.54 11 378.70
4 valvk 3 938.29 0.89 0.22 1.68 0.26(20.51) 40.17 9 819.40
5 Hendrick 3 687.37 0.79 0.24 1.96 0.97(66.8) 49.02 9 732.30
6 bvpbvp 9 208.08 0.58 0.43 12.77 1.2(76.99) 50.00 8 236.00
7 Flame 2 532.58 0.75 0.36 3.87 -2.07(96.06) 6.75 7 676.20
8 Berserk 1 943.72 0.68 0.20 1.59 0.69(50.98) 17.49 7 383.70
9 vgc 905.10 0.95 0.29 1.63 0.58(43.13) 8.06 6 801.30
10 RobinHood 109.11 1.00 3.07 1.74 N/A (N/A) 41.87 5 643.10
11 alexgomel 763.76 0.95 0.43 2.63 1.52(87.15) 10.00 5 557.50
12 LorDen 1229.40 0.8 0.33 3.06 1.34(81.98) 49.65 5 247.90
13 systrad5 6 239.33 0.66 0.27 2.47 -0.9(63.19) 42.25 5 141.10
14 emil 2 667.76 0.77 0.21 1.93 -1.97(95.12) 12.75 4 658.20
15 payday 1686.10 0.75 0.16 0.88 0.46(35.45) 10.00 4 588.90

Стандартная ошибка отклонения от линейной регрессии баланса LR Standard error у Победителей Чемпионата была не самая маленькая. В то же время графики баланса у большинства прибыльных экспертов были достаточно гладкими, так как значения LR Correlation не так далеки от 1.0. Показатель Шарпа в основном был в диапазоне от 0.20 до 0.40. Единственный эксперт с экстремальным значением Sharpe Ratio=3.07, как оказалось при ближайшем рассмотрении, имеет не самые лучшие показатели MAE и MFE.

Среднее геометрическое сделки в основном располагается в диапазоне от полутора до трех процентов. При этом победители имеют не самые большие значения GHPR, но и не самые малые. Эстремальное значение GHPR=12.77% опять говорит нам об аномалии в торговле, и мы видим, что этот счет испытывал самые большие колебания с LR Standard error=$9 208.08.

Z-score не дает нам каких-либо обобщений о первых 15 участниках Чемпионата, но большие значения |Z|>2.0 могут привлечь наше внимание к истории торговли, чтобы разобраться в природе зависимости между сделками на счете. Так, мы уже знаем, что Z=-3.85 для счета Rich’а на самом деле достигнут за счет одновременного открытия трех позиций, а как дело обстоит на счете ldamiani?

Колонка Money Compounding также имеет широкий диапазон значений от 8 до 50. Причем, значение 50 является максимальным для чемпионата, так как размер максимально допустимой сделки составлял 5.0 лота, что в 50 раз больше размера 0.1 минимального лота. Но, как ни странно, этот параметра не самый большой у победителей, первые три места имеют значения 17.27, 28.79 и 16.54. Неужели победители не в полной мере использовали максимальный разрешенный размер торговых сделок? Но нет же, использовали. Вероятно, дело в том, что примененные методы управления размером позиций не так сильно увеличили риски на торговом счете при общем увеличении размеров контрактов. То есть мы наглядно увидели, насколько система управления капиталом важна для торговой системы.

На 15-м месте находится счет payday. Советник, торговавший на нем, из-за небольшой ошибки в коде не мог открывать сделки с объемом более 1.0 лота. А если бы этой ошибки не было и размеры позиций были бы увеличены в 5 раз до 5.0 лота, увеличилась бы в той же пропорции и прибыль с $4 588.90 до $22 944.50? Занял бы он второе место на Чемпионате или пережил бы непоправимый DrawDown из-за возросших рисков? А может, первое место занял бы alexgomel? Его советник также торговал только 1.0 лотом. Или победа могла бы достаться vgc, эксперт которого чаще всего открывал сделки с объемом менее 1.0 лота. Все трое имеют хорошие показатели плавности хода графика баланса. Как видите, интрига Чемпионата не исчезла даже с его окончанием!

Заключение: Не выплеснуть ребенка вместе с водой

Сколько людей — столько и мнений. В этой статье приведены лишь самые общие подходы к оценке торговых стратегий. Можно придумать еще множество критериев, призванных оценивать результаты торговых операций. Каждая характеристика в отдельности не может дать полной и объективной оценки, но совокупность характеристик поможет нам избежать однобокого подхода в этом деле.

Можно сказать, что любой положительный результат (прибыль, полученную на достаточной последовательности сделок) мы можем подвергнуть дополнительному «допросу с пристрастием», дабы выявить негативные моменты в процессе торговли. То есть все эти критерии не столько могут охарактеризовать эффективность данной торговой стратегии, сколько, скорее, сообщат нам о слабых местах в торговле, на которые мы должны обращать внимание, не удовлеторяясь абсолютным конечным результатом — чистой прибылью, полученной на торговом счете.

Да, идеальной торговой системы не добиться, и в каждой торговой системе можно найти не только положительные стороны, но и жирные минусы. Критерии оценки нужны не для того, чтобы безапелляционно забраковать некий торговый подход, а для того чтобы знать, в каком направлении двигаться при разработке торговых систем и экспертов. В этом отношении статистика, накопленная на Чемпионате Automated Trading Championship 2006, является большим подспорьем для каждого трейдера.

Математика и трейдинг

После того, как не смог даже примерно понять розовую формулу, решил сказать вам правду матушку.

Несколько лет назад, я молился на математику, считал ее граалем и единственным способом заработать в трейдинге. Я открывал Ширяева и понимал, что мне точно ничего не светит, так как я не мог понять и абзаца из этих талмудов.

Я отлавливал в коридорах успешных трейдеров, который закончили физматы, маттехи и прочие университеты и выспрашивал у них значение математики в их трейдинге. И каждый раз получал ответ, что нет там особо никакой математики. Конечно же я не верил. Обманывают, суки, был уверен я.

В итоге, запустив свои логические алгоритмы и заработав первое приличное бабло, мы пустились в глубины Канторовича и Эндрю Пола и взяли на аутсорс хорошего математика. Модели были прекрасны. От взгляда на логарифмы и интегралы кружилась голова. Чуствовалось, что вот оно, скорое богаство!

Как вы и догадываетесь, все эти навороченные матмодели, дававшие красивый результат в Маткаде в реале или дико лосили либо были хуже уже существующих логических алгоритмов.

Я согласен с Серегой Васильевым, что тут идет подмена понятий. Среди успешных трейдеров повышенный процент выпускников крутых вузов, не потому что их там научили каким то супер моделям, а потому, что там в принципе очень высокий процент людей с IQ сильно выше среднего.

К чему это я. А к тому, что если вместо физики процесса, здравого смысла и понимания, откуда берется бабло на рынке или в стратегии, вам подсовывают логарифмы и интегралы, то скорее всего там рыбы денег нет. Вся эта байда — флунктуационный шум, который очень хорошо работает на истории, но столкнувшись с реальностью теряется и не дает особого преимущества, как и так называемый теханализ.

Хорошая новость, что если вы не поняли 5 страниц математических формул, не сцыте, все равно можно заработать). Лично я в них вообще не понимаю ничего и мне лень разбираться, так как не вижу, чем мне это поможет.

Плохая новость, что, к сожалению, быть толковым обязательно. Среди известных мне суперуспешных трейдеров все охуеннно умные. Причем многие не математики вообще, просто умные. По жизни. Мне жаль. Если хотите разбогатеть, покупая торговые сигналы или на семинарах по психологии, то жаль вдвойне.

Торговая математика для Форекс

Довольно часто опытные спекулянты оценивают финансовые рынки как случайные процессы и работают преимущественно с вероятностями. Разумеется, узнав об этом, новички также пытаются применить в торговле свои воспоминания из курса высшей математики, в результате чего появляются различные математические стратегии форекс.

К сожалению, подобные решения приводят в лучшем случае к потере времени, в худшем – крупных сумм. Дело в том, что под «математическими» системами понимается, как правило, мартингейл, который является самым примитивным подходом к управлению случайным процессом и не имеет ничего общего со сложными регрессионными моделями и статистическими выкладками.

Поэтому, так как новички этой темой интересуются из поколения в поколение, сегодня рассмотрим преимущества и недостатки мартингейла как системы. Прежде всего, напомним, данная методика пришла на финансовые рынки из казино, точнее из игорных домов. Точная дата её реального практического применения достоверно не известна, но, если грубо округлить оценки, то появилась она на стыке 18 и 19 веков, а широкую популярность обрела в 20 веке.

В общем случае, это такая стратегия в азартной игре, которая после каждого нового проигрыша удваивает ставку до тех пор, пока не будет получен выигрыш. Таким образом, игрок несёт неограниченные риски, но выиграть может только сумму, эквивалентную начальной ставке в серии. Подобный подход получил название «базовый мартингейл», который неопытные спекулянты и пытаются применить на рынке.

Важные нюансы, которые необходимо учесть, изучая математические стратегии форекс

Судя по опросам на независимых форумах, слив депозита чаще всего становится следствием использования мартингейла. Разумеется, многие обвиняют дилинговые центры (далее ДЦ) в недобросовестной работе, но, на самом деле, ДЦ в данной ситуации честны как никогда, и во всех своих бедах трейдер виноват сам. Ниже постараемся рассмотреть основные ошибки новоиспечённых «математиков».

Самое главное и фатальное заблуждение теоретиков заключается в попытках перенести принцип «монетки» (или красное-чёрное) на математические стратегии форекс без поправок и модификаций, что неверно в корне. Для ответа на вопрос, почему подобный подход недопустим, снова обратимся к истории.

Изначально в игровой рулетке было только два поля чёрное и красное, соответственно, с точки зрения теории вероятности, исходы подбрасывания монетки и ставки в казино были полностью идентичные, т.е. в каждом отдельном испытании вероятность успеха составляла 50%. Результатом такой игры при постоянной ставке является следующая кривая:

Для того чтобы условный пример оказался сопоставимым с торговлей, начальный депозит был определён в размере 100$, а риск на одну ставку ограничен 1$, т.е. 1% от депозита. Казалось бы, вот он грааль, ведь теоретически, даже без наращивания ставки можно получать прибыль. Но не тут-то было, позже в игорных заведениях в шкалу рулетки был добавлен бесцветный нуль, который на дистанции нейтрализовал подобные системы, так как вероятность успешного исхода стала менее 50%.

С этого момента началась история эволюции мартингейла, ведь без увеличения ставок удержаться на плаву уже стало невозможно. При этом, даже если пренебречь нулём, в представленном выше примере на одном из участков было зафиксировано 7 непрерывных проигрышей, это значит, что если удваивать ставку после каждой неудачи, получим следующую последовательность убытков: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64. Фактически, средств не хватит даже на открытие последнего колена.

Где мартингейл показывает лучшие результаты — в казино или на форексе?

Итак, если кратко подвести итог, то для азартной игры в рулетку можно сформулировать две особенности, во-первых, вероятность выигрыша в единичном испытании составляет менее 50% за счёт нуля, во-вторых, исход в каждом новом испытании не зависит от прошлых результатов, т.е. автокорреляция отсутствует, если конечно в заведении не используются мошеннические схемы.

Отметим, что математические стратегии форекс подвержены данным факторам в большей степени, в частности, в роли нуля, снижающего вероятность выигрыша на валютном рынке, выступает спред и комиссия ДЦ, при этом они присутствуют абсолютно в каждой сделке вне зависимости от того, прибыльная она или убыточная. На рисунке ниже представлен пример случайного процесса без удвоения сделок, результат опытов которого скорректирован на возможные потери на комиссию:

Кроме этого, в подавляющем большинстве случаев, убыточные сделки являются контртрендовыми, поэтому дальнейшее увеличение лота против преобладающей тенденции только усугубляет ситуацию. Данная ситуация является следствие упомянутой выше автокорреляции, когда каждые новые значения ряда зависят от предшествующих, что создаёт множество проблем при поиске повторных сигналов. Таким образом, мартингейл на финансовых рынках в чистом виде неприемлем.

Математические стратегии форекс на практике

Как уже становится понятно из проделанных экспериментов, идею применения «базового мартингейла» необходимо отбросить сразу, но если присмотреться внимательнее, то найти применение данному подходу всё-таки можно в двух случаях, первый из которых – это дополнение к уже существующей системе.

Предположим, что у трейдера есть некая прибыльная система (в качестве примера можно взять любую из раздела «Торговые стратегии»), предусматривающая однозначные правила для заключения сделок и установки стоп-лоссов, но математическое ожидание которой не устраивает спекулянта. Для решения этой проблемы и приходят на помощь математические стратегии форекс.

На первом этапе оптимизации алгоритма необходимо собрать статистику отработки сигналов по основной системе за продолжительный период (от шести месяцев и более). Далее рассчитывается средняя продолжительность серий из убыточных ордеров, а также самая длинная серия убытков. При этом издержки на спреды и комиссии также должны учитываться в финансовом результате.

И на заключительном этапе необходимо подобрать параметры для управления риском, которые становятся актуальными сразу после того, как была зафиксирована средняя серия убытков, например, если в среднем по системе вероятность зафиксировать четыре стоп-лосса подряд низкая, то после трёх убыточных ордеров в новой сделке разумно увеличить объём. Мультикоэффициент при этом не обязательно должен быть двойным, допустимо использовать и более консервативные варианты.

На рисунке выше представлен второй вариант применения мартингейла, т.е. усреднение в области появления сигнала. В данном случае предполагается, что первый ордер открывается минимальным объёмом, после чего объём сделки наращивается по мере движения цены против позиции.

При этом стоп-лосс устанавливается одновременно с первым ордером, а риск на совокупную позицию (с учётом усреднений) не должен нарушать правила манименеджмента. Во всех остальных случаях доливки с умножением лота приводят к обнулению счёта и не могут называться полноценными стратегиями. Источник: Dewinforex

Математические стратегии Форекс

Представьте, что Вам задали вопрос: хотите ли Вы получить прямо сейчас уникальную стратегию, профитность которой будет составлять 100%, т.е. стратегия постоянно будет приносить доход? Мы более чем уверены, что Вы ответите «Конечно».

И чтобы долго не тянуть с ответом, скажем, что такие математические стратегии Форекс на самом деле есть и удачно функционируют. Один из ярких примеров – это стратегия Мартингейла, которую разработали и стали активно использовать еще в 18 веке.

Как и все математические стратегии Форекс, Мартингейл так же имеет и недостаток: чтобы методика успешно работала, у трейдера Форекс должны быть действительно «широкие карманы». Только, если быть честными, никто пока не обладает неисчерпаемыми запасами (иначе его быть здесь не было), поэтому даже один проигрыш по Мартингейлу может привести к полному банкротству. Да и риск частенько, бывает выше, чем профит.

Давайте разберемся, что же это за математические стратегии работы Форекс?

Смысл стратегии Мартингейла состоит в следующем: как только Вы начали делать ставки и вдруг замечаете, что проигрываете, следующую свою ставку нужно увеличить в два раза. В случае выигрыша эта ставка перекроет предыдущий проигрыш. Подобные математические стратегии Форекс похожи на игру с обычной монеткой.

Вы подбрасываете монетку вверх и ждете, что Вам выпадет Орел. Вероятность этого составляет 50%. Вторые 50% – это вероятность того, что выпадет Решка. Вероятность того, что монетка упадет на ребро мизерно мала, поэтому не будем ее рассматривать.

1 доллар Вы ставите на Орла. И если выпадает Решка, Вы уже ставите 2 доллара на Орла. Опять выпадает Решка – ставите три доллара на Орла.

Ставите еще раз на Орла, теперь только 4 доллара. Когда Вам, наконец, выпадает долгожданный результат, в выигрыше Вы имеете 1 доллар. Так работают многие математические стратегии Форекс.

Конечно, вариант банального невезения так же не стоит исключать, в результате которого можно оказаться банкротами. Поэтому тем, кто рассматривает математические стратегии работы Форекс, нужно иметь не маленький депозит.

Как использовать математические стратегии Форекс в торговле?

Если еще раз рассмотреть вышеописанный пример, то Вы, наверное, отметите, что вся эта длинная череда неудач – явление весьма редкое. Однако, на рынке Форекс, когда дело касается валюты, все меняется. И многие математические стратегии работы на Форекс основаны на таком торговом процессе.

Валютные инструменты всегда будут стремиться к тренду. Сам тренд Форекс может быть как коротким, так и длиться довольно продолжительное время. Если торговать неправильно, можно довольно сильно ощутить удар по кошельку.

Стратегия Мартингейла призывает торговать на «удваивание вниз». Это значит, что Вы можете сами снизить себе среднюю цену, чтобы войти в рынок.

И это будет продолжаться о тех пор, пока Вы не достигните безубыточной зоны. Чем больше слотов у Вас будет открыто, тем меньше будет средний показатель для совершения входа.

К слову, это еще одно доказательно того, что практически все математические стратегии работы на Форекс требую немалых вложений.

Почему же математические стратегии Форекс популярны?

Пожалуй, одна из причин, по которой подобные стратегии Форекс не теряют актуальности, состоит в том, что на финансовом рынке цена просто не может достигнуть нулевой отметки.

Чтобы цена упала до нуля, в мире должно произойти действительно что-то катастрофическое. Суть математических стратегий заключается в том, что цена попросту не способна постоянно пребывать в одинаковом диапазоне. Есть волатильность валютных пар Форекс, и цена обязательно будет выходить за границы диапазона.

Помимо этого, в наше время многие компании постоянно модернизируют данные стратегии, привнося в них новые возможности в плане технического анализа.

Сегодня периодически выпускаются специальные платформы для того, чтобы верно определять рыночные сигналы. И все же, в основе многих математических стратегий лежит все тот же старый добрый Мартингейл.

Все самое лучшее от Академии
только нашим подписчикам

Математика на рынке Форекс

По какой-то причине некоторые из новичков утверждают, что знания, полученные в высших учебных заведениях, им никак не пригодились на валютном рынке. Конечно, занятий по трейдингу в государственном ВУЗе не встретишь, это правда. Только не одни навыки торговли могут пригодиться на Forex, еще желательно иметь представление о статистике, а так же о некоторых математических параграфах.

Например, если посмотреть на технический анализ, то многие построения и фигуры это есть не что иное, как геометрия. В то же время, расчеты рисков при настройке ММ так же являются математическими действиями. Получается, что не так уж бесполезны, полученные нами ранее знания.

Даже экономика дает меньше полезной информации валютному спекулянту, чем теория вероятностей и математика. Весь рынок это и есть последовательность значений цены во времени. Графическое отображение изменения цены является предметом анализа.

Любые стратегии основаны на статистике, собранной трейдером. Весь технический анализ это история, которая и дает нам необходимые данные для прогнозирования будущего. Вероятность наступления того или иного события, опять же, может рассчитываться с помощью наших знаний, полученных ранее. Все это почему-то упускается из виду, когда люди пренебрежительно говорят о знаниях, полученных вне рынка.

На Forex существует большое количество математических моделей, используемых трейдерами в своей работе. Даже если взять любимый многими начинающими спекулянтами Ilan, ведь это и есть математическая модель в чистом виде. Здесь нет, как таковых, условий рынка, закономерностей и так далее. Трейдер постоянно в той или иной степени использует математику для своих целей, при этом, не забывая жаловаться, что ему совершенно негде было учиться торговле на валютном рынке. Да, многие знания спекулянт получит только на Форекс, но он при этом может использовать то, чему уже научился.

Применение математики в трейдинге

Все индикаторы представляют собой математические формулы, рассчитывающие значения программы. Советники написаны на языке программирования, но по математическим алгоритмам, как и скрипты. Получается, что математика занимает важное место в трейдинге, если начать детально рассматривать все процессы, с которыми сталкивается валютный спекулянт.

Как мы видим, привычные вспомогательные материалы, которыми многие уже привыкли пользоваться, есть ни что иное, как математические вариации. Разбираясь в статистике, человек уже упростит себе работу, связанную с тестированием и оптимизацией торговых систем, например.

На Форекс тоже никто не разбежится рассказывать нечто полезное для торговли, так что, остается лишь полагаться на себя, используя все нам доступное. В итоге, пренебрегая тем, чему уже учились, мы часто стремимся найти что-то принципиально новое, что волшебным образом повысит эффективность нашей торговли.

Блог ArtiCOOLa
Отзывы

Какой вариант работы с бинарными опционами можно считать наиболее упрощенным

Обзор самых хороших и удобных брокеров для начала работы с бинарными опционами

Оценка рисков инвестирования на Forex.

© 2013-2020 RATINGS Forex, Все права защищены

Математические досуги начинающего трейдера

Данная статья изначально была написана для сайта sMart-Lab.ru, замечательного сообщества людей, интересующихся торговлей на финансовых рынках. (Кое-кто вроде как даже этим зарабатывает 😉 Однако из-за технических сложностей публикации большой статьи с картинками, формулами, таблицами на блогерском сайте я решил выложить её здесь, у себя.

Идея небольшого математического исследования возникла у меня на мероприятии под названием «финансовый супермаркет». Меня заинтересовал один вопрос, о котором я расскажу чуть ниже. Не скажу, что по нему мне удалось получить какие-то выдающиеся результаты. Зато графики, что я нарисовал, на мой взгляд, очень наглядно демонстрируют то, как законы теории вероятностей работают в трейдинге, а также принципы управления рисками. Поэтому, я решил поделиться ими с сообществом.

Эффективность финансовых рынков и статистическое преимущество.

Раньше мне казалось, что самая главная и нетривиальная задача трейдера — это придумать торговую систему, такую, чтобы она давала хотя бы минимальное статистическое преимущество. А дальше вроде бы всё просто: вычислить оптимальный уровень риска и строго следовать правилам своей системы. Именно об этом этапе мы и поговорим. Увы, здесь тоже есть свои сложности. И связаны они не только с психологией, о которой так любят рассуждать. Математика нам покажет, что психологические проблемы буквально вытекают из теории вероятностей.

Вообще, человеческая психика очень плохо приспособлена справляться со случайными событиями. Действительно, как мы обычно обучаемся некому делу? Сначала, конечно, изучаем, собираем информацию, смотрим, как это делают другие. Но это всего лишь предварительная стадия. По-настоящему обучение начинается, когда мы сами пытаемся что-то сделать. Получилось хорошо – замечательно, запомнили это, дальше будем стараться делать также. Получилось плохо – ну ладно, будем пытаться делать как-то по-другому. И так далее, пока не получатся более-менее приемлемые результаты. Хотя можно и до бесконечности, благо совершенству нет предела 🙂

В трейдинге же всё по-другому. Все современные финансовые рынки высокоэффективны. Что это означает для трейдера? То, что большая часть движений рынка определяется совершенно случайными факторами, и лишь в некоторых из них можно выделить некую закономерность. Играть против случайного движения цен – абсолютно бесполезно. Можно математически строго доказать, что если движение цены полностью случайно, никакая стратегия не может приносить прибыль. (Но мы не будем здесь углубляться в эту теорию, лучше обсудим вопросы более близкие к практике) Поэтому задача трейдера – выделить хоть какую-нибудь закономерность среди случайностей. Именно это и позволяет заработать.

Но отсюда же вытекает, что результат одной конкретной сделки практически ничего не значит. Если ты получил убыток – это ещё не значит, что ты что-то сделал неправильно, возможно тебе просто не повезло. Наоборот, иногда можно умудриться заработать, даже наделав глупостей, просто благодаря удачному стечению обстоятельств. Значение же имеет суммарный результат многих сделок, совершённых за длительный период времени. Увы, человеческий мозг не имеет функционала для ведения статистики.

Именно поэтому так важна выработка системы. Она даёт способ обойти данное ограничение человеческого мышления. Если система даёт прибыль – это хорошо, можно думать о том, как её улучшить. Если убыток – плохо, надо от неё отказаться, либо что-то изменить. То есть мы возвращаемся к привычному способу мышления.

Небольшое отступление. Об эффективности рынка Forex. На упомянутом «финансовом супермаркете» Тимофей Мартынов (основатель и хозяин sMart-Lab) высказал утверждение, что рынок Forex – крайне высокоэффективен, а следовательно, трейдеру на нём делать нечего. С первой частью утверждения не поспорить. Но вот вывод, на мой взгляд, сделан неверный. Эффективность Forex особенно сильно проявляется на небольших временных интервалах, внутри дня и меньше. Но на больших интервалах уже начинают сказываться фундаментальные факторы, и чем больше, тем соответственно сильнее. Поэтому, чем большими временными интервалами оперирует ваша система, тем большего статистического преимущества вы можете достичь. Лично у меня начало что-то понемногу получаться, когда я перестал пытаться играть внутри дня и перешёл на периоды от нескольких дней до недели. Впрочем, я пока только отрабатываю свою систему.

Проблема Forex в другом, в серости рынка Forex услуг, и громадном уровне мошенничества. Уже вошло в притчу во языцех, что большое количество Forex-контор – откровенные кухни-мошейники, кровно заинтересованные в вашем разорении. И могут ли здесь вообще быть честные фирмы? Некоторые активно декларируют, что они ведут честный бизнес и заинтересованы в том, чтобы он стал цивилизованным, прозрачным и регулируемым. Очень хотелось бы в это верить! Но на сегодняшний момент, то, отдаст ли вам такая фирма вашу прибыль или попросту кинет, зависит только её доброй воли, и больше ни от чего. Признайтесь, только честно, если у вас будет возможность украсть, и вы будете точно знать, что вас за это гарантированно никто не накажет, надолго ли хватит вашей честности? Вот-вот, боюсь, что с «честными» форекс-брокерами дела обстоят примерно также 🙁

И всё-же, не смотря на то, что с Forex действительно много проблем, заявлять, что сам этот рынок фундаментально устроен так, что на нём в принципе невозможно заработать – всё-таки перебор. Впрочем, это всё равно не повод лезть туда, особенно со значительными суммами! Может быть в будущем этот рынок станет более цивилизованным…

Так что не подумайте, что я тут собрался агитировать за Forex. Так уж получилось, что сам я начал именно с него. И пока продолжаю торговать маленькими суммами, в основном для обучения и исследования. Планирую в дальнейшем взяться за изучение рынка акций, но пока не могу выделить для этого достаточно времени. Я и эту статейку никак не мог дописать несколько месяцев 🙁 В этой статье я буду иногда приводить примеры, связанные с Forex, но лишь потому, что этот рынок я успел в некоторой степени изучить. Тема же статьи касается в равной степени всех финансовых рынков.

Пожалуй, единственно, что я могу сказать в пользу Forex, по собственному опыту – это его польза для обучения. По крайней мере, от иллюзий начинающих он избавляет очень быстро.

Вопрос о соотношении прибылей и убытков в торговой стратегии.

Теперь расскажу о вопросе, который заинтересовал меня и побудил провести небольшое математическое исследование. Все мы конечно хотим получать прибыль часто и помногу, а убытки, чтобы были редкими и маленьким. Увы, поскольку на значительное статистическое преимущество рассчитывать не приходится, реальная торговая система будет принадлежать к одному из трёх условных классов:

  1. Редкие крупные выигрыши, но частые небольшие проигрыши.
  2. Промежуточный вариант, где прибыльные сделки случаются лишь чуть-чуть чаще проигрышных и прибыль в удачной сделке лишь чуть больше убытка от неудачной.
  3. Частые небольшие выигрыши и редкие, но довольно существенные проигрыши.

В принципе, ничто вроде бы не мешает торговой системе принадлежащей к любому из этих классов быть прибыльной. Главное, чтобы суммарное математическое ожидание прибыли было больше, чем убытка. Скажем, если у нас в среднем только 1 сделка из 10 приносит прибыль, но она в 12 раз больше убытка от неудачной сделки, такая система позволяет получать прибыль. Тем не менее, большинство экспертов в один голос твердят, что их прибыльные стратегии принадлежат только к первой категории. В частности, на том же «финансовом супермаркете» это повторили и Резвяков, и Герчик, да кажется и Тимофей об этом упомянул. Более того, большинство экспертов даже хором отговаривают от попыток сделать иначе. Меня заинтересовал вопрос: почему? Не стоит ли за этим какой-то фундаментальный принцип? Или всё дело в психологии? Поэтому, я решил поднапрячь мозги и вспомнить, чему меня учили на теории вероятностей. Может быть, в ней найдётся некое фундаментальное свойство дающее преимущество таким стратегиям?

Честно говоря, меня этот вопрос заинтриговал как раз в связи с моим интересом к Forex. У меня сложилось впечатление, что здесь классические стратегии в стиле «дай прибыли расти» работают как-то не очень хорошо.

У математиков обычно принято рассматривать «сферических коней в вакууме» 🙂 То есть некую упрощённую модель, сходную с реальными вещами лишь в самых важных для конкретного исследования вещах. Поступим также и мы. Мы будем рассматривать абстрактную торговую стратегию, как некую азартную игру, вероятность выигрыша и проигрыша в которой заранее известна, так же как и ожидаемый размер выигрыша или проигрыша. Для простоты мы будем полагать, что относительный размер выигрыша и проигрыша фиксирован (то есть как если мы сразу устанавливаем стоп-лосс и тайк-профит, и ждём пока один из них не сработает). В реальных условиях вероятность выигрыша обычно если и известна, то весьма приближённо, но это мы ещё обсудим подробно ниже. Также позднее мы ещё вернёмся к вопросу о том, в чём метафора азартной игры не совсем адекватна реальному трейдингу. Главное в этой модели, она очень просто и наглядно иллюстрирует роль вероятности в трейдинге.

Знаю, многие трейдеры очень не любят, когда их работу сравнивают с азартной игрой. И не зря, поскольку это имеет большое значение с точки зрения психологии. Опыт многих показывает, что отношение к трейденгу, как к игре, а не как к серьёзной работе, всегда приводит к проигрышу. Но у меня сейчас другая задача, проиллюстрировать роль законов вероятности, которая неизбежно присутствуют в работе любого трейдера. И кстати, их влияние на психологию мы тоже обсудим. И «азартная игра» в данном случае – не более чем удобная математическая модель.

Чтобы не быть совсем уж абстрактным, и сделать результаты максимально наглядными, я решил взять 3 стратегии с конкретными параметрами, принадлежащие разными категориям. Я выбрал следующие параметры, где P – это вероятность выигрыша, а F – отношение прибыли в случае выигрыша, к убытку в случае проигрыша:

Забегая вперёд, я скажу, что специально подобрал параметры F так, чтобы потенциальная доходность этих стратегий была примерно одинакова. Чуть позднее я расскажу, как вычислить доходность по этим параметрам.

Обратите внимание, я взял такие параметры, чтобы статистическое преимущество было не очень большим, но и не совсем уж маленьким. Например, для промежуточной стратегии, где вероятность профита и лося одинакова, я задал размер прибыли на 30% больше, чем убытка. Интуитивно кажется, что это не так уж и мало. Ниже мы посмотрим, какую реальную прибыль может дать стратегия с такими характеристиками. В любом случае, эти значения выбраны исключительно ради наглядности. И поскольку я привожу формулы, любознательный читатель может сам подставить в них свои параметры и посмотреть, что получится.

Математика случайности и закономерности.

Начнём с того, что рассмотрим лишь первый параметр, вероятность. В отличие от азартной игры, где вероятность, как правило, можно вычислить просто из правил этой игры, для торговой стратегии этот параметр заранее неизвестен. Его можно лишь оценить по результатам многих сделок. (Или по результатам моделирования на исторических данных) А теперь, внимание, вопрос! Как, по-вашему, сколько нужно сделок, чтобы судить об этом параметре хотя бы приблизительно? А сколько нужно, чтобы оценить его более-менее точно? Иначе говоря, сколько требуется сделок совершить, чтобы нейтрализовать случайность?

Когда я сделал расчеты, то понял, что его результаты лишь отчасти совпадают с тем, что я ожидал исходя из своих ощущений и здравого смысла. Действительно, первая стратегия даёт выигрыш в среднем 1 раз из 10. Так что наверно 10 попыток будет маловато, чтобы оценить её на практике. А вот по 20 сделкам наверно уже очень грубо можно о чём-то судить. А 100 сделок – это уже хорошая статистика. Так мне, по крайней мере, казалось…

Далее, я считал, что промежуточная стратегия должна в этом смысле иметь преимущество. Поскольку выигрыши и проигрыши в ней должны происходить одинаково часто, должно быть, что уже небольшое число попыток должно дать неплохую статистику. А теперь посмотрим, что скажет об этом математика.

Итак, если вероятность выигрыша составляет P, и мы совершили N сделок, то математическое ожидание числа выигрышных сделок по определению составляет PN. Но в реальности число выигрышей вовсе не обязательно совпадает с матожиданием (даже, как правило, не совпадает), оно может быть как больше, так и меньше. Но чем сильнее число k выигрышных сделок отличается от PN, тем меньше вероятность такого исхода событий. А именно, вероятность того, что ровно k сделок из N окажется удачными, описывается следующей несложной формулой:

Чтобы читающие это гуманитарии не решили, что я издеваюсь, называя эту формулу несложной, объясню вкратце, как она получается. Как мы условились, наша единичная сделка может завершиться двумя способами: прибылью либо убытком. По определению, сумма вероятностей всех вариантов должна быть равна 1. Поэтому, если вероятность выиграть равна P, то вероятность проиграть составит 1-P. Далее, теория вероятностей учит нас, что вероятность некоего события происходящего в несколько независимых этапов равна произведению вероятностей каждого из этих этапов. Соответственно, чтобы вероятность того, что реализуется некая последовательность сделок, k из которых завершились удачно, а N-k наоборот, нам надо k раз перемножить P и N-k раз перемножить 1-P. В виде формулы это выглядит:

Так мы получили первую половину нашей формулы.

Неискушённый читатель возможно уже удивляется, а зачем там вообще вторая половина, которая с факториалами. Дело в том, что формула (2) описывает вероятность некой конкретной последовательности сделок. Скажем, мы совершили 10 сделок, из них удачными оказались вторая и четвёртая, остальные неудачными. Но она может быть и другой, например мы выиграли в седьмой и восьмой позиции, а остальные проиграли. Результат в обоих случаях одинаков, 2 удачные сделки из 10, а последовательности разные. Поэтому, чтобы вычислить полную вероятность получить прибыль в k сделок из N, надо формулу (2) помножить на число способов выбрать k сделок из общего числа N. Решением подобных задач занимается раздел математики под названием комбинаторика. Она и даёт нам в качестве ответа на эту задачу:

Я бы мог рассказать поподробнее и как вывести формулу (3), но это уже чистая математика, и подозреваю, большинству читателей это покажется неимоверно скучным. Поэтому, перейдём к более интересным и практичным вещам. (К тому же постить формулы сюда весьма неудобно)

Итак, перемножив формулы (2) и (3) мы получаем формулу (1). Давайте теперь посмотрим, как она работает на практике. Положим, мы совершили 20 сделок. Давайте посмотрим, каково будет распределение вероятностей для разных k. Эти распределения для 3 наших стратегий представлены на следующих рисунках. Начнём с первой стратегии, где вероятность выигрыша составляет 10%:

При вероятности 10%, математическое ожидание числа прибыльных сделок из 20 составляет 2 сделки. Что же мы видим? Вероятность такого исхода составляет всего 29%, меньше трети. Вероятность, что нам повезёт всего один раз, почти такая же: 27%. А с вероятностью 12% мы не выиграем вообще ни разу. Перспектива не радует, скажет пессимист, зато оптимист может заметить, что с вероятностью 19% мы можем выиграть 3 раза, и даже есть пусть и небольшой, около процента, шанс выиграть аж 6 раз. А что на всё это может сказать реалист? Полный бардак! Нас самом деле не так важно сколько раз мы недовыиграли или перевыиграли сверх математического ожидания. Всё равно это будет компенсировано в будущих сделках.

А что же действительно важно? В реальности параметр P нам никогда не известен. И определить мы его можем лишь на основании опыта, то есть либо реальных сделок, либо тестирования на исторических данных. И вот положим, мы придумали новую стратегию, для которой P=10% (но мы этого пока не знаем), и совершили по ней 20 сделок. Сможем ли мы получить адекватное представление о её эффективности? Вероятность этого всего 29%, в остальных случаях мы получим либо сильно заниженные, либо наоборот завышенные результаты.

Посмотрим, имеет ли в этом случае какое-либо преимущество стратегия с вероятностью выигрыша 50%:

Не могу сказать, что дела здесь обстоят лучше. Распределение здесь заметно шире. В зависимости от везения мы можем выиграть от 5 до 15 раз, если считать варианты с вероятностью меньше процента практически невероятными.

Как мы видим, вопреки моей интуиции, промежуточная стратегия по большому счёту не даёт преимущества в плане нейтрализации случайности.

И для справки привожу распределение для вероятности выигрыша 90%. Впрочем, оно является зеркальным отражением первого и про него можно повторить всё сказанное выше:

Итак, после 20 сделок мы едва ли получим адекватное представление об эффективности нашей торговой системы. Давайте посмотрим, что будет после 100 сделок. Ниже приведены аналогичные распределения для N=100:

Как и следовало ожидать, распределения стали заметно уже, тем не менее, разброс всё равно достаточно широкий. Таким образом, мы видим, что и после 100 сделок, случайность по-прежнему играет большую роль в наших результатах.

В математике и статистике принято в качестве ширины подобных распределений считать среднеквадратичное отклонение. Посчитаем его:

Здесь я опустил все промежуточные выкладки и привёл только конечный результат. Поскольку наша оценка для P – это k/P, то погрешность этой оценки составит:

Это означает, что наша погрешность в оценке P с ростом N будет изменяться пропорционально , то есть она будет уменьшаться но довольно-таки медленно.

Формула риска

Для чего вообще нам нужно знать P? Причём желательно поточнее. Очевидно для того, чтобы можно было оценить прибыльность нашей системы. К этому мы и переходим. Помнится, Тимофей на «финансовом супермаркете» написал примерно такую формулу для математического ожидания прибыли:

, где Xprofit, Xloss – размер ожидаемой прибыли в удачной и убытка и неудачной сделке, а Pprofit, Ploss – вероятности этих событий соответственно. (Pprofit я обозначаю просто P, а Ploss=1-P) Эта формула совершенно верна, но к реальной торговле не имеет ровным счётом никакого отношения. Почему? Писавший её предполагал, что доход либо прибыль в каждой сделке фиксирована. То есть мы каждый раз вкладываем в позицию одну и туже сумму, и соответственно Xprofit, Xloss являются константами. Но разве так поступает большинство трейдеров? Обычно они реинвестируют полученную прибыль (и убыток тоже), поэтому прибыль или убыток в отдельной сделке оказывается пропорциональна размеру капитала трейдера. Как же мы должны переписать формулу (6), чтобы учесть реинвестирование?

Здесь мы должны ввести ещё один очень важный параметр, уровень риска r, долю капитала, которой мы рискуем, и которую соответственно потеряем в случае неудачной сделки. Как мы сейчас увидим, выбор этого параметра – весьма тонкий вопрос даже в нашем идеализированном случае.

На практике, мы управляем уровнем риска выбирая объём сделки. Допустим, текущая цена Qopen, и наша торговая система говорит, что пора открыть позицию на покупку и установить цены take profit и stop loss в Qtp и Qsl соответственно. Эти параметры обычно определяются торговой системой. Зато объёмом позиции, обозначим его s, мы можем распоряжаться по своему усмотрению. И если наш капитал равен K, то, чтобы наш убыток в случае неудачи составил Kr, мы должны купить:

В реальности s, скорее всего надо будет ещё поделить на размер лота, поскольку объём сделки обычно задаётся не в единицах покупаемого актива, а в лотах. Мне не хочется более подробно останавливаться на всей этой арифметике, поскольку она подробно описывается в любой статье «для чайников». Обращу только внимание, что на практике установка stop loss не всегда гарантирует, что убыток не превысит расчетный. Так называемое «проскальзывание», мелкое жульничество со стороны некоторых Forex-ДЦ, вполне можно включить в формулу (7). Но всегда остаётся проблема гэпов. Как минимум, такую возможность необходимо учитывать. Ниже, я ещё коснусь её, но вообще это отдельная серьёзная тема, про которую впору писать отдельный труд. Поэтому мы пока продолжим обсуждать «сферических коней в вакууме», предполагая, что stop loss всегда срабатывает по указанной цене, и таким образом наши убытки строго ограничены. И будем для простоты считать, что мы полностью свободны в выборе объёма позиции, так что мы можем полностью контролировать уровень риска.

Здесь необходимо сделать ещё одно отступление. Очень часто можно услышать фразы типа: «как можно играть на Forex! Там же ТАКОЕ огромное кредитное плечо. » С рынком Forex действительно есть серьёзные проблемы, я уже кратко писал об этом выше. Но кредитное плечо, тем не менее, тут совершенно не причём. Просто удивительно, почему его превратили в эдакую страшилку. К сожалению, я имел возможность убедиться, что многие повторяющие эту мантру явно не понимают о чём вообще речь. Правда заключается в том, что ни один ДЦ ещё не додумался обязать трейдера использовать это плечо на все 100%. А если придумает, (а при их изобретательности исключать такого нельзя) это будет, несомненно, технологический прорыв в деле развода лохов на бабки 🙂

На самом деле, размер кредитного плеча — глубоко второстепенная величина. Но он опосредованно связан с действительно важным параметром, уровнем риска, тем самым r, о котором мы подробно поговорим ниже. Как видно из формулы (7), чем больше r, тем большую позицию мы должны открыть. Но объём позиции сам по себе ограничен размером нашего капитала. Собственно в отсутствии кредитного плеча мы просто не сможем открыть позицию больше, чем наш капитал. Кредитное плечо даёт возможность увеличить этот объём в число раз равное leverage , то есть размеру этого плеча. Опасность заключается в том, что при этом мы легко можем обеспечить себе такой уровень риска, который будет просто напросто превышать весь наш капитал. И первая же неудачная сделка оставит нас без копейки в кармане. Но повторюсь, никто не обязывает вас поступать столь неразумно. С учётом того, что сейчас об этой ловушке подробно рассказывается буквально во всех книгах и статьях в стиле «Forex для чайников», попасть в неё может только полный … эээ, как бы сказать помягче, а то вдруг кого случайно обижу 🙂 Увы, для человека бросающегося рисковать своими деньгами не разобравшись как следует в правилах этой игры и возможных проблемах, в голову приходят только самые уничижительные эпитеты.

Таким образом, большое кредитное плечо позволяет взять повышенный уровень риска. Но никто и ничто, кроме вашей собственной глупости, не может заставить вас брать риск выше разумного предела. Как определить этот предел? Это не такой уж простой вопрос, некоторые аспекты которого мы обсудим ниже. Однако он актуален для опытного трейдера, уже отработавшего свою стратегию и желающего использовать её максимально эффективно. Для чайника же, рецепт простой: рискуйте по-минимому, ваша первая задача – не заработать, а научится это делать!

Я извиняюсь, если пишу здесь банальные вещи! Но как я заметил, даже на sMart-Lab, для некоторых необходимость контролировать уровень риска является откровением.

Итак, попытаемся оценить прибыльность торговой стратегии исходя из следующих параметров: P – вероятность завершить сделку с прибылью, F – отношение прибыли в случае удачного завершения сделки к убытку в случае неудачи, и r – уровню риска или доли капитала, которой мы рискуем в одной сделке. Мы также для простоты будем считать, что сделки совершаются последовательно, и мы открываем новую позицию не ранее, чем будет закрыта предыдущая. Поскольку в случае неудачи мы теряем долю r от нашего капитала, то изменение капитала в этом случае выражается следующей формулой:

А как изменится наш капитал в случае удачи? Мы условились, что прибыль в F раз больше убытка, а размер убытка задаётся уровнем риска r, и следовательно прибыль составит Fr и мы получаем следующую формулу:

Теперь, пусть мы совершили N сделок. Из них в среднем NP должны быть удачными, и N(1-P) – неудачными. Поэтому формула для математического ожидания величины нашего капитала после N сделок будет следующая:

Сократив из этой формулы N и k, мы получим коэффициент прибыльности одной сделки:

Этот коэффициент характеризует математическое ожидание отношения капитала после сделки к капиталу до неё. Соответственно, если он больше 1, наша стратегия прибыльная, если меньше – убыточная. А чтобы получить привычную нам прибыльность в процентах, мы должны вычесть из этого коэффициента 1 и помножить на 100%:

Я специально описал, как получается формула (11) достаточно подробно. Она конечно выглядит пострашнее формулы (6), но тем не менее гораздо ближе к реальности, пусть и с некоторыми допущениям.

Если мы хотим оценить прибыль на N сделок, надо этот коэффициент возвести в степень N:

Да-да, эта та самая формула экспоненциального роста прибыли, которой так любят соблазнять новичков рекламные статейки из серии «фондовый рынок для чайников», «форекс для идиотов», и т.п. Действительно, график экспоненты взлетает, как ракета, по крайней мере в правой его части. Но похоже, только математики знают, что у экспоненты есть и обратная сторона. В левой части – это пологое плато, прижимающееся к земле. Так что мечты о том, что можно раскрутиться на миллионы начав со $100, весьма далеки от реальности. Возможность играть на такие малые суммы очень полезна для обучения, но не для реального заработка. Если хочешь заработать существенную сумму, то и рисковать приходится существенными для себя деньгами.

Формула (11) интересна тем, что даёт возможность вычислить оптимальный уровень риска. Для иллюстрации, на следующем рисунке представлены графики зависимости коэффициента прибыльности для трёх наших стратегий от уровня риска r. Только по вертикальной оси я отложил не k1, а традиционную прибыльность, получаемую по формуле (12):

Внешне эти кривые похожи на параболы, хотя описываются более сложной степенной формулой (11). Пока риск мал, прибыль растёт почти пропорционально риску, но затем кривая разворачивается и камнем падает вниз, уходя в отрицательную область. Прекрасная иллюстрация того, как важно контролировать уровень риска!

Если поднапрячься, и вспомнить школьный курс математики, из формулы (11) легко можно вычислить r, при котором k1 достигает максимума. (Подсказка: для этого надо вспомнить, что такое производная) Я приведу лишь результат:

Мы получили ни что иное, как знаменитый критерий Келли. О нём немало написано, поэтому я не останавливаюсь здесь ни на этой формуле, ни на её выводе более подробно. (В статьях формула может выглядеть чуть иначе, поскольку её обычно формулируют в терминах ставки в букмекерской конторе, как это собственно и делал Джон Келли) Тем более, как я уже сказал, чтобы вывести формулу (14) из (11) достаточно школьного курса математики. (Уж не знаю, правда, способны ли на такие расчеты современные школьники, всё-таки в моё время в школе учили предметам, а теперь, говорят, учат, как сдавать ЕГЭ 🙂 Тонкость, как ни странно, заключается в самой формуле (11). Хоть она и достаточно проста, многим представляется неочевидной. На первый взгляд, действительно может показаться, что для описания, как азартной игры, так и роли случайности в трейдинге, вполне достаточно формулы наподобие (6). Поэтому выше я уделил формуле (11) столько внимания. Я надеюсь, что теперь читатель смог, что называется «прочувствовать» её.

Но вернёмся к формуле (14). К сожалению, на практике, её вряд ли удастся применить напрямую. И дело вовсе не в том, что наша модель слишком упрощена по сравнению с реальностью. Доработать её для описания более реалистичных сценариев для математика – дело техники, пусть при этом она лишится своей простоты. Одна из реальных проблем состоит в том, что вероятность P на практике мы всегда можем оценить лишь весьма приближённо. Выше я уже описывал математические причины этого. Единственный способ более точной оценки P состоит в увеличении статистики, то есть числа сделок N, по которым мы оцениваем нашу стратегию. Но при этом, с одной стороны, погрешность оценки P уменьшается пропорционально , то есть достаточно медленно. А с другой стороны, число N объективно ограничено, набрать очень большую статистику проблематично. Особенно если мы торгуем вручную. В этом случае, мы должны проторговать длительное время, пока наберём статистику сделок. Можно конечно попытаться и ручную стратегию протестировать на исторических данных. Но в этом случае трудно быть объективным, когда будущее уже известно. Последнего недостатка лишены механические торговые стратегии. Но у них свои проблемы. Думаю не надо объяснять, как трудно формализовать торговые правила, чтобы их можно было воплотить в виде компьютерного алгоритма. И в любом случае, и ручные, и автоматические торговые системы, как правило, работают лишь ограниченный промежуток времени. Рынок всё время меняется. В движениях цен появляются и исчезают новые закономерности. И система, которая хорошо работает сегодня, могла плохо работать вчера, и никто не может гарантировать, что будет вообще работать завтра. Поэтому, даже если мы тестируем стратегию на исторических данных, мы не можем взять все доступные данные, начиная с основания биржи. Нам придётся ограничиться некоторым промежутком близким сегодняшнему дню.

Очевидно, уровень риска в любом случае имеет смысл выбрать с некоторым запасом по сравнению с тем, что даёт нам критерий Келли. И дело не только в погрешности, с которой нам известно P. Вскоре мы увидим и другие, более веские основания для этого.

Математика прибыли

Давайте, наконец, посмотрим, как вся эта математика работает на конкретном примере. Подставим в формулы (14) и (11) параметры, которые я задал выше, и вычислим, какую доходность могут показать нам наши 3 торговые стратегии:

В третьей колонке представлен оптимальный уровень риска, вычисленный по формуле (14). И тут мы видим интересную закономерность. Для стратегии с редкими крупными выигрышами оптимальный уровень риска совсем небольшой, всего 3.7%, в то время как стратегия с частыми небольшими выигрышами требует достаточно высокого уровня риска для достижения максимальной доходности. Мы ещё вернёмся к этому факту.

Далее, в четвёртой, пятой и шестой колонах представлена доходность стратегий в пересчёте на 1, 20 и 100 сделок при оптимальном уровне риска. Как я уже говорил, я заранее подобрал параметры F так, что три наши стратегии были примерно равноценны по потенциальной доходности. Эти цифры показывают нам тот максимум доходности, который можно в принципе выжать из стратегии с заданными параметрами P и F. То есть, это и есть индикатор статистического преимущества. Интуитивно кажется, что при таких P и F оно пусть и не очень велико, но не так уж и мало. Ведь параметр F для всех стратегий не так уж и мал. Например, для промежуточной, где вероятность выигрыши и проигрыша одинакова, выигрыш больше проигрыша на 30%. Тем не менее, доходность на одну сделку составляет меньше процента! И это теоретический максимум, которого можно добиться от данной стратегии. В реальности он может быть только меньше.

Далее, поскольку в реальности мы обычно вынуждены использовать уровень риска заведомо меньше оптимального, я решил уменьшить r примерно в 2 раза, и посмотреть что получится. Выбранные мной значения r представлены в седьмой колонке таблицы. Я снова подобрал значение r так, чтобы доходности после этого остались одинаковы. Поэтому для первой стратегии пришлось уменьшить r чуть больше, для последней чуть меньше. Тем не менее, эта разница невелика. Обратите внимание, что хотя уменьшил риск примерно в 2 раза, доходность упала не так сильно, раза в полтора, даже чуть меньше.

Это легко понять, глядя на представленные выше графики доходности от уровня риска. Эти похожие на параболы кривые имеют округлые вершины, в районе которых доходность изменяется относительно плавно. Поэтому вовсе и не обязательно пытаться точно вычислить rmax. Но и это – не главная причина, почему не стоит пытаться доводить уровень риска до экстремального.

Вернёмся к графикам распределения вероятности числа удачных сделок, которые я приводил в начале статьи. Теперь, в дополнение к вероятности мы можем вычислить, какой доход мы получим, если из N сделок у нас удачными окажутся только k. Для этого надо в формулу (10) вместо математического ожидания NP подставить конкретное число сделок k:

Напоминаю, чтобы получить привычную нам доходность в процентах, надо из полученного коэффициента вычесть 1 и помножить на 100%. На следующих рисунках на график распределения вероятностей для N=20 наложены вычисленные таким образом доходности. Я привожу две цифры: для экстремального уровня риска rmax (оранжевые точки), и для выбранного мной пониженного уровня риска (голубые точки). Левая шкала – прибыль/убыток в процентах, правя шкала – вероятность.

Начнём традиционно со стратегии с редкими крупными выигрышами:

И сразу видна, во-первых, очень крутая зависимость доходности от количества удачных сделок (что конечно не удивительно). Характерно, что если число выигрышных сделок составило ровно 2, что в точности соответствует математическому ожиданию для данной стратеги, то и доходности в точности совпадают с вычисленными ранее математическими ожиданиями для них. В этом случае они составляют скромные 14% (для умеренного уровня риска). Зато, если нам повезло выиграть 3 раза, вероятность чего также весьма велика, доход составит уже целых 46%, 4 раза – 88%, и даже больше, правда вероятность этого уже невелика.

Разве это плохо, получить большой доход, спросите вы? Может быть, конечно, и не плохо. Но вовсе и не хорошо! Надо осознавать, что эти сверхдоходы – просто результат случайности, и не более. Из них «честно заработанные» — только те самые 14%. Всё, что больше – случайность и не более! При дальнейшей торговле эти сверхприбыли неизбежно будут съедены. Точно также и убыток. Мы уже замечали, вероятность, что лишь одна сделка из 20 окажется выигрышной, для данной стратегии почти такая же, как 2 выигрышные сделки. А здесь даже с умеренным уровнем риска мы получим убыток вместо прибыли, не говоря уж о вероятности того, что нам не повезёт ни разу. Но это – опять результат случайности.

Главная проблема такой большой роли случайности в наших результатах связана с тем, что на практике, мы никогда не знаем P, и можем судить об эффективности стратегии только по её результатам. Но мы видим, что в данном случае, мы лишь с вероятность меньше 1/3 после 20 сделок будем иметь адекватное представление об этой стратегии. В остальных случаях мы либо получим убыток, и возможно откажемся от прибыльной на самом деле стратегии. Либо получим сверхприбыль и сильно завышенные ожидания.

А что бывает, когда у нас по какой-либо причине появляются завышенные ожидания, которые в дальнейшем не оправдаются? Правильно! Психологические проблемы. Нам начинает казаться, что мы что-то делаем не так. Начинаются рефлексии, риторические вопросы в стиле «ну почему я такой идиот», и т.п. А в реальности это могло быть просто невезение, которое надо просто банально пережить. Вот вам и связь теории вероятностей с психологией!

Теперь сравним прибыли и убытки при экстремальном и умеренном уровне риска. Обратим внимание, что при 2 удачных сделках прибыль отличается примерно в полтора раза, то есть не так чтобы совсем уж сильно. Зато при отклонении числа удачных сделок от математического ожидания, что в большую, что в меньшую стороны, что прибыли, что убытки для экстремального уровня риска растут гораздо быстрее, чем для умеренного. И это очень наглядно демонстрирует следующий факт: при уровне риска близком и экстремальному, то есть соответствующему критерию Келли, сильно возрастает волатильность нашего счёта. Мы то будем получать огромные сверхприбыли, то громадные убытки. Может быть, экстремальный уровень риска и обещает наиболее быстрый рост капитала в асимптотическом пределе. Но работать в таких условиях будет очень трудно. Во-первых, по чисто психологическим причинам. Во-вторых, это в азартной игре, затянувшаяся череда проигрышей – не более чем случайность. Рынок же постоянно меняется, и трейдер должен подстраиваться под него. И может быть сложно отличить, в чём причина наших убытков – в случайности или в том, что мы что-то делаем не так. Именно в этом мне видится основной аргумент в пользу того, чтобы не пытаться доводить уровень риска до экстремального.

В своё время, когда я только впервые прочитал про критерий Келли, я осознал то, как важно выбрать некий разумный уровень риска. Но мне казалось, что сложность его вычисления на практике связана, с одной стороны, со сложностью построения адекватной математической модели для реального трейдинга. А с другой стороны с тем, что вероятности успешности сделки в реальной торговле можно определить лишь весьма приближённо, о чём я уже писал здесь. Но построив эти графики, понял, что дело намного сложнее. Даже если нам удастся приблизиться к экстремальному уровню риска, мы получим вместе с ним и экстремальную волатильность нашего счёта, иными словами, громадные просадки. Это само по себе представляет большую проблему. Поэтому, выбор оптимального уровня риска – гораздо более нетривиальная задача. И определяется она не только математикой, но и психологией!

Правда, ещё раз хочу отметить, что эта задача актуальна лишь для достаточно опытных трейдеров, уже сумевших сформировать свою стратегию. Для новичка риск чем меньше, тем лучше.

Но вернёмся к сравнению наших стратегий. Ниже приведены аналогичные рисунки для стратегии с равновероятными выигрышами и проигрышами, и для стратегии с частыми малыми выигрышами:

Мы видим, что картина здесь в целом аналогична, и все сделанные выше наблюдения можно повторить для них буквально слово в слово. Точна также, мы видим крутую зависимость сверхприбылей и свехубытков от числа удачных сделок. Точно также, снижение уровня риска по сравнению с экстремальным ведёт к значительному снижению сверхприбылей и сверхубытков, и при этом к относительно умеренному снижению прибыли при числе выигрышей равному матожиданию. Так что пока не видно существенных аргументов в пользу одной из систем.

Одно любопытное наблюдение всё же есть. У первой стратегии, с редкими крупными выигрышами, максимальный убыток за 20 сделок оказывается ограничен. Действительно, даже в самом худшем случае, если у нас не будет ни одной удачной сделки (вероятность чего составляет 12%), наш убыток составит всего лишь 31% (при умеренном уровне риска). По двум другим стратегиям, если мы ни разу не выиграем, наш убыток будет практически 100%. Тем не менее, вероятность этого пренебрежимо мала. Если же брать в расчет наихудшие варианты исхода, вероятность которых составляет хотя бы 1% (5 выигрышей для второй и 15 – для третьей стратегии), убытки для них будут вполне сопоставимы: 42% и 39% соответственно. В общем, приятно конечно осознавать, что твоя стратегия гарантированно не принесёт убыток больше определённого значения. Но две другие стратегии, хотя и не могут этого гарантировать абсолютно строго, обещают тоже самое с вероятностью

99%. Так что, вряд ли это можно назвать реальным преимуществом.

С другой стороны, при увеличении числа сделок это свойство совсем нивелируется. И при большом числе сделок все стратегии могут обещать лимит убытков лишь с определённой вероятностью. Ниже приведены картинки подобные предыдущим, но для числа сделок равному 100. Я не стал рисовать всё распределение, как на картинках в начале статьи, а лишь ту часть, где вероятность составляет хотя бы 1%:

Как и прежде, по горизонтальной оси отложено число выигрышных сделок. На правой — вероятность такого исхода, она изображена гистограммой. На левой оси – полученная при этом прибыль или убыток. Оранжевые точки соответствуют экстремальному уровню риска, голубые – умеренному.

Для первой стратегии при самом неудачном раскладе убыток составил уже 84% даже при умеренном риске. Зато и вероятность такого исхода много меньше процента. Так что при большом числе сделок стратегия с редкими крупными выигрышами в плане ограничения максимальных убытков не имеет преимуществ перед двумя другими.

Как и прежде, для всех трёх стратегий, графики обещают большую волатильность нашего счёта, особенно для максимального уровня риска. С ним можно получить, как сверхдоходы, так и сверхубытки. Как и прежде, зависимость для умеренного уровня риска существенно более пологая, чем для экстремального. Но это не только обещает снижение и сверхдоходов, и сверхубытков. График для экстремального уровня риска при снижении числа реальных выигрышей по сравнению с математическим ожиданием уходит в отрицательную область гораздо быстрее. А это означает, что при экстремальном уровне риска мы хотя и имеем большую величину математического ожидания нашего дохода, но при этом и большую вероятность оказаться в убытке! Занятно, не правда ли?

И всё же, в отличие от графика для 20 сделок, при сотне уже значительная часть зависимости левее математического ожидания лежит в положительной области, даже для экстремального уровня риска. Вполне естественно, что при положительном матожидании прибыли, с ростом числа сделок уменьшается вероятность остаться в убытке. Увы не так быстро, как нам того хотелось бы. Давайте попытаемся оценить, при известных параметрах стратегии, сколько нужно совершить сделок, чтобы более-менее гарантированно не остаться в убытке.

Если вероятность выигрыша P, и совершено N сделок, то среднее количество удачных составит NP. А теперь вспомним формулу (4), где я вычислял среднеквадратичное отклонение числа выигрышных сделок. Напомню результат:

С большой долей вероятности реальное число удачных сделок K будет лежать в диапазоне от NP-Δk до NP+ΔK. Давайте посчитаем, при каком N, мы при любом k попавшим в этот диапазон получим прибыль, а не убыток. Конечно, остается некая вероятность, что реальное число удачных сделок окажется за пределами этого диапазона, но она не велика. Посчитать прибыль, если мы совершили N сделок и k из них оказалось удачными, можно по формуле (15). Напомню, её результат – это отношение капитала после серии сделок к капиталу до. То есть если эта величина меньше 1 – мы получили убыток, больше – прибыль. Теперь подставим в эту формулу k=NP-ΔK, то есть наихудшее число удачных сделок из нашего диапазона, и вычислим, при каком N мы не получим в этом случае убытка. То есть нам надо решить следующее уравнение:

Традиционно не стану утомлять читателя промежуточными вычислениями, тем более что здесь они довольно простые, хотя и громоздкие. Приведу ответ, что у меня получился:

По этой формуле, можно оценить, сколько нужно совершить сделок по заданной системе, чтобы нивелировать эффект случайности. Совершив такое количество сделок, мы можем, опять-таки не абсолютно, но с высокой долей вероятности надеяться, что мы, по крайней мере, не останемся в убытке, даже если нам будет не очень-то везти. Посмотрим, что даст расчет для наших примеров:

После всего вышесказанного о том, что увеличение уровня риска увеличивает и волатильность счёта, нет ничего удивительного в том, что для умеренного уровня риска это число оказалось в два раза меньше, чем для максимального. А вот сравнение разных стратегий оказалось более любопытным. Хвалёная стратегия с редкими крупными выигрышами, оказывается, требует большего числа сделок, чтобы добиться более-менее гарантированной прибыли, а ругаемая с частыми мелкими выигрышами – наоборот меньше. Впрочем, я считаю, что это не более чем занятный факт, но никак не преимущество или недостаток одной стратегии над другой. Дело в том, что это не более чем особенность проявления волатильности, реальная доходность этих стратегий одинакова.

Проблема гэпов и неконтролируемого риска

Так есть ли в самом деле какие-либо фундаментальные преимущества у стратегии с редкими крупными выигрышами перед стратегией с частыми мелкими (при одинаковой прибыльности)? Пока мы обнаружили одно существенное различие в свойствах этих подходов к созданию стратегии. Первая требует достаточно малого уровня риска на сделку, последняя – наоборот достаточно большого. В рамках нашей модели в этом нет никакой проблемы. Но в реальности стратегия, требующая большого уровня риска, может оказаться намного рискованней, чем предполагается из формальных оценок. Для ограничения убытков обычно используются stop-loss приказы. Громадная проблема в том, что нет гарантии в том, что стоп сработает по заданной, а не по намного более худшей цене. И дело не в нечестных форекс брокерах, а в явлении под названием гэп, когда цена изменяется скачкообразно и даже абсолютно честный брокер просто не в состоянии исполнить вашу сделку по заявленной цене. А покрывать ваши убытки из своего кармана он точно не будет.

На Forex серьёзный гэп – большая редкость. И в принципе, опасные моменты в большинстве случаев известны заранее: это открытие рынка после выходных, либо выход некой супер-мега-важной новости. На практике, такой разрушительной силой обладают лишь результаты заседаний центробанков, если они вдруг окажутся отличными от так называемых «рыночных ожиданий» (то есть результатов коллективног творчества финансовой прессы 😉

Тем не менее, если есть хотя бы малая вероятность того, что вы попадёте на гэп, и ваши убытки превысят 100%, вашу торговую систему надо признать неудовлетворительной. Остаётся либо брать риск с большим запасом, либо избегать оставлять открытые позиции в периоды, опасные возникновением гэпа.

Небольшие гэпы конечно случаются и на выходе менее важных новостей, и даже просто в периоды пониженной ликвидности. И за каждым незадачливые трейдуны конечно же видят происки ДЦ 🙂 Не собираюсь защищать их, благо многие из них прославились в том числе и мелким жульничеством (вроде «проскальзывания»). Но не стоит абсолютно все свои неудачи списывать на коварство ДЦ. При таком подходе вам и на фонде ничего не светит. Только там вас будет поджидать не менее коварный Кукл 🙂 Что же касается гэпов, то это неизбежное явление, даже при абсолютно честном брокере. Так что надо не искать виноватого, а подумать, как сделать стратегию, способную приносить прибыль даже в таких условиях. Да, это сложная задача, но не повод опускать руки! Халявы в любом случае ждать не приходится.

Итак, если мы контролируем риски с помощью стоп-лоссов, из-за проблемы гэпов мы должны рассчитывать свой риск так, чтобы даже в случае больших потерь наши убытки были бы приемлемы. Пусть такой убыток составит даже пол-депозита, это будет лишь серьёзная неприятность, которую в дальнейшем можно будет компенсировать успешной торговлей. А вот если вы можете потерять полностью весь свой депозит, даже если вероятность такого события невелика, то однажды это непременно случится, и ваша карьера трейдера на этом может закончиться.

В конце концов, причиной незаложенных в торговую систему убытков может послужить не только гэп, а просто ваша собственная ошибка. Человек не идеален, а на финансовых рынках за каждую ошибку приходится расплачиваться деньгами. Причиной может стать и техническая проблема. И это ещё одна, возможно даже самая веская, причина, чтобы выбирать уровень риска не близким к экстремальному, а со значительным запасом. Быть может даже с очень значительным!

Как мы видели, торговая система, основанная на частых небольших выигрышах и редких крупных проигрышах, подразумевает весьма большой уровень риска на одну сделку. Наоборот, торговая система с редкими, но крупными выигрышами требует небольшого риска на сделку. Соответственно запас риска на случай непредвиденных обстоятельств у неё намного больше. И это очень весомый аргумент в её пользу. С другой стороны, если эти системы работают на сходных временных интервалах, то и размеры стоп-лоссов у первой наверняка будут намного больше второй, а следовательно и чувствительность к гэпам ниже. В общем, это очень серьёзный аргумент в пользу стратегии с редкими крупными выигрышами, но всё же нельзя сказать, что он однозначно отметает прочие типы стратегий.

«Поломка» стратегии

До сих пор мы предполагали, что наши стратегии работают стабильно, и вероятность выигрыша не меняется со временем. Но любому трейдеру известно, что в реальности это не так. Рынок постоянно меняется, и рано или поздно любая прибыльная стратегия перестаёт работать. Но понять, что это не просто неудачное стечение обстоятельств, сходу невозможно. И выше я постарался наглядно проиллюстрировать, почему. Поэтому трейдер неизбежно будет продолжать некоторое время пользоваться прежней стратегией, пока не убедится, что она стала убыточной. И всё это время он будет терять деньги.

Давайте попробуем прикинуть, сколько денег мы потеряем, прежде чем поймём, что с нашей стратегией что-то не то. Возьмём самый крайний случай. Пусть рынок изменился настолько, что наша стратегия оказалась совершенно неработоспособна, и каждая новая сделка заканчивается убытком. Сколько сделок мы совершим, прежде чем решим, что это, скорее всего, не просто стечение обстоятельств? В табличках ниже я привожу, в первой колонке число последовательных убытков, во второй – вероятность такого события при нормальном функционировании стратегии, и в двух последних колонках полученный убыток, традиционно для экстремального и уменьшенного уровней риска. На это раз начнём с последней стратегии, с редкими большими проигрышами и частыми малыми выигрышами:

Проигрыши здесь случаются редко, а вероятность того, что в нормальных условиях мы проиграем два раза подряд, составляет всего 1%. Поэтому уже после второго проигрыша мы должны решить, что здесь что-то не так, и пора попрактиковаться на демо-счёте. Но с другой стороны, поскольку данная стратегия приносит большие убытки в случае неудачи, за эти две сделки мы теряем 30% даже при умеренном уровне риска.

Далее, для того, чтобы сравнение с предыдущим случаем было адекватным, будем считать, что мы останавливаем торговлю, когда вероятность такой серии убытков при нормальной торговле составляет около 1%. Посмотрим, как будут развиваться события с промежуточной стратегией:

Вероятность проиграть 2, 3 раза подряд здесь довольно велика и такое развитие событий не вызывает удивления. На четвёртый у нас начинают закрадываться сомнения. На пятый у нас ещё остаётся какая-то надежда. Но шестой, а уж тем более седьмой проигрыш подряд уже не оставляют сомнений в том, что стратегия больше не работает. Но что любопытно, даже после седьмого раза убыток составил 35% (при умеренном риске), что по большому счёту не сильно отличается от предыдущей стратегии.

Возьмём, наконец, «правильную» стратегию, где выигрыши редки, но зато большие. Вся таблица получается слишком длинной, поэтому я приведу только строчки для числа сделок кратных 10:

10 34.9% -31.5% -16.7%
20 12.2% -53.1% -30.6%
30 4.2% -67.9% -42.2%
40 1.5% -78.0% -51.8%

Удачные сделки здесь редки, поэтому 10 неудач подряд – обычное дело. Да и 20 – неприятность конечно, но вполне реалистичный вариант. Вероятность 30 неудачных сделок подряд около 4%. Тут уже должны возникнуть сомнения, но всё же, ещё можно надеяться, что это просто полоса неудач. Но на 40 неудачных сделках подряд мы, пожалуй, всё-таки остановимся, хотя его вероятность всё ещё больше процента. Тем более, что к этому моменту просадка составляет уже 50%, то есть намного больше, чем в двух предыдущих стратегиях.

Таким образом, мы сделали удивительное наблюдение. Оказывается, если наша стратегия подразумевает частые небольшие убытки и редкие крупные прибыли, то в случае, когда она перестаёт работать, мы можем ещё весьма долго продолжать её использовать, потихоньку терять деньги и не осознавать, что у нас проблема!

Такая стратегия подразумевает небольшой убыток в случае неудачи, но поскольку полоса неудач может продолжаться весьма долго, до того момента, как мы осознаем проблему, мы можем потерять значительную сумму. В двух других случаях это неизбежно произойдёт гораздо быстрее. Впрочем, поскольку те стратегии предполагают большие убытки в случае неудачи, мы всё равно успеем потерять немало, и тем не менее, заметно меньше.

Если мне позволит время, будет интересно попытаться более строго проанализировать ситуацию, когда стратегия перестаёт работать. Всё-таки здесь я провёл лишь весьма качественный анализ. Может быть, удастся вывести более строгие формулы.

Сравнение стратегий

Итак, не смотря на всё вышесказанное, я всё-таки не обнаружил ни одной фундаментальной причины, по которой стратегии с редкими, но крупными выигрышами и частыми, но малыми проигрышами имели бы однозначное преимущество перед прочими типами стратегий. Единственный аргумент в их пользу, малый уровень риска на одну позицию, на мой взгляд, хоть и очень важен, но всё-таки не настолько, чтобы утверждать, что можно делать только так и не иначе. Более того, мне удалось обнаружить даже существенный изъян у такого типа стратегии. Если она вдруг перестаёт работать, можно ещё долго продолжать использовать её и нести убытки, пока не поймёшь, что случилось. Но всё-таки, это тоже не критический аргумент, с учётом того, что убытки на других стратегиях тоже будут немаленькими. Так почему же, большинство «гуру» рекомендует использовать только такие стратегии и настоятельно отговаривает от других?

Можно предположить, что дело заключается в особенностях движения цены. Действительно, есть наблюдения, что распределение по величине движения цен отличается от нормального более длинными хвостами. Иными словами, вероятность больших движений цены больше по сравнению с той, какой она должна была бы быть, если бы движения цены были полностью случайными. (Честно говоря, я пока не пытался самостоятельно проверить это утверждение. Быть может, это будет темой ещё одной статьи для Март-лаба.) Это означает, что теоретически возможно построить торговую систему, которая бы вообще не обращала внимания на направление движения цены, а основывалось бы лишь на соотношении величин take-profit и stop-loss. И если наблюдение верно, первый должен быть больше второго. Но боюсь, это только в теории. Нет сомнений, что статистическое преимущество такой системы будет крайне мало. Всё-таки эффективность практических торговых систем определяется тем, с какой вероятностью они угадывают именно направление движения цены. Так что, хоть я и не могу на данный момент подтвердить это строгим расчетом, мне не верится, чтобы данный фактор был решающим для выбора в пользу систем с редкими, но крупными выигрышами. Хотя свою роль он, несомненно, играет. Думаю, это интересная тема для отдельного исследования.

В общем, мне кажется, причины, по которым успешные трейдеры предпочитают системы с редкими крупными выигрышами перед другими, надо искать не в математике, а в психологии.

И последнее соображение о системах с редкими крупными выигрышами. Вполне возможно, что реальные применяемые системы следует отнести вовсе не к этому классу. В модели, что я рассматривал выше, я предполагал, что каждая позиция отыгрывается в один этап. То есть открыли позицию, и просто дождались лося или профита. Но так ли действуют трейдеры на практике? Открыв позицию, трейдер продолжает периодически контролировать её. И каждый раз принимает решение, продолжить удерживать позицию, либо закрыть её. Особенно это как раз относится к стратегиям в стиле «купи и держи». А теперь представим, что если мы решили продолжить удерживать позицию, мы закрываем старую сделку и открываем новую. Конечно, на практике никто так делать не станет, ведь это потребует уплаты дополнительной комиссии. Я хочу лишь показать, что длительно удерживаемая позиция типа «дай прибыли расти» можно рассматривать как серию из более коротких по времени позиций. Причём такие элементарные подпозиции весьма вероятно будут относиться уже не классу «большие прибыли – малые убытки», а к промежуточному классу, а то даже и к противоположному классу «частые малые прибыли, редкие убытки». Так что нельзя исключать, что в реальности трейдеры используют все три класса стратегий.

Азартная игра, как математическая модель трейдинга

Выше, для анализа работы трейдера я везде использовал метафору азартной игры. Пусть некоторым не нравится, когда трейдинг сравнивают с азартной игрой, но с точки зрения математики, данная модель очень неплохо, и главное наглядно, иллюстрирует то, как работает случайность. А она всегда неизбежно присутствует в трейдинге, хотим мы этого, или нет. И всё же, если мы хотим быть математически точными, то мы должны отметить, что модель азартной игры – лишь приближение, и реальный трейдинг она описывает не совсем адекватно. В чём состоит эта неточность?

Правила практически всех азартных игр устроены так, что каждый раунд игры никак не связан с предыдущим. Не важно, бросаем ли мы монету, или раздаём карты, мы всегда делаем это в одинаковых условиях (если конечно никто не жульничает 🙂 Поэтому вероятность выигрыша или проигрыша каждый раз одна и та же. Так ли это при игре на финансовых рынках? Очевидно, нет! (И вовсе не потому, что в этой игре жульничать пытаются все поголовно 🙂 Во-первых, большинство трейдеров имеет обыкновение работать с несколькими финансовыми инструментами, и у них может быть открыто одновременно несколько позиций. Думаю, не надо рассказывать о том, что разные инструменты, даже с разных сегментов рынка, часто ходят вместе. Во-вторых, даже позиции по одному и тому же инструменту закрытые и открытые с небольшим интервалом времени нельзя считать независимыми. Рынок правильнее было бы описывать не как совершенно случайный процесс (хотя такая «подлинная» случайность также присутствует, и несомненно играет большую роль), а как систему, внутреннее состояние которой нам не известно и благодаря такому незнанию её поведение кажется нам случайным. Можно сколько угодно рассуждать о методах фундаментального и технического анализа, спорить о том всё или не всё отражается в цене. Но факт в том, что все факторы, влияющие на цену, никто из трейдеров учесть просто не в состоянии.

Положим, есть некий фактор, от которого зависит результативность нашей системы, но учесть который мы не можем. (А если бы могли, мы бы конечно ввели его в свою систему) И предположим, он меняется не слишком быстро, медленнее, чем мы закрываем и открываем позиции. На длительном промежутке времени его влияние можно усреднить. Просто считать некую среднюю вероятность. Но останутся ли при этом корректными все формулы написанные выше? Боюсь, что не совсем. По крайней мере, волатильность счёта при этом явно увеличится. У нас будут чередоваться периоды, когда мы будем выигрывать чаще, чем следует из усреднённой вероятности с периодами, когда удачные сделки будут случаться реже. Отсюда вытекает любопытное наблюдение: неучтённая нами закономерность рынка для нас даже хуже, чем истинная случайность, поскольку приводит к большей волатильности нашего счёта по сравнению с последней.

Так что, ещё раз хочу обратить ваше внимание, что в этой статье я веду рассуждения в основном о «сферических конях в вакууме». Это позволяет просто и наглядно продемонстрировать, как работают законы математики, что и является моей целью. Но далеко не всегда приведённые здесь формулы можно просто так взять и применить к реальной работе трейдера. Как правило, это требует учёта многих дополнительных факторов.

Итоги

Итак, я надеюсь, мои математические досуги были для вас интересны, раз уж у вас хватило сил дочитать до этого места 🙂 Я конечно не открыл здесь никаких Америк, просто, как я уже писал вначале, нарисованные мной картинки очень наглядно иллюстрируют то, как законы теории вероятностей проявляют себя в трейдинге.

Заодно я здесь коснулся темы управления рисками. Это – важная задача, одно из необходимых условий успешной работы на финансовых рынках. И эта тема очень тесно связана с ролью случайности в трейдинге.

Что характерно, контроль риска важен не только в трейдинге, но и в обычной жизни. И похоже, здесь тоже мало кто умеет выбрать оптимальный уровень риска. Большинство осторожничает, довольствуясь тем, что есть, и боятся потерять это. Некоторые наоборот, ввязываются в авантюры, даже не подумав поинтересоваться какие могут быть подводные камни. Редко кто умудряется найти золотую середину.

В качестве примера можно привести уже упоминавшегося Тимофея Мартынова. Весь Март-лаб обсуждал его уход с телеканала РБК. Одни считали, что это для него слишком рискованно, отказаться от гарантированного заработка. Другие наоборот призывали всех поголовно следовать его примеру. Правильно ли Тимофей оценил свои риски? Может быть, когда-нибудь он нам это расскажет.

Попытаюсь подвести итог, и сформулировать наиболее важные тезисы:

  • Современные финансовые рынки по большей части достаточно эффективны. Поэтому трейдеры вынуждены довольствоваться стратегиями, дающими лишь небольшое преимущество.
  • В свою очередь низкое статистическое преимущество приводит к большому влиянию случайности на результаты торговли, и как следствие, к большой волатильности счёта.
  • Человеческая психика очень плохо приспособлена для работы со случайными событиями. Отсюда психологические проблемы трейдеров. Единственный способ хоть как-то обойти эту проблему – построение торговой системы.
  • Для получения максимальной отдачи от торговой стратегии очень важно выбрать разумный уровень риска. Критерий Келли позволяет вычислить экстремальный уровень риска, выше которого отдача торговой стратегии может только снижаться. Тем не менее, на практике не стоит пытаться доводить уровень риска до экстремального. Хотя он и сулит максимальную прибыльность, но приводит ко многим нежелательным последствиям. Очень большие просадки – одно из них, и возможно не самое опасное.
  • У торговых систем характеризуемых редкими крупными выигрышами и частыми, но незначительными проигрышами, есть одно важное достоинство: они подразумевают небольшой риск на одну сделку, а следовательно имеют большой запас прочности по отношению к неучтённым рискам.
  • Тем не менее, я не смог выявить ни одного факта, на основании которого можно было бы однозначно утверждать, что только такие системы могут быть прибыльными, а прочие нет. Впрочем, это, конечно, не означает, что их нет!

© 2013 Алексей Курзенков

Все права на данную статью принадлежат её автору, Курзенкову Алексею. Любое её копирование, полное или частичное, без согласования с автором, является нарушением авторских прав!

Математические методы на фондовом рынке

Привет всем!
Сегодня я решил рассказать про математические методы, которые можно использовать на фондовом рынке. Я прекрасно понимаю, что их немного больше, чем можно уместить в одной статье, но моя задача — объяснить приёмы, пользуясь которыми любой трейдер может выигрывать на фондовом рынке.

1. Корреляционно-регрессионный анализ
Независимая на зависимую. Регрессионный анализ позволяет исследовать влияние одной или нескольких переменных на некоторую зависимую. Данное влияние выражается в уравнении регрессии.
Какая переменная может быть независимой? При анализе акций за переменную, имеющую влияние, можно взять время. Таким образом можно получить зависимость цены акции от времени в виде уравнения, что позволит делать прогноз, подставляя будущие значения времени.
Уравнение регрессии находится при использовании метода наименьших квадратов, когда минимизируется сумма квадратов отклонений реально наблюдаемых цен Y от их оценок Y :

Данная задача сводится к системе:

Где t – момент времени, y – цена акции.
Прогнозированиецен. Подставив значения времени на n периодов и соответствующие им цены акции y, находим параметры a0 и a1 и подставляем их в уравнение регрессии:

Подставляя будущие t, прогнозируем y.

2. Вероятностный анализ свеч
По историческим данным можно попытаться обнаружить закономерность в появлении свечей, чем многие занимались, и даже были разработаны некоторые индикаторы на базе данного предположения о зависимости типа свечей от предшествующих им.
Идея заключается в том, чтобы разбить все свечи на несколько типов, а затем построить распределение вероятности появления тех или иных свечей на основании исторических данных. В реальном времени мы сможем определить тип свечи по её закрытию. Затем индикатор отражает вероятность появления различных типов дальнейшей свечи. Если вероятность достаточно велика, то можно открывать длинные или короткие позиции в зависимости от типа свечи.
Последующие три метода позволяют прогнозировать цены акции, предварительно установив, от каких основных факторов она зависит. Изменения факторов, следовательно, будут приводить к изменению цены акции, и последующие методы определяют зависимость между этими изменениями.

3. Интегральный метод экономического анализа
Одним из таких способов (методов) является интегральный. Он находит применение при определении влияния отдельных факторов с использованием мультипликативных, кратных, и смешанных (кратно-аддитивных) моделей.
Недостатки других методов. В условиях применения интегрального метода имеется возможность получения более обоснованных результатов исчисления влияния отдельных факторов, чем при использовании метода цепных подстановок и его вариантов.
Метод цепных подстановок и его варианты, а также индексный метод имеют существенные недостатки:
1) результаты расчетов влияния факторов зависят от принятой последовательности замены базисных величин отдельных факторов на фактические;
2) дополнительный прирост обобщающего показателя, вызванный взаимодействием факторов, в виде неразложимого остатка присоединяется к сумме влияния последнего фактора.
Как интегральный метод исправляет недостатки других методов? При использовании интегрального метода дополнительный прирост обобщающего показателя делится поровну между всеми факторами.
Интегральный метод устанавливает общий подход к решению моделей различных видов, причем независимо от числа элементов, которые входят в данную модель, а также независимо от формы связи между этими элементами.
Он имеет в своей основе суммирование приращений функции, определенной как частная производная, умноженная на приращение аргумента на бесконечно малых промежутках.
В процессе применения интегрального метода необходимо соблюдение нескольких условий. Во-первых, должно соблюдаться условие непрерывной дифференцируемости функции, где в качестве аргумента берется какой-либо экономический показатель. Во-вторых, функция между начальной и конечной точками элементарного периода должна изменяться по прямой Ге. Наконец, в-третьих, должно иметь место постоянство соотношения скоростей изменения величин факторов
dy / dx = const.
При использовании интегрального метода исчисление определенного интеграла по заданной подынтегральной функции и заданному интервалу интегрирования осуществляется по имеющейся стандартной программе с применением современных средств вычислительной техники.
Если мы осуществляем решение мультипликативной модели, то для расчета влияния отдельных факторов на обобщающий экономический показатель можно использовать следующие формулы:
Z=xy;
ΔZ(x) = y0 *Δx + 1/2Δx *Δy
Z(y)=x0 * Δy +1/2Δx * Δy

При решении кратной модели для расчета влияния факторов воспользуемся такими формулами:
Z=x /y;
ΔZ(x) = Δx/Δy Ln y1/y0
ΔZ(y)=ΔZ — ΔZ(x)

Существует два основных типа задач, решаемых при помощи интегрального метода: статический и динамический. При первом типе отсутствует информация об изменении анализируемых факторов в течение данного периода. Примерами таких задач могут служить анализ выполнения бизнес-планов либо анализ изменения экономических показателей по сравнению с предыдущим периодом. Динамический тип задач имеет место в условиях наличия информации об изменении анализируемых факторов в течение данного периода. К этому типу задач относятся вычисления, связанные с изучением временных рядов экономических показателей.
Таковы важнейшие черты интегрального метода факторного экономического анализа.

4. Метод логарифмирования
Кроме этого метода, в анализе находит применение также метод (способ) логарифмирования. Он используется при проведении факторного анализа, когда решаются мультипликативные модели. Сущность рассматриваемого метода заключается в том, что при его использовании имеет место логарифмически пропорциональное распределение величины совместного действия факторов между последними, то есть эта величина распределяется между факторами пропорционально доле влияния каждого отдельного фактора на сумму обобщающего показателя. При интегральном же методе упомянутая величина распределяется между факторами в одинаковой мере. Поэтому метод логарифмирования делает расчеты влияния факторов более обоснованными по сравнению с интегральным методом.
В процессе логарифмирования находят применение не абсолютные величины прироста экономических показателей, как это имеет место при интегральном методе, а относительные, то есть индексы изменения этих показателей. К примеру, обобщающий экономический показатель определяется в виде произведения трех факторов — сомножителей f = x y z.
Найдем влияние каждого из этих факторов на обобщающий экономический показатель. Так, влияние первого фактора может быть определено по следующей формуле:
Δfx = Δf · lg(x1 / x0) / lg(f1 / f0)
Каким же было влияние следующего фактора? Для нахождения его влияния воспользуемся следующей формулой:
Δfy = Δf · lg(y1 / y0) / lg(f1 / f0)
Наконец, для того, чтобы исчислить влияние третьего фактора, применим формулу:
Δfz = Δf ·lg(z1 / z0)/ lg(f1 / f0)
Таким образом, общая сумма изменения обобщающего показателя расчленяется между отдельными факторами в соответствии с пропорциями отношений логарифмов отдельных факторных индексов к логарифму обобщающего показателя.
При применении рассматриваемого метода могут быть использованы любые виды логарифмов — как натуральные, так и десятичные.

5. Метод дифференциального исчисления
При проведении факторного анализа находит применение также метод дифференциального исчисления. Последний предполагает, что общее изменение функции, то есть обобщающего показателя, подразделяется на отдельные слагаемые, значение каждого из которых исчисляется как произведение определенной частной производной на приращение переменной, определяющей эту производную. Определим влияние отдельных факторов на обобщающий показатель, используя в качестве примера функцию от двух переменных.
Задана функция Z = f(x,y). Если эта функция является дифференцируемой, то ее изменение может быть выражено следующей формулой:

Где:
ΔZ = (Z1 — Z0) — величина изменения функции;
Δx = (x1 — x0) — величина изменения одного фактора;
Δy = (y1 — y0) -величина изменения другого фактора;
— бесконечно малая величина более высокого порядка, чем

В данном примере влияние отдельных факторов x и y на изменение функции Z (обобщающего показателя) исчисляется следующим образом:
ΔZx = δZ / δx · Δx; ΔZy = δZ / δy · Δy.
Сумма влияния обоих этих факторов — это (главная, линейная относительно приращения данного фактора) часть приращения дифференцируемой функции, то есть обобщающего показателя.

Математика на Форекс: вычисляем реальную просадку

Предыдущие публикации являлись только преамбулой перед собственно рыночными действиями. Настало время кратко описать стратегию дальнейшей торговли. Описание не может быть полным, поскольку «маленьких хитростей» в ней более чем достаточно. Я, разумеется, постараюсь описать каждый тактический прием, однако поскольку мы имеем дело с хаотично изменяющимся процессом, в ряде случаев свои действия придется изобретать заново, отталкиваясь от ключевого описания подобной (не тождественной) рыночной ситуации.

Минус, перевешивающий все плюсы

В настоящее время в интернете появилось гигантское количество публикаций, посвященное так называемой «сеточной стратегии». Она обсуждается на форекс форумах, описывается в статьях, и, как следствие, предлагаются советники, как в бесплатное пользование, так и по разумной цене. Каждое описание и каждый советник является «эксклюзивным» и «уникальным». Других там просто нет. Хочу сразу предостеречь доверчивых пользователей. Все описания «беспроигрышных торговых систем» несут крайне низкую информационную нагрузку, на основании которой практически невозможно выбрать правильное текущее действие, не говоря уже об их последовательности и очередности. Единственный плюс данных систем заключается в том, что понять их может практически любой человек, который в состоянии поставить свою подпись на документе вместо креста или отпечатка большого пальца. Минусом же, стоящим всех плюсов, является гарантированная потеря депозита. Это утверждение в первую очередь относится к «роботам».

Действительно для того, чтобы программа работала, она должна отталкиваться от каких-то констант, в ней находящихся, но они будут константами только какое-то время. И будут приносить прибыль какое-то время. Однако так будет не всегда. Дело в том, что эти постоянные значения в процессе игры изменяются, приобретая функциональные зависимости, никоим образом не отраженные в исходной программе, что в конечном итоге и выливается в проигрыш. В представленной МТС изменение констант происходит автоматически.

Вычисляем реальную просадку

Для того, чтобы максимально контролировать процесс игры, необходимо создать еще ряд таблиц. Для начала попытаемся вычислить реальную просадку. Поскольку играть мы будем в обе стороны, закрываясь частично как вверх так и вниз, то наш баланс будет расти, но будет расти и «общая» просадка, поэтому «реальная» просадка будет естественно достаточно сильно отличаться от того что покажет нам МТ-4. Обозначим начальный депозит B1, а тот баланс, который нам покажет платформа — B, тогда разница между ними покажет изменение баланса, но не реальную просадку. Необходимо учесть также общую просадку в графе «прибыль» терминала МТ4. Обычно просадку обозначают большой латинской буквой D, однако ее мы уже задействовали в предыдущих таблицах. Чтобы не было путаницы, обозначим ее dd, а реальную просадку как ∆.

Рис. 1. Формула расчета реальной просадки.

Конечно, просадка отрицательна, однако модуль этой величины брать совершенно необязательно. Достаточно складывать отрицательное значение. Имеет смысл добавить еще одно значение, возвращающее процент просадки от начальной суммы депозита.

Рис. 2. Формула расчета процента просадки от начальной суммы депозита.

Вполне закономерно возникает вопрос, зачем это надо? Ведь в платформе отражается значение общей суммы оставшихся свободных денег. Несомненно, это так, однако данные расчеты необходимы, поскольку в следующей публикации я расскажу, каким образом связывается как работающий объем, так и текущая цена с уровнем нашего входа.

Тема: Математика и форекс

Опции темы

Математика и форекс

Нужны ли трейдеру знания математики? У непосвященного в трейдинг человека, как правило, в голове прочно сидит мысль о том, что без глубоких математических знаний на Форексе делать нечего. Многие рассуждают примерно так: у меня нет экономического образования, я гуманитарий, я ничего не пойму в торговле на Форексе. Безусловно, математика – не последняя наука, которая нужна для того, чтобы достичь успеха на Форексе. Но такие ли глубокие знания нужны обычному трейдеру, – попробуем разобраться.

Зачем трейдеру математика

Начнем с того, что математики изначально подходят ко всему скрупулезно – так сказать, издержки профессии. А это несомненный плюс для трейдера. Но как используется математика в повседневной торговле? Речь идет об элементарном подсчете размера лота на сделку, исходя из величины депозита, соблюдении правил управления капиталом, расчете потенциальной прибыли и убытков. Сделать эти несложные подсчеты способен, в принципе, любой человек. Для этого необходимы элементарные знания и логическое мышление, и с этим справляется множество трейдеров, не имеющих экономического образования.

Научиться рассчитывать величину лота для собственного депозита можно на любых обучающих курсах – для этого существуют несложные правила, так же как и для подсчета количества пунктов до стоп-лосса и тейк-профита. Главное – разработать собственную торговую стратегию и четко следовать ее принципам. На начальном этапе торговли всего этого вполне достаточно.

Математика как основа процессов на рынке Форекс

С другой стороны, Форекс – это четкая последовательность чисел, ведь именно колебание валютных курсов и дает возможность заработать. А значит, именно четкий структурированный подход должен помочь найти определенные закономерности на Форексе и выработать свою торговую стратегию.

Все технические индикаторы, которые используются в торговых системах, построены на основе математических принципов: используя точные значения цены за определенный период времени, они выводят какие-то закономерности. Однако сегодня все это уже давно делается автоматически, и трейдеру вовсе необязательно вручную высчитывать среднее арифметическое скользящей средней за 8 или 12 периодов. Вопрос в том, что практически все индикаторы подают запаздывающие сигналы, а значит, делать ставку только на них в торговле, вероятно, не стоит.

Размышления о математических закономерностях

Когда трейдер проводит технический анализ графика, он всегда оперирует цифрами – уровни поддержки и сопротивления, важные ключевые уровни, значение стопа и профита и т.д. Поскольку эти значения высчитываются примерно одинаково во всем мире (по одинаковым принципам), то они действительно работают! Вопрос в том, как именно они работают.

Когда цена приближается к определенному уровню, миллионы трейдеров ожидают какой-то реакции и… сами реагируют на этот уровень, закрывая или открывая сделки. Так к сухому чисто математическому подходу подмешивается психологический или эмоциональный фактор. Вот и получается, что числа играют «магическую» роль, а закономерность это или просто влияние толпы – сказать наверняка не сможет никто.

Если взглянуть вглубь, то реакция толпы на важные математически рассчитанные уровни – это, конечно, не причина, а следствие, но сегодня именно эта реакция чаще всего оказывает гораздо более сильное влияние, чем сами уровни. Разумеется, на эту тему можно спорить, но спорить с тем, что математика помогает отчетливее видеть то, что происходит на Форексе, вряд ли кто-то решится. А уж по каким причинам срабатывают эти математические законы – не суть важно: гораздо важнее научиться использовать их в свою пользу.

А как Вы считаете так уж нужны глубокие математические знания современному трейдеру?

Авторские права на статью принадлежат ForexForum.ru
При поддержке :

Последний раз редактировалось Aisller; 19.04.2012 в 17:13 .

Математика в трейдинге. Оценка результатов торговых сделок

Введение: Математика — царица наук

Знание математики в минимальном объеме желательно для любого трейдера, и это утверждение даже не требует доказательств. Вопрос только в том, как определить этот минимальный объем. В процессе развития торгового опыта трейдер зачастую самостоятельно расширяет свой кругозор, читая сообщения на форумах или черпая информацию из книг. Одни книги написаны с меньшими требованиями к уровню подготовки читателя, другие, наоборот, стимулируют к изучению или восстановлению знаний в той или иной области математической науки. Мы попробуем дать некоторые оценки и их толкования в одной статье.

Из двух зол выбираем меньшее

Математиков в мире больше, чем успешных трейдеров, и этот факт часто приводят как аргумент противники сложных расчетов или методик в торговле. На это можно возразить, что торговля — это не столько умение разрабатывать торговые правила (умение анализировать), сколько способность соблюдать эти самые разработанные торговые правила (дисциплина). Кроме того, до сих пор не создана (и, думается, никогда не будет создана) теория, которая точно описывает процесс ценообразования на финансовых рынках. Само создание теории (открытие математической природы) финансовых рынков означает смерть этих рынков, что является неразрешимым парадоксом с точки зрения философии. Но если перед нами стоит вопрос — идти на рынок с багажом из не полностью удовлетворительного математического описания рынка или совсем без этого багажа, — то мы выбираем меньшее зло. Мы выбираем математические методы оценки торговых систем.

В чем ненормальность нормального распределения?

Одним из основных понятий в теории вероятностей является понятие нормального распределения. Почему оно названо именно так? Оказалось, что множество процессов в природе имеет нормальное распределение. Точнее, большинство процессов в природе в пределе сходятся к нормальному распределению. Рассмотрим это на простом примере. Пусть у нас имеется равномерное распределение на интервале от 0 до 100. Равномерное распределение означает, что вероятность выпадения любого значения на интервале одинакова для всех чисел этого интервала, и вероятность того, что выпадет 3.14 (число Pi), такая же, как и вероятность выпадения числа 77 (любимое число с двумя семерками). Современные компьютеры дают возможность генерировать достаточно хорошую последовательность псевдослучайных чисел.

Как из этого равномерного распределения получить нормальное распределение? Оказывается, если мы будем брать каждый раз несколько случайных чисел из равномерного распределения (например, 5 чисел) и находить среднее значение этой пятерки (это называется сделать выборку), то при большом количестве таких выборок новое полученное распределение будет стремиться к нормальному. Центральная предельная теорема гласит, что это относится не только к выборкам из равномерных распределений, но и к широкому классу других распределений. А так как свойства нормального распределения очень хорошо изучены, то представление многих процессов в виде процесса с нормальным распределением облегачает анализ. Но лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать. С помощью простого индикатора на языке MQL4 мы можем увидеть подтверждение центральной предельной теоремы. Запускаем NormalDistribution.mq4 на любом графике с разным значением N (количество выборок) и видим, что эмпирическое частотное распределение становится все более гладким.

Рис.1. Индикатор,создающий нормальное распределение из равномерного.

Здесь N означает, сколько раз мы брали среднее из pile=5 равномерно распределенных чисел на интервале от 0 до 100. Мы получили четыре графика, которые очень похожи между собой, и если мы проведем в пределе некоторую нормировку (приведем к единому масштабу), то получим несколько реализаций стандартного нормального распеределения. Единственная горькая ложка дегтя в красоте такого подхода — цены на финансовых рынках (а точнее — приращения цен и другие производные от этих приращений), по большому счету, все же не укладываются в схему нормального распределения. Вероятность достаточно редкого события (например, падения цены на 50%) на финансовых рынках хоть и мала, но все же значительно больше, чем при нормальном распределении. Поэтому при оценке рисков на основе нормального распределения об этом все же надо помнить.

Количество переходит в качество

Даже на таком простом примере моделирования нормального распределения мы видим, что количество обрабатываемых данных имеет значение. Чем больше исходных данных, тем точнее и достовернее результаты. Считается, что минимальное число в выборке должно быть не меньше 30. То есть, если мы хотим оценить результаты торговых операций (например, эксперта в тестере), то количество сделок ниже 30 не является достаточным, чтобы делать статистически достоверные выводы о некоторых параметрах системы. Чем больше сделок мы анализируем, тем меньше вероятность того, что эти сделки являются просто удачно выхваченными звеньями не очень надежной торговой системы. Поэтому итоговая прибыль на серии из 150 сделок дает больше оснований для принятия на вооружение торговой системы, чем система, оцениваемая только по 15 сделкам.

Математическое ожидание и дисперсия как оценка риска

Две наиболее важные характеристики распределения — математическое ожидание (среднее) и дисперсия. Стандартное нормальное распределение имеет математическое ожидание, равное нулю. При этом центр распределения также приходится точно на ноль. Пологость или крутизна нормального распределения характеризуется мерой разброса случайной величины в районе математического ожидания. Дисперсия как раз и показывает нам разброс значений случайной величины вокруг ее математического ожидания.

Математическое ожидание находится просто: для счетных множеств суммируются все значения распределения, и полученная сумма делится на количество значений. Например, множество натуральных чисел является бесконечным, но счетным множеством, так как с каждым значением можно сопоставить его индекс (порядковый номер). Для несчетных множеств применяется интегрирование. Для оценки математического ожидания серии сделок мы сложим все результаты сделок и разделим на число сделок. Полученное значение показывает ожидаемый средний результат от каждой сделки. Если математическое ожидание положительно, в среднем мы зарабатываем. Если же оно отрицательно, то в среднем мы проигрываем.

Рис.2. График плотности вероятности нормального распределения.

Мерой разброса распределения является сумма квадратов отклонений случайной величины от его математического ожидания. Эту характеристику распределения называют дисперсией. Обычно математическое ожидание для случайно распределенной величины обозначают как M(X). Тогда дисперсию можно записать как D(X) = M((X-M(X))^2 ). Квадратный корень из дисперсии называют стандартным отклонением, другое его краткое наименование — сигма (σ). Именно нормальное распределение, у которого математическое ожидание равно нулю, а стандартное отклонение равно 1, называют стандартным нормальным распределением или распределением Гаусса.

Чем больше значение стандартного отклонения, тем большей изменчивости подвержен торговый капитал, тем больше риск для него. Если математическое ожидание положительно (стратегия выигрышная) и равно $100, а стандартное отклонение равно $500, то мы рискуем в несколько раз большей суммой, чтобы заработать каждый доллар. Например, мы имеем результаты 30 сделок:

Номер сделки X (Результат)
1 -17.08
2 -41.00
3 147.80
4 -159.96
5 216.97
6 98.30
7 -87.74
8 -27.84
9 12.34
10 48.14
11 -60.91
12 10.63
13 -125.42
14 -27.81
15 88.03
Номер сделки X (Результат)
16 32.93
17 54.82
18 -160.10
19 -83.37
20 118.40
21 145.65
22 48.44
23 77.39
24 57.48
25 67.75
26 -127.10
27 -70.18
28 -127.61
29 31.31
30 -12.55

Чтобы найти математическое ожидание этой последовательности сделок, сложим все результаты и разделим на 30. Получим среднее значение M(X), равное $4.26. Чтобы найти стандартное отклонение, вычтем из результата каждой сделки среднее, возведем в квадрат и найдем сумму квадратов. Найденную сумму разделим на 29 (количество сделок минус один). Получили дисперсию D, равную 9 353.623. Возьмем корень из дисперсии и получим стандартное отклонение sigma, равное $96.71.

Данные для проверки записаны в таблицу:

Номер
сделки
X
(Результат)
X-M(X)
(Разница)
(X-M(X))^2
(Квадрат разницы)
1 -17.08 -21.34 455.3956
2 -41.00 -45.26 2 048.4676
3 147.80 143.54 20 603.7316
4 -159.96 -164.22 26 968.2084
5 216.97 212.71 45 245.5441
6 98.30 94.04 8 843.5216
7 -87.74 -92.00 8 464.00
8 -27.84 -32.10 1 030.41
9 12.34 8.08 65.2864
10 48.14 43.88 1 925.4544
11 -60.91 -65.17 4 247.1289
12 10.63 6.37 40.5769
13 -125.42 -129.68 16 816.9024
14 -27.81 -32.07 1 028.4849
15 88.03 83.77 7 017.4129
16 32.93 28.67 821.9689
17 54.82 50.56 2 556.3136
18 -160.10 -164.36 27 014.2096
19 -83.37 -87.63 7 679.0169
20 118.40 114.14 13 027.9396
21 145.65 141.39 19 991.1321
22 48.44 44.18 1 951.8724
23 77.39 73.13 5 347.9969
24 57.48 53.22 2 832.3684
25 67.75 63.49 4 030.9801
26 -127.10 -131.36 17 255.4496
27 -70.18 -74.44 5 541.3136
28 -127.61 -131.87 17 389.6969
29 31.31 27.05 731.7025
30 -12.55 -16.81 282.5761

Что мы получили: математическое ожидание равно $4.26, стандартное отклонение равно $96.71. Не самое лучшее соотношение риска и средней сделки. График прибыли подтверждает этот вывод:

Рис.3. График изменения баланса по совершенным сделкам.

Случайно ли я торгую? Z-счет

Само предположение, что прибыль, полученная в результате серии торговых операций является случайной, для многих трейдеров может звучать издевательски. Проведя достаточно долгое время в поисках своей торговой системы, которая на практике уже дала реальную прибыль на достаточно ограниченном промежутке времени, трейдер получает подтверждение правильности найденного подхода к рынку. И теперь допустить, что все это было случайностью? Это уже слишком, особенно для новичков. Тем не менее, необходимость объективной оценки результатов торговли очень существенна. В этом случае на помощь снова приходит нормальное распределение.

Мы не знаем, каков будет результат каждой отдельной сделки. Мы только можем сказать, что мы либо получим прибыль (+), либо потерпим убыток (-). Чередование убытков и прибылей может происходить по-разному для каждой торговой системы. Например, если размер предполагаемой прибыли в 5 раз меньше размера предполагаемого убытка при срабатывании Stop Loss, то разумно предполагать, что прибыльных сделок (со знаком +) будет существенно больше, чем убыточных (со знаком минус). Z-счет позволяет оценить, насколько часто прибыльные сделки сменяются убыточными.

Z-счет для торговой системы вычисляется по формуле:

где:
N — общее число сделок в последовательности;
R — общее число серий выигрышных и проигрышных сделок;
P = 2*W*L;
W — общее число выигрышных сделок в последовательности;
L — общее число проигрышных сделок в последовательности.

Серия — это последовательность идущих друг за другом плюсов (например, +++) или минусов (например, —). R подсчитывает количество таких серий.

Рис.4. Сравнение двух серий выигрышей и проигрышей.

На рисунке синим цветом показана часть последовательности выигрышей и проигрышей эксперта, который занял первое место на Чемпионате Automated Trading Championship 2006. Z-score его конкурсного счета имеет значение -3.85, в скобках указана вероятность 99.74%. Это означает, что с вероятностью 99.74% сделки на этом торговом счете имели положительную зависимость между собой (Z-счет отрицателен): за одним выигрышем следовал другой выигрыш, за проигрышем опять шел проигрыш. Так ли это? Те, кто следил за Чемпионатом, помнят, что Roman Rich выставил на нем свою версию советника MACD, который часто открывал сразу по три сделки в одном направлении.

Красным цветом показана типичная последовательность положительных и отрицательных значений случайной величины для нормального распределения. Мы видим, что эти последовательности отличаются между собой, но как измерить это отличие? Z-счет дает нам ответ на этот вопрос: содержит ли ваша последовательность прибылей и убытков больше или меньше полос (серий выигрышей или проигрышей), чем можно было бы ожидать от действительно случайной последовательности, в которой нет зависимости между сделками. Если Z-счет близок к нулю, мы не можем сказать, что распределение торговых сделок отличается от нормального распределения. Z-счет последовательности сделок может дать нам информацию о возможной зависимости между результатами подряд идущих сделок.

При этом значения Z трактуются так же, как и вероятность отклонения от нуля случайной величины, распределенной по закону стандартного нормального распределения (среднее=0, sigma=1). Если вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в диапазоне ±3σ равна 99.74 %, то попадание этого значения за пределы этого интервала с той же вероятностью 99.74% говорит нам о том, что эта случайная величина не принадлежит данному нормальному распределению. Поэтому «правило трех сигм» читают так: нормальная случайная величина отклоняется от своего среднего не более, чем на три сигмы.

Знак Z говорит нам о типе зависимости. Положительное говорит нам о том, что за прибыльной сделкой наиболее вероятна убыточная, а отрицательное — что за выигрышем последует выигрыш, а проигрыш повлечет за собой также проигрыш. Небольшая таблица иллюстрирует тип и вероятность зависимости между сделками по сравнению с нормальным распределением.

Z-счет Вероятность зависимости,% Тип зависимости
-3.0 99.73 Положительная
-2.9 99.63 Положительная
-2.8 99.49 Положительная
-2.7 99.31 Положительная
-2.6 99.07 Положительная
-2.5 98.76 Положительная
-2.0 95.45 Положительная
-1.5 86.64 Неопределенная
-1.0 68.27 Неопределенная
0.0 0.00 Неопределенная
1.0 68.27 Неопределенная
1.5 86.64 Неопределенная
2.0 95.45 Отрицательная
2.5 98.76 Отрицательная
2.6 99.07 Отрицательная
2.7 99.31 Отрицательная
2.8 99.49 Отрицательная
2.9 99.63 Отрицательная
3.0 99.73 Отрицательная

Положительная зависимость между сделками означает (Z-счет отрицателен), что выигрыш порождает выигрыш, а проигрыш порождает проигрыш. Отрицательная зависимость означает, что после выигрыша последует проигрыш, а после проигрыша последует выигрыш. Выявленная зависимость позволяет регулировать размеры открываемых позиций (в идеале) или даже пропускать некоторые из них и открывать их только виртуально для отслеживания последовательности сделок.

Прибыль за время удержания сделки (HPR)

В своей книге «Математика управления капиталом» Ральф Винс использует понятие HPR (holding period returns) — прибыль за время удержания сделки. Сделке, которая принесла 10% прибыли, соответствует HPR=1+0.10=1.10. Сделке же, принесшей убыток в 10%, соответствует HPR=1-0. 10=0.90. По-другому значение HPR для сделки можно получить, если разделить значение баланса после закрытия сделки (BalanceClose) на значение баланса на момент открытия сделки (BalanceOpen). HPR=BalanceClose/BalanceOpen. Таким образом, каждой сделке соответствует не только результат сделки в денежном выражении, но и HPR. Это позволяет сравнивать системы вне зависимости от величины торгуемых контрактов. Одним из показателей такого сравнения является среднее арифметическое — AHPR (average holding period returns).

Чтобы найти AHPR, нужно сложить все HPR и разделить на количество сделок. Рассмотрим эти расчеты используя предыдущий пример из 30 сделок. Предположим, что мы начали торговать, имея на счете $500. Составим новую таблицу:

Номер сделки Баланс, $ Результат, $ Баланс
по закрытии, $
HPR
1 500.00 -17.08 482.92 0.9658
2 482.92 -41.00 441.92 0.9151
3 441.92 147.80 589.72 1.3344
4 589.72 -159.96 429.76 0.7288
5 429.76 216.97 646.73 1.5049
6 646.73 98.30 745.03 1.1520
7 745.03 -87.74 657.29 0.8822
8 657.29 -27.84 629.45 0.9576
9 629.45 12.34 641.79 1.0196
10 641.79 48.14 689.93 1.0750
11 689.93 -60.91 629.02 0.9117
12 629.02 10.63 639.65 1.0169
13 639.65 -125.42 514.23 0.8039
14 514.23 -27.81 486.42 0.9459
15 486.42 88.03 574.45 1.1810
16 574.45 32.93 607.38 1.0573
17 607.38 54.82 662.20 1.0903
18 662.20 -160.10 502.10 0.7582
19 502.10 -83.37 418.73 0.8340
20 418.73 118.40 537.13 1.2828
21 537.13 145.65 682.78 1.2712
22 682.78 48.44 731.22 1.0709
23 731.22 77.39 808.61 1.1058
24 808.61 57.48 866.09 1.0711
25 866.09 67.75 933.84 1.0782
26 933.84 -127.10 806.74 0.8639
27 806.74 -70.18 736.56 0.9130
28 736.56 -127.61 608.95 0.8267
29 608.95 31.31 640.26 1.0514
30 640.26 -12.55 627.71 0.9804

AHPR находим как среднее арифметическое, оно равно 1.0217. Другими словами, мы в среднем зарабатываем (1.0217-1)*100%=2.17 % на каждой сделке. Так ли это? Если мы умножим 2.17 на 30, то получим, что доход должен составить 65.1%. Умножим первоначальный капитал $500 на 65.1% и получим $325.50. В то же время реальная прибыль составляет (627.71-500)/500*100%=25. 54%. Таким образом, среднее арифметическое от HPR не всегда позволяет правильно оценить систему.

Наряду со средним арифметическим Ральф Винс вводит понятие среднего геометрического, которое мы обозначили как GHPR (geometric holding period returns), которое практически всегда меньше среднего арифметического AHPR. Среднее геометрическое является фактором роста за игру и находится по формуле:

где:
N — количество сделок;
BalanceOpen — начальное состояние счета;
BalanceClose — конечное состояние счета.

Система с наибольшим средним геометрическим принесет наибольшую прибыль, если торговать на основе реинвестирования. Среднее геометрическое меньше единицы означает, что система будет терять деньги, если вы будете торговать на основе реинвестирования. Хорошей иллюстрацией разницы между AHPR и GHPR может служить счет sashken’а, который долгое время был лидером Чемпионата. AHPR=9.98% впечатляет, но итоговое GHPR=-27.68% все расставляет по своим местам.

Показатель Шарпа (Sharpe Ratio)

Эффективность инвестиций часто оценивают с точки зрения дисперсии доходов. Одним из таких показателей является коэффициент Шарпа (Sharpe Ratio). Этот коэффициент показывает, как соотносятся среднее арифметическое AHPR, уменьшенное на безрисковую ставку, и стандартное отклонение SD от ряда HPR. Значение безрисковой ставки RFR (Risk Free Rate) обычно принимают равным процентной ставке по доходу на депозит в банке или ставке дохода на казначейские обязательства. Для нашего примера, AHPR=1.0217, стандартное отклонение SD (HPR) равно 0.17607, а RFR=0.

где:
AHPR — средняя арифметическая прибыль за время удержания позиции;
RFR — безрисковая ставка;
SD — стандартное отклонение.

Sharpe Ratio=(1.0217-(1+0))/0.17607=0.0217/0.17607=0.1232. Для нормального стандартного распределения более 99% случайных величин находятся в диапазоне ±3σ (сигма=SD) вокруг среднего значения M(X). Из этого можно заключить, что значение Sharpe Ratio больше 3 является очень хорошим. Рисунок позволяет увидеть, что если результаты сделок распределены нормально, то при показателе Шарпа равном 3 вероятность получения убытка в каждой сделке меньше 1% — по правилу трех сигм.

Рис.5. Нормальное распределение результатов сделок с вероятностью проигрыша менее 1%.

Подтверждение этому можно увидеть на счете участника RobinHood: его эксперт совершил 26 сделок на Чемпионате Automated Trading Championship 2006, и среди них — ни одной убыточной. Показатель Шарпа (Sharpe Ratio) равен 3.07!

Линейная регрессия и коэффициент линейной корреляции

Можно и по-другому оценить стабильность торговых результатов. Показатель Шарпа позволяет оценить меру риска, которому подвергается торговый капитал, но можно попробовать оценить и степень гладкости кривой баланса. Если мы нанесем на график значения баланса по закрытии каждой сделки, то сможем провести ломаную линию. Можно аппроксимировать эти точки некоторой прямой линией, которая покажет нам среднее направление изменения торгового капитала. Рассмотрим эту возможность на примере графика баланса эксперта Phoenix_4, разработанного Hendrick’ом.

Рис.6. График баланса Hendrick — участника чемпионата Automated Trading Championship 2006.

Нам необходимо найти такие коэффициенты a и b, чтобы эта прямая линия проходила как можно ближе к аппроксимируемым точкам. Для нашего случая x — это номер сделки, y — значение баланса по закрытии сделки.

x (trades) y (balance)
1 11 069.50
2 12 213.90
3 13 533.20
4 14 991.90
5 16 598.10
6 18 372.80
7 14 867.50
8 16 416.80
9 18 108.30
10 19 873.60
11 16 321.80
12 17 980.40
13 19 744.50
14 16 199.00
15 17 943.20
16 19 681.00
17 21 471.00
18 23 254.90
x (trades) y (balance)
19 24 999.40
20 26 781.60
21 28 569.50
22 30 362.00
23 32 148.20
24 28 566.70
25 30 314.10
26 26 687.80
27 28 506.70
28 24 902.20
29 26 711.60
30 23 068.00
31 24 894.10
32 26 672.40
33 28 446.30
34 24 881.60
35 21 342.60

Обычно коэффициенты аппроксимирующей прямой находят по методу наименьших квадратов (МНК). Пусть у нас есть такая прямая с известными коэффициентами а и b. Для каждой точки x мы имеем два значения: y(x)=a*x+b и balance(x). Отклонение balance(x) от y(x) мы обозначим как d(x)=y(x)-balance(x). Сумма квадратов отклонений может быть посчитана как SD=Summ. Нахождение прямой по методу наименьших квадратов означает поиск таких коэффициентов a и b, чтобы SD была минимальна. Эту прямую также называют

(LR,Linear Regression) для данной последовательности.

Рис.7. Отклонение значения баланса от прямой y=ax+b

Получив коэффициенты прямой y=a*x+b по методу наименьших квадратов, мы можем оценить отклонение значений баланса от найденной прямой в денежном выражении. Если мы посчитаем среднее арифметическое для ряда d(x), то убедимся, что М(d(x)) близко к нулю (точнее, равно нулю с некоей степенью точности вычислений). В то же время сумма квадратов отклонений SD не равна нулю и имеет некое ограниченное значение. Корень квадратный из SD/(N-2) показывает разброс значений графика Баланса вокруг прямой линии и позволяет оценивать торговые системы при равных значениях начального состояния счета. Этот параметр мы назовем стандартным отклонением Баланса от линейной регрессии и обозначим как LR Standard error.

Вот каковы значения этого показателя для первых 15 счетов Чемпионата Automated Trading Championship 2006:

# Логин LR Standard error, $ Прибыль, $
1 Rich 6 582.66 25 175.60
2 ldamiani 5 796.32 15 628.40
3 GODZILLA 2 275.99 11 378.70
4 valvk 3 938.29 9 819.40
5 Hendrick 3 687.37 9 732.30
6 bvpbvp 9 208.08 8 236.00
7 Flame 2 532.58 7 676.20
8 Berserk 1 943.72 7 383.70
9 vgc 905.10 6 801.30
10 RobinHood 109.11 5 643.10
11 alexgomel 763.76 5 557.50
12 LorDen 1 229.40 5 247.90
13 systrad5 6 239.33 5 141.10
14 emil 2 667.76 4 658.20
15 payday 1 686.10 4 588.90

Но степень близости графика баланса к прямой линии можно измерить не только в денежном выражении, но и в абсолютном. Для этого можно использовать коэффициент корреляции. Коэффициент корреляции r измеряет степень связи между двумя последовательностями чисел. Значение этого параметра может быть в диапазоне от -1 до +1. Если значение r равно +1, то это значит, что обе последовательности ведут себя одинаково и корреляция положительна.

Рис.8. Пример положительной корреляции.

Eсли значение r равно -1, то две последовательности меняются в противофазе, корреляция отрицательна.

Рис.9. Пример отрицательной корреляции.

Если значение r равно нулю, значит, зависимости между последовательностями не обнаружено. То есть, нужно подчеркнуть, что нулевой коэффициент корреляции говорит не об отсутствии зависимости, а только о том, что зависимость не обнаружена. Нужно помнить об этом и не заменять одно утверждение другим. Для нашего случая нам необходимо соотнести две последовательности чисел: одна последовательность из графика баланса, а вторая — соответствующие точки на прямой линейной регрессии.

Рис.10. Значения баланса и точек на линейной регрессии.

В виде таблицы это будет выглядеть так:

Сделка Баланс Лин. регресс.
0 10 000.00 13 616.00
1 11 069.52 14 059.78
2 12 297.35 14 503.57
3 13 616.65 14 947.36
4 15 127.22 15 391.14
5 16 733.41 15 834.93
6 18 508.11 16 278.72
7 14 794.02 16 722.50
8 16 160.14 17 166.29
9 17 784.79 17 610.07
10 19 410.98 18 053.86
11 16 110.02 18 497.65
12 17 829.19 18 941.43
13 19 593.30 19 385.22
14 16 360.33 19 829.01
15 18 104.55 20 272.79
16 19 905.68 20 716.58
17 21 886.31 21 160.36
Сделка Баланс Лин. регресс.
18 23 733.76 21 604.15
19 25 337.77 22 047.94
20 27 183.33 22 491.72
21 28 689.30 22 935.51
22 30 411.32 23 379.29
23 32 197.49 23 823.08
24 28 679.11 24 266.87
25 29 933.86 24 710.65
26 26 371.61 25 154.44
27 28 118.95 25 598.23
28 24 157.69 26 042.01
29 25 967.10 26 485.80
30 22 387.85 26 929.58
31 24 070.10 27 373.37
32 25 913.20 27 817.16
33 27 751.84 28 260.94
34 23 833.08 28 704.73
35 19 732.31 29 148.51

Значения баланса обозначим как X, а последовательность точек на прямой линейной регрессии обозначим как Y. Для того чтобы вычислить коэффициент линейной корреляции между последовательностями X и Y, сначала необходимо найти средние значения M(X) и M(Y). Затем создадим новую последовательность T=(X-M(X))*(Y-M(Y)) и вычислим среднее значение для нее M(T)=cov(X,Y)=M((X-M(X))*(Y-M(Y))). Найденное значение cov(X, Y) называется ковариацией X и Y и означает математическое ожидание от произведения (X-M(X))*(Y-M(Y)). Для нашего примера значение ковариации равно 21 253 775.08. Обратите внимание, что средние значения M(X) и M(Y) равны между собой и имеют значение 21 382.26. То есть, среднее значений Баланса и среднее значений аппроксимирующей прямой равны между собой.

где:
X — баланс;
Y — линейная регрессия;
M(X) — среднее от баланса;
M(Y) — среднее от линейной регрессии.

Теперь нам осталось вычислить значения Sx и Sy. Чтобы вычислить Sx, найдем сумму значений (X-M(X))^2, то есть найдем сумму квадратов отклонения величины X от его среднего значения. Вспомните, как мы вычисляли дисперсию и алгоритм метода наименьших квадратов(МНК), как видите, все они пересекаются. Найденную сумму квадратов разделим на количество чисел в последовательности — в нашем случае их 36 (от нуля до 35) — и возьмем из найденного значения квадратный корень. Значение Sx получено. Значение Sy вычисляем аналогично. Для нашего примера — Sx=5839.098245 и Sy=4610.181675.

где:
N — количество сделок;
X — баланс;
Y — линейная регрессия;
M(X) — среднее от баланса;
M(Y) — среднее от линейной регрессии.

Теперь мы можем найти значение коэффициента корреляции как r=21 253 775.08/(5839. 098245 * 4610.181675)=0.789536583. Это меньше единицы, но далеко не ноль. Таким образом, мы можем сказать, график баланса коррелирует с линией тренда со значением 0.79. При сравнении с другими системами мы постепенно научимся трактовать значения коэффициента корреляции. На странице «Отчеты» данный параметр обозначен как LR correlation. Единственная разница, которая была сделана для расчета параметра на страницах Чемпионата, — знак LR correlation указывает прибыльность торговли.

Дело в том,что мы могли вычислять коэффициент корреляции между графиком баланса и любой прямой линией. Для Чемпионата корреляция вычислялась для восходящей линии тренда, поэтому, если LR correlation больше нуля, — торговля прибыльна, если меньше нуля — убыточна. Бывает интересный эффект, когда на счете показана прибыль, но знак LR correlation отрицательный, что может говорить об убыточности торговли. Пример такой ситуации можно увидеть у Aver`а. Чистая прибыль (Total Net Profit) составляет $2 642, а LR сorrelation равна -0. 11. Хотя в данном случае речь скорее всего идет об отсутствии корреляции, то есть о невозможности сделать заключение о дальнейшей судьбе торгового счета.

Параметры MAE и MFE нам многое расскажут

Мы часто слышим: «Обрезайте убытки и дайте прибыли расти». Глядя на итоговый результат торговли, в котором представлены исходы торговых операций, мы не можем сделать никаких выводов о наличии защитных стопов (Stop Loss) или об эффективности фиксации прибыли. Мы видим только дату открытия позиции, дату закрытия и итоговый результат — прибыль или убыток. Это все равно что судить о жизни человека только по датам рождения и смерти. Не имея информации о плавающей прибыли в течение жизни каждой торговой позиции и обо всех позициях в совокупности, мы не можем вынести суждения о характере торговой системы. Насколько она рискованна, как достигалась прибыль, не упускалась ли бумажная прибыль? Ответы на эти вопросы в достаточной мере нам могут дать параметры MAE (Maximum Adverse Excursion) и MFE (Maximum Favorable Excursion).

Каждая открытая позиция до момента закрытия постоянно испытывает колебания прибыли. Каждая сделка в период между открытием и закрытием достигала максимальной прибыли и максимального убытка. MFE показывает максимальное движение цены в благоприятном направлении. Соответственно, MAE показывает максимально неблагоприятное движение цены. Логично было бы измерять оба показателя в пунктах, но если торговля велась на различных валютных парах, то для приведения к общему знаменателю мы будем использовать денежное выражение.

Каждой закрытой сделке соответствуют результат этой сделки (return) и два показателя — MFE и MAE. Если сделка дала прибыль в $100, но при этом MAE (максимальный плавающий убыток за время жизни позиции) достигала -$1000, то это не лучшим образом характеризует данную сделку. Наличие множества сделок с положительным результатом, но с большим отрицательными значениями MAE для каждой сделки говорят нам от том, что система пересиживает убыточные позиции, и рано или поздно такая торговля обречена.

Аналогично можно получить информацию и из значений MFE. Если позиция была открыта в правильном направлении, MFE (незафиксированная максимальная прибыль) по сделке достигала $3000, но в результате сделка была закрыта с результатом плюс $500, можно сказать, что неплохо было бы доработать систему защиты незафиксированной прибыли. Это может быть какой-то плавающий стоп (Trailing Stop), который мы можем подтягивать за ценой при благоприятном движении цены. Если недобор прибыли является систематическим, значит, торговая система может быть существенно улучшена. MFE расскажет нам об этом.

Для удобства визуального анализа лучше всего использовать графическое представление распределения значений MAE и MFE. Если мы нанесем каждую сделку на график, то мы увидим, каким образом был достигнут результат. Например, если мы опять посмотрим «Отчеты» участника RobinHood, у которого не было ни одной убыточной сделки, то увидим, что каждая из них имела просадку (MAE) от -$120 до -$2500.

Рис.11. Распределение сделок на плоскости MAE x Returns

Кроме того, мы можем провести прямую линию, которая аппроксимирует распределение Returns x MAE по методу наименьших квадратов. На рисунке она показана синим цветом и имеет отрицательный наклон (значения прямой уменьшаются при движении слева направо). Параметр Correlation(Profits, MAE)=-0,59 позволяет оценить, насколько близко к прямой линии распределены точки на графике, а отрицательное значение показывает отрицательный наклон аппроксимирующей линии.

Если Вы просмотрите счета других участников, то увидите, что обычно коэффициент корреляции является положительным. В данном примере нисходящий наклон линии говорит нам о тенденции получать все большие просадки в стремлении не допустить убыточных сделок. Теперь мы понимаем, какую цену пришлось заплатить за идеальное значение параметра LR Correlation=1!

Аналогично можно построить график распределения Returns и MFE, а также найти коэффиценты корреляции Correlation(Profits,MFE)=0.77 и Correlation(MFE, MAE)=-0.59. Значение коэффициента Correlation(Profits, MFE) является положительным и стремится к единице (0.77). Это говорит нам о том, что данная стратегия старается не допускать больших пересиживаний плавающих прибылей, скорее всего, прибыли не дают подрасти и сделки закрываются по фиксированному уровню Take Profit. Как видите, распределения MAE и MFE дают нам визуальную оценку, а значения коэффициентов корреляции Correlation(Profits, MFE) и Correlation(Profits, MAE) могут дать информацию о характере торговли даже без графиков.

Значения Correlation(MFE, MAE), Correlation(NormalizedProfits, MAE) и Correlation(NormalizedProfits, MFE) в «Отчетах» участников Чемпионата даны в качестве дополнительной информации.

Нормализация результатов сделок

Обычно при разработке торговых систем используют фиксированные размеры позиций. Так легче проводить оптимизацию параметров системы с целью нахождения наиболеее оптимальных по некоторым критериям параметров. Но после того как параметры были найдены, неизбежно встает вопрос о том, какую систему управления размерами позиций применить (Money Management, MM). Размер открываемых позиций напрямую связан с размером денежных средств на торговом счете, поэтому неразумно торговать на счете размером $5 000 такими же объемами позиций, как на счете с $50 000. Кроме того, система ММ может открывать не прямо пропорциальные позиции, то есть позиция на депозите $50 000 не обязательно должна быть в 10 раз больше позиции, открываемой на депозите $5 000.

Размеры позиций могут варьироваться также, исходя из текущей фазы рынка, анализа результатов нескольких последних сделок и так далее. То есть применяемая система управления капиталом может существенно изменить первоначальный облик торговой системы. И как нам оценить влияние примененной системы управления капиталом, пошла она во благо или только усугубила отрицательные стороны торгового подхода? Как нам сравнить результаты торговли на нескольких счетах с равными начальными условиями — размером депозита? Один из возможных вариантов решения этой задачи — сделать нормализацию результатов сделок, привести их к одному знаменателю.

где:
TradeProfit — прибыль со сделки в денежном выражении;
TradeLots — размер позиции (лоты);
MinimumLots — минимально допустимый размер позиции.

Нормализация будет заключаться в том, что результат каждой сделки (прибыль или убыток) мы будем делить на объем позиции и затем еще умножать на минимально допустимый размер для открытия торговой позиции. Например, ордер #4399142 BUY 2.3 lots USDJPY закрыт с прибылью $4 056. 20 + $118.51 (swaps) = $4 174.71. Пример взят со счета GODZILLA (Nikolay Kositsin). Разделим результат на 2.3 и умножим на 0.1 (минимально допустимый размер позиции), получим прибыль $4 056.20/2.3 * 0.1 = $176.36 и swaps = $5.15. Такие результаты имел бы ордер, открытый объемом 0.1 лот. Проделаем такую операцию с результатами всех сделок и получим нормализованные результаты (Normalized Profits, NP).

Первое, что приходит в голову, — найти значения Correlation(NormalizedProfits, MAE) и Correlation(NormalizedProfits, MFE), и сравнить их с первоначальными Correlation(Profits, MAE) и Correlation(Profits, MFE). Если разница между параметрами будет значительна, то, возможно, примененный метод управления капиталом существенно изменил первоначальную систему. Говорят, что применение ММ (Money Management) может «убить» прибыльную систему, но не превратит проигрышную систему в выигрышную. На Чемпионате счет TMR явился редким исключением, когда изменение значения Correlation(NormalizedProfits, MFE) c 0.23 до 0.63 позволило остаться в плюсе.

Как оценить агрессивность стратегии?

Мы можем извлечь еще большую пользу из нормализованных сделок для измерения степени влияния примененного метода управления капиталом. Очевидно, что если размеры открываемых позиций увеличить в 10 раз, то и конечный результат будет отличаться от первоначального в 10 раз. А если увеличивать размеры сделок не в заданное число раз, а в зависимости от текущей ситуации? Результаты, полученные управляющими фондами, принято сравнивать с неким эталоном, обычно — с каким-либо фондовым индексом. Коэффициент Beta показывает, во сколько раз сильнее изменяется торговый счет по сравнению с индексом. Если в качестве индекса мы возьмем нормализованные сделки, то сможем узнать, во сколько раз волатильнее стали результаты сделок по сравнению с первоначальной системой со сделками в 0.1 лот.

Итак, сначала мы вычислим ковариацию cov(Profits, NormalizedProfits). Затем — дисперсию нормализованных сделок, обозначив последовательность нормализованных сделок как NP. Для этого мы найдем математическое ожидание нормализованных сделок, которое обозначим как M(NP). M(NP) показывает результат средней сделки для нормализованных сделок. Затем найдем сумму квадратов отклонений нормализованных сделок от M(NP), то есть просуммируем величины (NP-M(NP))^2. Полученную сумму разделим на количество сделок и обозначим как D(NP). Это и есть дисперсия нормализованных сделок. Разделим ковариацию между измеряемой системой Profits и эталонным индексом NormalizedProfits cov(Profits, NormalizedProfits) на дисперсию индекса D(NP) и получим значение параметра, которое позволит нам оценить, во сколько раз сильнее колеблется торговый капитал от результатов оригинальных сделок (сделок на Чемпионате) по сравнению с нормализованными сделками. В «Отчетах» Чемпионата этот параметр назван Money Compounding и в какой-то степени является показателем агрессивности торговли.

где:
Profits — результаты сделок;
NP — нормализованные результаты сделок.
M(NP) — среднее от нормализованных сделок.

Теперь мы можем взглянуть на таблицу участников Чемпионата Automated Trading Championship 2006 немного другими глазами.

# Логин LR Standard error, $ LR Correlation Sharpe GHPR Z-score (%) Money Compounding Прибыль, $
1 Rich 6 582.66 0.81 0.41 2.55 -3.85(99.74) 17.27 25 175.60
2 ldamiani 5 796.32 0.64 0.21 2.89 -2.47 (98.65) 28.79 15 628.40
3 GODZILLA 2 275.99 0.9 0.19 1.97 0.7(51.61) 16.54 11 378.70
4 valvk 3 938.29 0.89 0.22 1.68 0.26(20.51) 40.17 9 819.40
5 Hendrick 3 687.37 0.79 0.24 1.96 0.97(66.8) 49.02 9 732.30
6 bvpbvp 9 208.08 0.58 0.43 12.77 1.2(76.99) 50.00 8 236.00
7 Flame 2 532.58 0.75 0.36 3.87 -2.07(96.06) 6.75 7 676.20
8 Berserk 1 943.72 0.68 0.20 1.59 0.69(50.98) 17.49 7 383.70
9 vgc 905.10 0.95 0.29 1.63 0.58(43.13) 8.06 6 801.30
10 RobinHood 109.11 1.00 3.07 1.74 N/A (N/A) 41.87 5 643.10
11 alexgomel 763.76 0.95 0.43 2.63 1.52(87.15) 10.00 5 557.50
12 LorDen 1229.40 0.8 0.33 3.06 1.34(81.98) 49.65 5 247.90
13 systrad5 6 239.33 0.66 0.27 2.47 -0.9(63.19) 42.25 5 141.10
14 emil 2 667.76 0.77 0.21 1.93 -1.97(95.12) 12.75 4 658.20
15 payday 1686.10 0.75 0.16 0.88 0.46(35.45) 10.00 4 588.90

Стандартная ошибка отклонения от линейной регрессии баланса LR Standard error у Победителей Чемпионата была не самая маленькая. В то же время графики баланса у большинства прибыльных экспертов были достаточно гладкими, так как значения LR Correlation не так далеки от 1.0. Показатель Шарпа в основном был в диапазоне от 0.20 до 0.40. Единственный эксперт с экстремальным значением Sharpe Ratio=3.07, как оказалось при ближайшем рассмотрении, имеет не самые лучшие показатели MAE и MFE.

Среднее геометрическое сделки в основном располагается в диапазоне от полутора до трех процентов. При этом победители имеют не самые большие значения GHPR, но и не самые малые. Эстремальное значение GHPR=12.77% опять говорит нам об аномалии в торговле, и мы видим, что этот счет испытывал самые большие колебания с LR Standard error=$9 208.08.

Z-score не дает нам каких-либо обобщений о первых 15 участниках Чемпионата, но большие значения |Z|>2.0 могут привлечь наше внимание к истории торговли, чтобы разобраться в природе зависимости между сделками на счете. Так, мы уже знаем, что Z=-3.85 для счета Rich’а на самом деле достигнут за счет одновременного открытия трех позиций, а как дело обстоит на счете ldamiani?

Колонка Money Compounding также имеет широкий диапазон значений от 8 до 50. Причем, значение 50 является максимальным для чемпионата, так как размер максимально допустимой сделки составлял 5.0 лота, что в 50 раз больше размера 0.1 минимального лота. Но, как ни странно, этот параметра не самый большой у победителей, первые три места имеют значения 17.27, 28.79 и 16.54. Неужели победители не в полной мере использовали максимальный разрешенный размер торговых сделок? Но нет же, использовали. Вероятно, дело в том, что примененные методы управления размером позиций не так сильно увеличили риски на торговом счете при общем увеличении размеров контрактов. То есть мы наглядно увидели, насколько система управления капиталом важна для торговой системы.

На 15-м месте находится счет payday. Советник, торговавший на нем, из-за небольшой ошибки в коде не мог открывать сделки с объемом более 1.0 лота. А если бы этой ошибки не было и размеры позиций были бы увеличены в 5 раз до 5.0 лота, увеличилась бы в той же пропорции и прибыль с $4 588.90 до $22 944.50? Занял бы он второе место на Чемпионате или пережил бы непоправимый DrawDown из-за возросших рисков? А может, первое место занял бы alexgomel? Его советник также торговал только 1.0 лотом. Или победа могла бы достаться vgc, эксперт которого чаще всего открывал сделки с объемом менее 1.0 лота. Все трое имеют хорошие показатели плавности хода графика баланса. Как видите, интрига Чемпионата не исчезла даже с его окончанием!

Заключение: Не выплеснуть ребенка вместе с водой

Сколько людей — столько и мнений. В этой статье приведены лишь самые общие подходы к оценке торговых стратегий. Можно придумать еще множество критериев, призванных оценивать результаты торговых операций. Каждая характеристика в отдельности не может дать полной и объективной оценки, но совокупность характеристик поможет нам избежать однобокого подхода в этом деле.

Можно сказать, что любой положительный результат (прибыль, полученную на достаточной последовательности сделок) мы можем подвергнуть дополнительному «допросу с пристрастием», дабы выявить негативные моменты в процессе торговли. То есть все эти критерии не столько могут охарактеризовать эффективность данной торговой стратегии, сколько, скорее, сообщат нам о слабых местах в торговле, на которые мы должны обращать внимание, не удовлеторяясь абсолютным конечным результатом — чистой прибылью, полученной на торговом счете.

Да, идеальной торговой системы не добиться, и в каждой торговой системе можно найти не только положительные стороны, но и жирные минусы. Критерии оценки нужны не для того, чтобы безапелляционно забраковать некий торговый подход, а для того чтобы знать, в каком направлении двигаться при разработке торговых систем и экспертов. В этом отношении статистика, накопленная на Чемпионате Automated Trading Championship 2006, является большим подспорьем для каждого трейдера.

Математические стратегии форекс

Если бы вам спросили, хотите получить стратегию, которая будет на 100% приносить доход? Скорей всего вы бы ответили «Конечно».

Но вот удивительно, математические стратегии форекс такого типа действительно существуют, ярким примером служит метод Мартингейла разработанный еще в 18 веке.

Главным недостатком данной стратегии является тот факт, что для успешной ее реализации у вас должны быть «широкие карманы».

Но, к сожалению никто, не может обладать неисчерпаемыми запасами, и возможно, так что даже один проигрыш приведет к полному банкротству. Помимо всего прочего иногда риск, намного больше чем сам выигрыш.

Что собой представляют математические стратегии форекс типа Мартингейла?

Суть самой системы заключается в том, что начать делать ставки, если вы проигрываете то вам необходимо увеличить эту ставку вдвое, так чтобы следующий выигрыш перекрыл проигрыш. Для примера возьмем обычную монетку.

Подкинем ее вверх, вероятность того что выпадет орел составляет 50% как и вероятность упасть решкой. Не будем рассматривать возможность упасть на ребро, так как данная вероятность весьма мизерная.

Итак, мы ставим 1 доллар на орла, выпадает решка, ставим 2 доллара на орла, выпадает опять решка в итоге мы уже в минусе на 3 доллара.

Ставим еще раз на орла, но уже 4 доллара, выпадает наконец-то ожидаемый результат и мы в выигрыше на 1 доллар.

Конечно, может быть и так, что нам опять не везет и в результате, мы можем оказаться банкротами. Именно из-за этого необходимо иметь широкие карманы.

Используем математические стратегии форекс типа Мартингейла в самой торговле.

Если посмотреть на пример выше, то вы, наверное, скажите что длинная череда неудач, это весьма редко, но на рынке форекс, когда дело касается валюты, все меняется.

Валюты стремятся к тренду, последние же могут длиться очень долгое время, а данную ситуацию вы еще сильнее ощутите на себе, если будете торговать не правильно.

Одной из основных особенностей Мартингейла на форексе заключается в том, что вы торгуете на «удваение вниз».

То есть сами себе снижаете среднюю цену, которая необходима для входа на рынок. Допустим для того чтобы выйти в зону безубыточности вам необходимо чтобы ваши два слота выросли в цене до 1,2630.

Но цена вдруг снижается ниже, в результате чего вам будет нужно добавить еще 4 слота и вот ваш уровень безубыточности уже снизился до 1,2625.

И так продолжается дальше, пока не будет достигнута зона безубыточности. Чем больше будет открыто слотов, меньше ваш средний показатель для входа.

Но это и еще очередной пример того, где математические стратегии форекс требуют широких карманов.

Ведь если у вас будет на счету меньше 5000 $ вы можете просто не дотянуть до того момента пока цена достигнет зоны безубыточности и просто напросто прогореть.

В результате чего если вы решаете торговать при помощи Мартингейла, то начинайте свою деятельность с маленьких слотов.

Почему же данным способом постоянно пользуются?

Одной из главных причин, по которой математические стратегии форекс типа Мартингейла пользуются популярностью заключается в том, что на валютном рынке цена никогда не может достигнуть нуля.

Например, акции компании могут достичь нуля, если компания обанкротиться, а вот Государство обанкротится, уже не может.

Чтобы это случилось должно произойти что-то по-настоящему катастрофическое. Суть всей торговли Мартингейла заключается в том, что цена не может постоянно находится в одном и том же диапазоне, она обязательно будет выходить за ее пределы и если все верно рассчитать благодаря брокерским платформам типа MT 4, то можно спокойно ставить ордера и после ждать прибыли.

И даже если произойдет так, что несколько ваших ордеров закроются с убытком, вы все равно сможете выиграть благодаря серии успешных ордеров, тут самое главное чтобы вам хватило депозита.

Сегодня многие компании постоянно усовершенствуют данную стратегию, привносят в нее новые технические особенности.

Выпускают специальные платформы и раздают указания для того чтобы верно определить сигналы рынка, но в основе всех этих стратегий лежит все тот же метод Мартингейла. Не спорю, что есть трейдеры, которые пользуются данным методом и получают свою прибыль.

Но стоит помнить, что одна сделка должна суметь закрыть вашу серию неудач, поэтому не стоит жадничать и необходимо открывать сделки малыми лотами.

Ко всему прочему Forex – это уникальный ресурс, который позволяет хорошо зарабатывать людям, имеющим хороший стартовый капитал, благодаря работе с процентами.

Благодаря процентам трейдер может успешно компенсировать свои потери. Получается так, что он должен покупать валюту по высокой процентной ставке, тем самым зарабатывая на проценте и продавать по низкой.

Видео «Принцип Мартингейла на Форекс» смотреть онлайн

При большой торговле выигрыш в процентах может быть весьма существенным, таким образом, снизится средний уровень выхода на рынок.

Математические торговые стратегии на Форекс

Тем, кто решил попытать счастья в Форекс важно знать математические стратегии, при помощи которых будет достигнут успех. Зачем нужны стратегии? Очень просто — математически прощитанные закономерности позволяют вести деятельность более успешно.

Некоторые трейдеры считают, что предсказать поведение Форекс http://frx-blog.ru вообще невозможно, в связи с этим заработать здесь можно только с помощью математических стратегий. Рассмотрим некоторые из них.

Мартингейл

Пожалуй, к одной из самых прибыльных, но и самых опасных стратегий http://frx-blog.ru/strategiya-torgovli-po-highlow-mashkam можно отнести стратегию Мартингейла. Изначально она была разработана для получения прибыли от игры в казино, но впоследствии ее трейдеры начали применять и при торговле на Форекс. Вся суть заключается в том, что после каждой проигрышной сделки трейдер открывает новую, но уже с лотом в два раза больше. Так, если он на второй сделке получает прибыль, то она покрывает убыток на предыдущей сделке и приносит еще +1 прибыли. Например, если первый лот открыт в 0.1, то второй открывается уде 0.2 и так далее, пока не закончатся деньги. По ней можно получать стабильную прибыль, но здесь все зависит от удачи, если «пронесет», то заработок будет стабильным и большим.

Даламбер

Эта торговая стратегия в обществе трейдеров известна пока слабо, а вот игроки казино используют ее достаточно активно. Данная стратегия чем-то похожа на Мартингейл, однако она очень «мягкая» в отношении к депозиту. Суть здесь заключается в том, что при проигрышной сделке размер лота нужно увеличивать, а при выигрышной – понижать.

Например: торговля начинается с ордера с лотом в 0.5. Если ордер проигрывает, то следующий ордер должен быть уже 0.6 и так далее. Если же ордер выигрывает, то лот нужно понизить до 0.4. При торговле по этой стратегии даже если шансы будут 50/50, трейдер будет получать стабильную прибыль. Не верите? А поэкспериментируйте на листке бумаги сами, открывая воображаемые прибыльные и убыточные сделки.

Скальпинг

Такую стратегию как скальпинг тоже можно отнести к математической, а точнее – это ветвь теории вероятности. Суть этой торговой стратегии в том, что сделки открываются с сравнительно маленьким уровнем Take Profit, то есть это буквально 2-3 пункта. Конечно, это маленькая прибыль, но если учитывать, что таких сделок можно открыть безгранично много, то и прибыль может стать безгранично большой. Если говорить о Stop Loss, то он должен быть в 10-20 пунктов. Вся стратегия построена на той теории, что вокруг любой точки на ценовом графике цена некоторое время движется волнами, то есть на пару пунктов вверх и на пару пунктов вниз. Так как уровень профита у нас маленький, то цене легче его выбить и сделка закрывается с прибылью. Конечно, бывает, что можно поймать и Stop Loss, но их наличие можно существенно сократить, если торговать по тренду или проявлять хоть немного интуиции.

Математика на Форекс

Приветствуем Вас друзья-трейдеры! Сегодня речь пойдет о математике, так что садитесь поудобнее и изучайте материал.

Математика на Форекс применяется валютными спекулянтами непосредственно во время проведения математических анализов. Цели такого вида анализа крайне значительно отличаются от тех целей, которые преследуются фундаментальным и техническим анализом, основное предназначение которых — это определение изменения направления рыночного движения (или, на трейдерском языке — тренда), уровней расстановки стоп-лоссов, а также тех точек, на которых будет производиться открытие/закрытие позиций.

Математикой на Форекс и математическим анализом преследуются совсем иные цели и основное их направление – это управление рисками и капиталом. Именно по этой причине Форекс математику не редко именуют как – Математика управления депозитом.

Следует отметить, что математика на Форекс базируется на теории вероятности, статистике, теории инвестиционного портфеля. При правильном её освоении у Вас появится возможность:

Производить расчеты какой долей депозита можно вести торговлю

Перед тем, как начинать торговлю, валютный спекулянт должен обязательно для себя решить – какой суммой пользоваться для торговли и какую из позиций открывать (существуют короткие, средние и длинные позиции). Стоит добавить и то, что решение о том, каким процентом депозита начинать торговлю, не способен принять ни один из традиционных видов анализа – ни технический, ни фундаментальный.

Дать правильный ответ на этот вопрос возможно лишь при помощи математики Forex, потому как объем и число сделок (открытых позиций) имеет прямую зависимость от баланса на счете валютного спекулянта, а также некоторых переменных (туда же можно отнести объем возможных убытков/предполагаемого заработка, возможность положительного исхода контракта/возможность неудачного исхода контракта и т.п.). Стоит упомянуть и о том, что математика Форекса дает возможность отвлечься от всяческих субъективных факторов и принять правильное решение при помощи математических вычислений.

Дать ответ на вопрос – стоит ли проводить реинвестирование торговых прибылей

Попросту говоря, Вы должны будете решить, инвестировать ли полученную прибыль в будущую торговую деятельность либо же «снять» её со счета. Математика Forex даст возможность наглядно взглянуть на то, что без проведения реинвестирования невозможно существенное увеличение депозита в будущем. Обычно, прибыли после реинвестирования бывают гораздо больше тех прибылей, которые были получены без проведения реинвестирования.

Понять, каким образом лучше всего проводить реинвестирование

Какой объем прибыли необходимо реинвестировать в будущую торговлю – 100 процентов либо меньше? Вы поймете, что такое трейдинг оптимальной фиксированной долей, а также о том, что называют формулами Келли, средней геометрической сделкой и многом другом.

Провести расчет волатильности

Вам станет известно о том, что бывает два подхода по расчету волатильности – первый базируется на исторических данных, второй на рыночных.

Поймете каким образом работать одновременно с несколькими позициями, разобравшись со случайными и корреляционными связями.

Необходимо в особенности отметить тот факт, что математика Форекса дает возможность получать стабильные и высокие доходы не только на таком валютном рынке, как Форекс, но и на иных финансовых рынках – опционов, акций и фьючерсов.

Математика и Форекс — разумно ли их совмещать?

Для просмотра формул ваш браузер должен поддерживать MathML.

Объявления Последний пост
В Московском государственном университете возобновляет работу «Го клуб МГУ» 24.09.2020 19:12
В начале года на мехмате МГУ пройдет Восьмая зимняя школа по алгебрам Ли 25.09.2020 20:53
Открыта свободная публикация вакансий для математиков 26.09.2020 16:34

Я тут человек новый и далёкий от математики (в высших её проявлениях разумеется) ;). Уверен что здесь есть масса светлых умов, творящих как ради науки так и ради денег.

В любом случае я готов стать спонсором того человека или группы людей, которые смогут найти и описать действовавшие и действительные зависимости и закономерности в изменениях котировок валют и акций на рынке Форекс.

Возможно подобные исследования уже велись, возможно просто никому не интересны. В случае достижения положительных результатов в этом вопросе, — я гарантирую стабильную высокую прибыль тому, кто не поленится установить эти закономерности и принципы.

Необходимо:
— на примере нескольких пар из архивов котировок основных валют, которые есть в сети, установить закономерности изменения цен на соответствующих временных интервалах графиков
— предложить модель прогнозирования результата по различным парам для различных условий и временных интервалов, на основе изученных закономерностей

Даже если Вы далеко от Форекса, делом 20-ти минут станет узнать об этом больше.

С нетерпением жду Ваших мыслей, предложений и ответов!

Редактировалось 1 раз(а). Последний 22.10.2009 21:12.

И имеете полное право так считать. Сразу чувствуется закоренелое совковое воспитание и консервированная 😉 психология. Не хотелось бы сейчас обсуждать морально-правовые аспекты этого мероприятия. Я — Инвестор и думаю, что цели достаточно доступно описал немного выше.

А кому нравится всю жизнь ковыряться в науке ради идеи — его право. Для меня же важно развитие и разумный симбиоз, а не паразитирование. С грустью вспомнился таксист, который на мой вопрос о жизни расплакался и рассказал, что он доктор физико-математических наук и наука его никому не нужна настолько, что ему, будучи все же Мужчиной, ответственным за близких ему людей (его семью), пришлось всё-же искать другой способ эту семью прокормить.

Я же предлагаю использовать знания и предлагаю Вам зарабатывать достаточно чтобы заниматься любимым делом в благодатной финансовой независимости.

За Вами выбор — в какую сторону идти.

Редактировалось 1 раз(а). Последний 22.10.2009 22:27.

Спасибо конечно за информацию о финансовой математике. Но хотелось бы кроме философии немного конкретики.

«Раз Вы такой умный, отчего же такой бедный?» (с) классика

Редактировалось 1 раз(а). Последний 23.10.2009 00:52.

Хочу напомнить, что администрация форума всегда где-то рядом. 🙂 Пожалуйста ограничьте тематику обсуждения только финансовыми/фондовыми рынками и математическими моделями. Даже без намеков перехода на личности. А то буду вырезать «колкости» из сообщений или даже стирать.

Редактировалось 1 раз(а). Последний 23.10.2009 01:53.

Я очень надеюсь, что здесь есть здравомыслящие, креативные люди, способные предложить новые интересные решения по моему вопросу.

Редактировалось 1 раз(а). Последний 23.10.2009 11:12.

Вы уже накликали миллион? 😉 Я — да. Деньги давно для меня не цель.

Если не накликали, то забирайте с собой любителя брюквы и создайте где-нибудь новый топик про матожидания в кликерстве, например.

Будьте добры сформулируйте более конкретно, что должно получиться в итоге. (Общие принципы (подобие технического анализа), конкретные прогнозы ( динамика торгового дня или итоговое значение курса). Насколько я понял исходной является предшествующая динамика некой величины.

Редактировалось 1 раз(а). Последний 23.10.2009 11:11.

Неужели Вы думаете, что человек способный найти хорошую стратегию, захочет делиться? Ему ведь не сложно будет и самому разобраться в этом Форексе. На другой вопрос уже ответили — захочет ли такой человек сам стать спекулянтом?
Уж не удержусь — всё одно оффтопик, математика ведь для Вас интереса явно не представляет — Вам не приходил в голову ответ на Ваш вопрос о соотношении ума и бедности:
Если Вы такой богатый, то почему же Вы такой не желаете понять, что есть люди, предпочитающую брюкву участиям в подобных предприятиях?

_____________________________
Правила русского языка категорически против решения пределов, интегралов, рядов, матриц, определителей, функций, .
..

Редактировалось 2 раз(а). Последний 15.11.2010 18:43.

Необходимо:
— на примере нескольких пар из архивов котировок основных валют, которые есть в сети, установить закономерности изменения цен на соответствующих временных интервалах графиков
— предложить модель прогнозирования результата по различным парам для различных условий и временных интервалов, на основе изученных закономерностей

Разработана модель, удовлетворяющая Вашим пожеланиям, в виде универсальной регрессионной модели, которая опубликована на форуме под этим названием. Эта зависимость имеет вид: P =a+b ГаммаРасп(t;n;r;1), которая: 1-удовлетворительно описывает закономерность изменения цены P (соотношение пары валют или цену акций) на Форксе в зависимости от времени t (тики, минуты, часы, сутки, месяцы), как на стадии их подъема, так и на стадии падения;
2-указывает на момент наступления разворота цены;
3-прогнозирует уровень цен при развороте.
Все указанные свойства можно наглядно увидеть на одном графике, которую можно использовать как индикатор на рынке Форекс.
Теперь коротко на счет рынка Форекс по существу разгоревшегося спора-стоит-ли всем нам серьезно заниматься этой проблемой или причислить ее к очередной «ереси» из серии происка капиталистов.
Я считаю, что рынок Форекс стал объективной реальностью современного общества, активно влияющей на жизнь людей, поэтому хотим мы этого или нет, мы обязаны изучать и понять его закономерности, извлекать пользу, поскольку почти все финансовые структуры ориентируются в своей деятельностью на результаты торгов именно на рынок Форекс. Если сейчас не принимать меры по немедленному изучению законов этого рынка, то мы окажемся в финансовой кабале и мо\жет повториться история с кибернетикой, которую назвали «лженаукой» и мы далеко отстали по вопросам, относящимися к этой области.
Деньги, заработанные на Форексе — это не то что выиграны на лохотроне, а свидетельствуют о преимуществе в анализе финансовой ситуации

Редактировалось 1 раз(а). Последний 10.11.2010 14:02.

Лучшие брокеры с бонусами:
  • FinMax (Форекс)
    FinMax (Форекс)

    Инвестируй в акции торговых компаний и получай до 40% в месяц!

  • BINARIUM
    ☆☆☆☆☆
    ★★★★★
    BINARIUM

    Лучший брокер по бинарным опционам. Огромный раздел по обучению.

Добавить комментарий